GD&T 幾何尺寸和公差

最新標準ASME Y14.5-2018發行後，我們（公H：智慧汽車供應鏈）

其中有一個章節，在新標準Y14.5-2018的107頁， 圖7-22中有個關於基準要素的MMB(最大實體邊界)的計算解釋：

圖1關於基準偏移的MMB

很多小夥伴不太理解,MMB的大小為7.2，7.3，7.5的計算原理和依據是什麼?

還有，在標準的109頁，圖7-24中還給出一個基準採用RMB時的最大外邊界MEB的計算解釋，見圖2.

圖2 基準採用RMB時的最大外邊界的計算

特別是圖1和圖2中對直線度Ø0.1的處理，圖1只有在D作為第一基準時考慮，D作為第二和第三基準卻不考慮。而圖2中，第一，二，三基準中都考慮了直線度，這是為什麼呢？很多小夥伴在這裡糾結，甚至有小夥伴認為標準弄錯了。今天我們就這個話題展開分析，好好來理一理，徹底把它搞清楚。

本期文章的內容分為3部分：

1. 快速理解ASME標準中的邊界理論

2. 採用MMC後的實效條件邊界VC

3. 為什麼MMB不考慮直線度

為了照顧到基礎相對薄弱的小夥伴，前兩章的內容專門介紹了基礎知識，對邊界理論和實效條件邊界VC已經非常熟悉的小夥伴，可以直接跳到第三章第二節。對基礎知識相對不自信的小夥伴來說，建議靜下心來，慢慢看完。

1. 快速理解ASME標準中的邊界理論

1）邊界的形成

對於一個尺寸要素（FOS）來說，我們通常會標柱尺寸公差（比如直徑）和幾何公差（比如位置度）一起來控制。比如下面這個孔。

圖3 用尺寸公差和幾何公差控制孔

而尺寸公差和幾何公差之間，存在三種眾所周知的關係，獨立要求（RFS）, 最大實體要求（MMC）和最小實體要求（LMC）。

熟悉ASME標準的小夥伴都知道，對於尺寸要素來說，垂直度，位置度控制的對象（公差帶第五大要素）是非關聯包容體（UAME）軸線，也就是孔的最大內切圓柱或軸的最小外接圓柱軸線。我們把圖3中的被測孔剖開，再來認識一下UAME和它的軸線，見下圖:

圖4 非關聯包容體和它的軸線

圖4顯示的就是被測孔的非關聯包容體（UAME）和它的軸線，位置度要求非關聯包容體的軸線，必須在Ø0.2的公差帶內。（公H：智慧汽車供應鏈）

因為非關聯包容體（UAME）的軸線可能在圖4中Ø0.2的公差帶內任何一個位置， 那麼就會導致該孔在眾多“可能”的位置中，形成極限的邊界（Boundary）。邊界有兩種，內邊界IB（Inner Boundary）和外邊界OB(Outer Boundary), 見圖5A, 圖5B和圖5C：（公H：智慧汽車供應鏈）

A 非關聯包容體可能的位置（公H：智慧汽車供應鏈）

B 所有的可能性疊加

C 內邊界IB和外邊界OB（公H：智慧汽車供應鏈）

圖5 內外邊界的形成

圖5顯示了內邊界IB和外邊界OB的形成。這個邊界對設計和生產有著非常重要的指導意義，比如孔，用來裝配的時候，設計工程師應該關心內邊界，希望IB足夠大，能夠裝的下軸；考慮最小壁厚的時候，設計工程師則應關心孔的外邊界，希望OB足夠的小，以保證最小壁厚，從而滿足強度要求。這裡不再詳細贅述。

對於內邊界IB和外邊界OB，保守起見，人們往往更加關心最壞情況，比如最小的內邊界IB和最大的外邊界OB。所以，在獨立要求（RFS）時，邊界的計算公式如下：（公H：智慧汽車供應鏈）

