本文主要內容：介紹線性穿插、微分、極限及泰勒展開等方法，計算√107的近似值。
4與4.0的區別
※.線性穿插法計算近似值
設√107=x，並找與之最近的兩個完全平方數，有：
√100=10,
√107=x,
√121=11,用線性穿插得：
(107-100)/(121-107)=(x-10)/(11-x)
7(11-x)=14(x-10)
21x=217
x=31/3≈10.344.
※.微分法計算近似值
∵dy=f'(x)dx，f(x)=√x，
∴dy=dx/(2√x）
對於本題有：
√107-√100=(107-100)/(2√100)
√107=√100+7/(2*10)
√107=10+7/20
≈10.35.
※.極限法計算近似值
原理為當x趨近無窮小時，有(1±x)^a≈1±ax，其中a為不為1的常數。
對於本題:
√107=√(100+7）
√107=√[100(1+7/100）]
=10√(1+7/100）
=10*[1+7/(2*100)]
=10+7/20
≈10.35.
※.泰勒展開式計算近似值
∵f(x)=f(x0)/0!+f'(x0)(x-x0)/1!+f"(x0)(x-x0)^2/2!+O(x^3)
∴f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f"(x0)(x-x0)^2/2+O(x^3)
其中O(x^3)表示x的三次無窮小。
對於本題冪函數y=f(x)=√x,有：
f'(x)=(1/2)x^(-1/2),f"(x)=-(1/4)x^(-3/2)。
f(x)≈f(x0)+(1/2)x0^(-1/2)(x-x0)-(1/8)x0^(-3/2)*(x-x0)^2。
對於本題，x=107，x0=100,x-x0=7,代入得：
√107
≈√100+(7/2)*100^(-1/2)-(1/8)*7^2*100^(-3/2)
≈10+(7/2)*10^(-1)-(1/8)*7^2*10^(-3)
≈10+7/20-7^2/(8*10^3)
即：
√107≈10.3438。
結論拓展分析：
1.本次近似計算以保留四位小數為主，從精確度來看，精確度最高的是泰勒展開式法，其次是線性穿插法。
2.所求的某個數a的算術平方根，由於與a相鄰有兩個可開方數，一般在近似計算中選取與之最近的一個可開方數。
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