人類是在不斷的質疑中獲得進步的，而每一次問題的發現，都會給人們的生活帶來巨大的改變。而這樣的情況，在各行各業中都有所體現，比如數學領域便是如此。數學是一片充滿了理性的世界，也是一片充滿了抽象性的世界，因此令普通人感到非常晦澀難懂。
但是不可否認的是，數學上的進步，能夠給人們帶來巨大的幫助。而這，便是人們研究數學的意義。在數學領域中，一共出現過三次數學危機，而今天本文討論的重點便是第二次數學危機。
倘若說起第二次數學危機，就不得不提到一個人，此人名為芝諾，生於意大利半島南部的埃利亞城邦，他是埃利亞學派的著名哲學家巴門尼德（Parmenides）的學生和朋友。
芝諾曾經提出了一系列關於運動的不可分性的哲學悖論，他說：“運動是不可能的。由於運動的物體在到達目的地前必須到達其半路上的點，若假設空間無限可分則有限距離包括無窮多點，於是運動的物體會在有限時間內經過無限多點。”
為了驗證自己的說法，芝諾還舉了三個例子：
第一、“阿基里斯追不上烏龜”。
他提出讓烏龜和阿基里斯賽跑，烏龜在阿基里斯前面1000米處開始跑，並且假定阿基里斯的速度是烏龜的10倍。當比賽開始後，若阿基里斯跑了1000米，設所用的時間為t，此時烏龜便領先他100米；當阿基里斯跑完下一個100米時，他所用的時間為t/10，烏龜仍然前於他10米；當阿基里斯跑完下一個10米時，他所用的時間為t/100，烏龜仍然前於他1米……
芝諾認為，阿基里斯能夠繼續逼近烏龜，但絕不可能追上它，因為阿基里斯總是首先必須到達烏龜的出發點，因而烏龜必定總是跑在前頭。這個論點同兩分法悖論一樣，所不同的是，不必把所需通過的路程一再平分。
第二，“飛矢不動”。
意思是箭在運動過程中的任一瞬時間必在一確定位置上，因而是靜止的，所以箭就不能處於運動狀態。但由於箭要達到每一時刻的固定位置必須存在動能，所以箭必須是運動狀態。
這個悖論的問題在於，“飛行”的運動，是依賴於兩個時間點的。即從這一刻到那一刻的時間內，這支箭是否移動。另外，中國古代的名家惠施也提出過，“飛鳥之景，未嘗動也”的類似說法。
第三，“操場或遊行隊伍”。
A、B兩件物體以等速向相反方向運動。從靜止的c來看，比如說A、B都在1小時內移動了2公里，可是從A看來，則B在1小時內就移動了4公里。運動是矛盾的，所以運動是不可能的。
前兩個悖論詰難了關於時間和空間無限可分，因而運動是連續的觀點，後兩個悖論詰難了時間和空間不能無限可分，因而運動是間斷的觀點。說明了希臘人已經看到“無窮小”與“很小很小”的矛盾，但他們無法解決這些矛盾。其後果是，希臘幾何證明中從此就排除了無窮小。
既然問題產生了，就需要解決，因此在後面很長的一段時間內，人們都陷入了不斷的思考之中，並最終在17世紀晚期，形成了無窮小演算——微積分這門學科。牛頓和萊布尼茲被公認為微積分的奠基者，他們的功績主要在於：把各種有關問題的解法統一成微分法和積分法；有明確的計算步驟；微分法和積分法互為逆運算。由於運算的完整性和應用的廣泛性，微積分成為當時解決問題的重要工具。
參考資料：《芝諾悖論》、《趣味數學》
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