圖6 孔軸內外邊界的計算公式

以上的內容在本公眾號的《ISO邊界之殤》中介紹過。有興趣的小夥伴可以點擊本文最後的鏈接。

2）三圓同心

剛剛我們探討了邊界的形成，接下來我們再來看看內外邊界的一個重要特點，那就是“三圓同心”。

A 內外邊界形成

B 公差帶，內邊界和外邊界

圖7三圓同心

從圖7中可以看出，被測孔在公差帶裡運動，會形成邊界。其中內邊界IB，外邊界OB和公差帶三個圓柱是絕對同心（或同軸）的，這種現象我們把它叫住“三圓同心”。

三圓同心的這個心就是理論中心。（公H：智慧汽車供應鏈）

因為三圓同心的這個特點，所以內邊界IB， 外邊界OB和公差帶一樣，和基準系保持理想的方位關係。

圖8 內外邊界和基準的關係

如圖8所示，外邊界OB和內邊界IB外形是一個圓柱，它們的軸線和基準A絕對垂直，而且和基準B的水平距離是絕對的16，上下距離是絕對的22。

瞭解了邊界理論的基本知識後，我們再來看ASME標準中的實效條件邊界VC.

2. 採用MMC後的實效條件邊界VC（公H：智慧汽車供應鏈）

當尺寸要素的幾何公差採用了最大實體要求（就是加M圈）後，見圖9中紅圈部分孔的位置度標柱。對這個位置度要求的解釋，根據Y14.5-2018, 有兩種解釋方法：一個是軸線解釋法（常規的三座標測量就是用軸線解釋法），另外一個是邊界解釋法（檢具檢測就是用邊界解釋）。

圖9位置度採用最大實體要求

這兩種解釋法，今天我們都有必來理一理。（公H：智慧汽車供應鏈）

1） 軸線解釋法（公H：智慧汽車供應鏈）

如果圖9中，被測孔UAME的尺寸遠離MMC， 就會產生補償（Bonus）, 這個補償會讓幾何公差的公差值變大。見圖10和動圖11：

圖10 UAME和公差帶

所以對孔來說，UAME越大，公差帶就跟著變大，先看看動圖吧：

圖11 UAME和公差帶變化動圖。

又因為補償值的計算公式為：

Bonus = UAME - MMC

所以從數值上看，UAME尺寸和允許的最大位置度公差存在下面的關係：

圖12 UAME尺寸和最大位置度（公H：智慧汽車供應鏈）

只要UAME的軸線，不超出圖12中的允許最大位置度，該孔的位置度就是合格的。

這就是軸線解釋法。

對最大實體要求補償的遊戲規則還不熟悉的小夥伴，應該對它的遊戲規則記得滾瓜爛熟才行。

我們再來看看基於軸線解釋法，對邊界的影響是什麼。

結合第一章節圖6中提到的邊界計算公式，我們就可以計算當採用最大實體要求後的內外邊界了。從而可以觀察，採用最大實體要求後對內外邊界的影響。

圖13 最大實體要求和內外邊界的關係（公H：智慧汽車供應鏈）

仔細觀察圖13中的數據，我們發現採用最大實體要求後，儘管有了補償，允許的位置度不斷變大，但是對內邊界IB卻沒有影響。

這個固定不變的內邊界（直徑為Ø15.75），就是我們今天要重點討論的VC，實效條件邊界（有時候也叫實效邊界）。在ISO標準中，也就是我們常常提到的MMVB（最大實體實效邊界）。

