克萊因瓶是什麼？
1882年，著名數學家菲立克斯·克萊因發現了後來以他的名字命名的著名“瓶子”。
克萊因瓶的結構可表述為：一個瓶子底部有一個洞，現在延長瓶子的頸部，並且扭曲地進入瓶子內部，然後和底部的洞相連接。和我們平時用來喝水的杯子不一樣，這個物體沒有“邊”，它的表面不會終結。它和球面不同 ，一隻蒼蠅可以從瓶子的內部直接飛到外部而不用穿過表面，即它沒有內外之分。正是因為如此，克萊因瓶是永遠裝不滿水的。
所以它最初的命名是 “Kleinsche Fläche”，也就是克萊因平面，沒有內部外部之分，但是後來傳成了克萊因瓶。
克萊因瓶在現實生活中是無法實現的，現在我們所看到的克萊因瓶其實都是假貨。
克萊因瓶是一個三維概念物，所以它只能存在於四維空間，如果我們一定要將它展現在三維空間的話，只能將就的讓它表現得自己和自己相交一樣，但其實克萊因瓶的瓶頸是穿過四維空間再和瓶底圈連的，並不會穿過瓶身。
如果把克萊因瓶沿著它的對稱線切下去，竟會得到兩個莫比烏斯環，把一根紙條扭轉180°後，兩頭再粘接起來做成的紙帶圈，具有魔術般的性質。普通紙帶具有兩個面（即雙側曲面），一個正面，一個反面，兩個面可以塗成不同的顏色；而這樣的紙帶只有一個面（即單側曲面），一隻小蟲可以爬遍整個曲面而不必跨過它的邊緣。這種紙帶被稱為“莫比烏斯帶”。
如果莫比烏斯帶能夠完美的展現一個“二維空間中一維可無限擴展之空間模型”的話，克萊因瓶只能作為展現一個“三維空間中二維可無限擴展之空間模型”的參考
什麼是四維空間
四維空間和四維時空並不是一個概念，四維空間我們一般是指標準歐幾里得空間，；四維時空指的是閔可夫斯基空間概念的一種誤解。人類作為三維物體可以理解四維時空（三個空間維度和一個時間維度）但無法認識以及存在於四維空間，因為人類屬於第三個空間維度生物。
零維是點，沒有長度、寬度及高度。一維是由無數的點組成的一條線，只有長度，沒有其中的寬度、高度。二維是由無數的線組成的面，有長度、寬度沒有高度。三維是由無數的面組成的體，有長度、寬度、高度。
因為人的眼睛只能看到二維，二維生物看對方只有一條線。人的雙眼看到的是兩個二維投影，經過大腦處理形成一個整體的視覺。也就是說人類只能看見二維圖像，卻能理解這個世界是三維的。
因為構成三維的三元素是長寬高，即三個互相垂直的直線，我們單眼看世界的時候，上下是高，左右是寬，所以看到的世界是二維的。
但是我們眼睛去看這個世界，產生的畫面遠近是不同的，通常是右遠左近，但不絕對，而正是這個距離感的產生，彌補了三維需要的長，所以我們才能理解這個世界是三維的。
克萊因瓶只能是四維空間的產物
這種瓶子根本沒有內、外之分，無論從什麼地方穿透曲面，到達之處依然在瓶的外面，所以，它本質上就是一個“有外無內”的古怪東西。
克萊因瓶是不可能嵌入三維空間中的。在三維空間中，克萊因瓶必然跟自身相交，用數學的語言說，這樣得到的克萊因瓶在三維中的實現是克萊因瓶在三維空間中的浸入。
就好像二維生物生活在平面，它是沒有兩個面的，如果我們用紙做一個莫比烏斯帶，在我們眼中，螞蟻會爬過連成一體的兩個面，才能回到原點。這時候螞蟻不用翻越紙的邊緣，它可以爬行的距離增加了一倍。
對於一隻生活在平面內部的二維螞蟻，它的空間並沒有增加，只是被扭曲，然後連接起來了。
所以，這隻二維螞蟻只需要爬行一週，就可以回到原處。
所以，這對於二維空間的“生物”來說他們不能理解空間被扭曲這一事實，當然對於我們三維空間中的人類來說，我們同樣不能理解我們的空間正在通過額外的維度對接到自身的內部。
這就是為什麼我們永遠也造不出來克萊因瓶。
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