注意，孔的VC就是內邊界，軸的VC就是外邊界。它是一個圓柱形的空間，它的計算公式如下：

圖14 VC的計算公式（公H：智慧汽車供應鏈）

我們再用動圖來理解，儘管孔的UAME尺寸和允許的位置度都在發生變化，但是孔的內邊界不會變得更差。

A動圖說明

B 內邊界不變

圖15 採用MMC後的內邊界不變

這個VC對我們也有非常重要的意義，比如用在裝配孔時，判斷一根軸能否順利穿過這個裝配孔而不發生干涉，完全是看這個孔的VC是否能全部容納這根軸。

2）邊界解釋法

我們再來看看邊界解釋法。（公H：智慧汽車供應鏈）

ASME的邊界解釋法其實本質和ISO2692一樣，非常蠻橫。它就一個解釋，如果一個尺寸要素採用了最大實體要求，它的VC邊界就不能被侵犯。

什麼意思呢？

比如一個孔採用了最大實體要求（加M圈）後，它就會有一個實效條件邊界VC存在，根據圖14中的計算公式，這個VC的大小為：

VC = MMC -幾何公差（公H：智慧汽車供應鏈）

VC的形狀是一個理想的圓柱。這個VC就是一個神聖的國際邊界線，被測孔圓柱面上的任何點，都不能跨過這個VC邊界。

圖16 不能跨越的VC（公H：智慧汽車供應鏈）

如圖16所示，邊界解釋法的意思是，實際被測孔上的任何一點，都不能進入粉紅色的VC以內（允許剛好在邊界上）。

這個邊界解釋法，對現實的指導意義在於，如果一個孔的幾何公差採用了最大實體要求後，為了檢測孔的幾何公差，我們做一個檢測銷（圖16中粉紅色的圓）來模擬這個VC，檢測銷的直徑就做成VC的直徑（Ø15.75），如果檢測銷能夠順利的通過被測孔，那麼就能證明被測孔沒有侵犯VC的空間，即幾何公差滿足要求（當然，這是以尺寸公差首先滿足要求為前提）。

反過來，只要實際被測孔圓周上任意一點跨過了VC邊界，檢測銷肯定不能完全插入，則被測孔就不合格。

憑著我們的直覺，是不是感覺邊界解釋法和裝配很相似？

我們再繼續深入。（公H：智慧汽車供應鏈）

有沒有一種情況，軸線解釋和邊界解釋不一致呢？比如說，軸線解釋是不合格的，而邊界解釋是合格的？

真有這種情況。

假設有一個被測孔，它的幾何公差採用了MMC， 它的UAME軸線（就是UAME中心）和VC邊界的狀態如下圖所示：

圖17 軸線解釋和邊界解釋不一致（公H：智慧汽車供應鏈）

圖17中，在實際被測孔的尺寸合格的前提下，UAME（見藍色的最大內切圓）的中心軸線剛好在公差帶（已經考慮補償後）以外，按照軸線解釋，這是超差的。

可是如果我們再仔細觀察該孔內部的實效條件邊界VC（紫色虛線圓），發現這個VC邊界卻沒有被侵犯，所以按照邊界解釋，它是合格的。

這下好了，矛盾出現了。

圖17在現實中的體現是，用三座標測量被測孔，發現它的位置度是超差的（三座標按照規範的方法測量），但是用檢具去測量，卻發現它是合格的。

遇到這種情況，究竟聽誰的呢？

根據Y14.5-2018中的規定，如果軸線解釋和邊界解釋發生衝突時，以邊界解釋為準。這種規定，我把它稱為“邊界優先”原則。

就是因為邊界優先原則，所以當三座標檢測結果和檢具檢測結果發生衝突時，聽檢具的。

可是，ASME為什麼要規定邊界優先呢？

這一點，ASME標準沒有給出明確的解釋，看起來比較蠻橫。但是我們是可以揣測ASME標準背後的邏輯的，很簡單，那就是: 管他呢，能用就行。

稍微再扯一句， ISO2692中，甚至都沒有給出軸線解釋的規範（所以ISO標準連補償Bonus的概念都沒有），也是用邊界來解釋的：在尺寸合格的前提下，不管你怎麼作，MMVB（最大實體實效邊界）不能被侵犯。

ISO標準的潛臺詞也是，管他呢，能用就行。

兩個標準儘管平時相互看不起，但在耍流氓這一點上，倒是十分臭味相投。

我們再回來，“邊界優先”是我們理解ASME標準中關於MMB大小的關鍵，第三章我們會詳細討論。

注意，“邊界優先”，也就是VC優先，這個規定只對MMC和LMC適用，即採用了相關原則適用，對獨立要求RFS不適用。

到這裡，我們對採用最大實體要求後會形成一個實效條件邊界VC，做一個小小的總結。

1. 對孔來說，只要它的幾何公差採用了最大實體要求，就一定存在一個實效條件邊界VC。它也是孔的內邊界IB，在實際被測孔的內部：

圖18 孔的實效條件邊界VC

對軸來說，只要它的幾何公差採用了最大實體要求，就一定存在一個實效條件邊界VC。它是軸的外邊界OB，在實際被測軸的外部。

圖19軸的實效條件邊界VC

而且，基於三圓同心，圖18和圖19中的VC，它們和基準系保持理想的方向關係和位置關係。

3. 為什麼MMB不考慮直線度？

在開始討論本期文章的主題之前，我們首先要弄清楚是什麼是MMB, 再回到本期章開頭的內容，討論MMB為什麼不考慮直線度。

1）什麼是MMB

MMB（Maximum Material Boundary）其實就是指對基準要素採用了最大實體要求，圖紙上的體現就是基準後邊加M圈。

它本意是說，基準的建立（基準要素和基準模擬體的貼合）是在當基準要素處於最大實體邊界時建立的，也就是當基準要素佔用體外空間最多的時候建立的。

MMB同時也是一個邊界，當基準要素佔用體外空間最多的時候（注意，是佔用體外空間最多的時候），此時，用一個反形體去“貼合”該佔用體外空間最多的基準要素，貼合好後，這個反形體就是基準模擬體（Datum Simulator）, 新標準Y14.5-2018把這個反形體叫做“理想幾何對配體”（True Geometric Counterpart）。

MMB的特點是，它的大小就是最大的基準模擬體的大小。

我們說人話呢，這個理想幾何對配體，就是檢具上代表基準的定位孔，定位銷了。

因為基準要素佔用體外空間最多時的狀態是極限狀態，極限狀態的邊界是唯一的，所以基準模擬體的大小就是唯一的固定值（也就是說，檢具上的定位孔，定位銷的直徑是固定），不像RMB（基準沒有任何修飾符號），基準模擬體的大小隨著基準要素的狀態變化而變化。

如果現實中的基準要素不處於極限狀態怎麼辦？（其實，絕大部分情況都不處於極限狀態），那就表示基準模擬體（或定位孔和定位銷）和基準要素之間有間隙了，這個間隙就允許零件和檢具之間可以浮動，可以找補償，這個浮動就是基準偏移（Datum Shift）。本公眾號我們探討過相關的內容，有興趣的小夥伴可以點擊文章最後的鏈接。

當然，既然是基準模擬體，根據基準系建立的法則，基準模擬體必須要和它的高序基準保持理想的方位關係（第一基準的基準模擬體因為沒有比它更牛逼的高序基準，所以除外）。

廢話少說，上一個圖舉例說明吧。

圖20 圖紙標柱和實際零件

我們以基準A作為研究對象，來理解一下什麼是MMB。

首先如果幾何公差是以A作為第一基準見圖21，A的基準模擬體，就是用一個圓柱形的圓筒（和基準要素相反的反形體）去“包容”實際軸，剛剛好包住後，這個圓筒就是基準模擬體。因為是第一基準，顯然這個圓筒也是非關聯包容體（最小外接圓柱）。見下圖：

圖21 第一基準的MMB

因為基準加了M圈，基準模擬體就有一個固定邊界，即MMB。根據MMB的定義，MMB就是指基準要素佔用的最大的體外空間時的邊界，也就是圖21中UAME最大的時候。

UAME最大是多大呢？

因為ASME標準默認包容原則，包容原則除了要求尺寸要素的兩點尺寸必須滿足要求外，還要求UAME尺寸也必須在尺寸公差範圍內，也就是說，UAME最大最大也就是MMC了。

所以對於第一基準來說：

MMB = UAME_max = MMC = Ø18.1

如果我們在檢具上挖一個代表A基準的定位孔，即現實版的基準模擬體，或現實版的MMB，該定位孔的直徑是Ø18.1。

我們再來看看A作為第二基準時的基準模擬體，見下圖：

圖22 第二基準的MMB

作為第二基準的基準模擬體，因為它必須要和第一基準（高序基準）保持理想的方位關係，即它要和第一基準B絕對垂直，在這種前提下，基準模擬體對應的幾何體不再是非關聯包容體UAME了，而是關聯包容體RAME。所謂關聯包容體，就是一個幾何體，它必須和基準A保持絕對垂直的關係為前提，再去包容基準要素。

那麼最大的基準模擬體，也就是圖22中最大的關聯包容體RAME，是多少呢？

這個顯然和A相對於B的垂直度有關係，結合第一章和第二章的內容，圖22中的最大關聯包容體，就是A的最大實體條件邊界VC。

顯然有，

MMB = RAMEmax = VC = MMC +垂直度

= 18.1 + 0.05 = Ø18.15

稍微再強調一下，這裡的MMB可以計算出來是Ø18.15，完全是因為圖23中垂直度的原因，因為根據“邊界優先”的原則，Ø18的軸要想滿足垂直度的要求，軸表面上所有的點必須在直徑為Ø18.15的邊界（VC）以內，所以基準要素A（Ø18的軸）能夠相對於B佔用的最大空間不會超過Ø18.15。

圖23 垂直度和邊界優先

好了，做了長長的鋪墊後，我們再來分析本文開頭提出的問題，ASME Y14.5-2018中關於MMB的計算。

2）MMB要考慮直線度嗎？

先直接看圖吧。

圖24 ASME標準中關於MMB的計算

圖24中，D是一個直徑為Ø7的軸，然後分別用以它作為第一基準，第二基準，第三基準的位置度去控制Ø3.5的孔。

而這個基準要素D，本身又被位置度，垂直度，直線度控制。

我們接下來一行一行分析。

圖25 第一行的MMB

第一行的位置度中，基準D作為第一基準，顯然根據我們前面的分析，D的MMB，就是最大的UAME了（作為第一基準，基準模擬體不需要和任何基準關聯，因為它就是老大）。

最大的UAME是多大呢？

我們前面講的案例中，UAME就是MMC，那是因為在包容原則的約束下，UAME不可能超出MMC。

但是在圖24中，因為有直線度的原因，包容原則是失效的（這是包容原則的失效情形之一），所以MMC不能約束UAME的直徑了。又因為，直線度採用了最大實體要求（M圈），所以直線度和尺寸公差會形成一個最大實體條件邊界VC。根據VC的計算公式有：

VC = MMC+幾何公差 = 7.1 + 0.1 = 7.2

見下圖：

圖26 第一行的MMB圖解

注意圖26中的VC是尺寸和直線度共同作用的實效邊界，不需要和任何基準保持關係。所以根據邊界優先原則，因為直線度的原因，作為第一基準的D，能夠侵佔的最大空間一定不會超出圖26中的VC邊界，最多也就是剛好達到VC邊界。即可以得出：

MMB = UAMEmax = VC =7.2。

第一行得證。

我們再來看第二行：

圖27 第二行的MMB

第二行的D基準是作為第二基準，所以我們關心它相對於A的最大實體邊界(它其實是一個關聯包容體)。顯然我們這個時候就要考慮第二行的垂直度了，因為垂直度會影響這個邊界。

圖25 必須考慮第二行垂直度

第二行是被很多小夥伴糾結過的地方，主要原因在於，既然D的非關聯包容體的直徑可以達到7.2（見圖26A），它如果再傾斜0.2（見圖26B），那它相對於A的關聯包容體不就是7.2+0.2=7.4了麼？見圖26C：

A. 剛開始垂直度理想

B. 傾斜到垂直度為0.2

C. 關聯包容體RAME是7.4

圖26 關聯包容體的尺寸誤解

如圖26所示，如果基準要素D相對於A的最大關聯包容體RAMEmax=7.4, 那麼根據前面講的邏輯，我們則可以推演出：

MMB = RAMEmax = 7.4

而ASME標準中明明寫的是基準要素D的MMB=7.3.

ASME標準弄錯了嗎？

答案是，標準沒有弄錯，作為第二基準，基準要素D的MMB應該是7.3。

為什麼呢？

圖27 關鍵的MMC

大家還記得我們前面討論的“邊界優先”原則嗎？

見圖27，因為垂直度帶最大實體要求，就意味著有一個邊界VC存在，這個VC和基準A絕對垂直，而Ø7的軸無論如何折騰，是不能超出這個VC邊界的（這是垂直度的要求），不管它是獨立原則，還是有其它任何要求。

所以因為垂直度採用MMC ，顯然有:

VC = MMC + 垂直度 = 7.1+0.2 = 7.3

見下圖28：

圖28 垂直度的實效邊界

所以因為垂直度的要求，就導致基準要素D相對基準A的關聯包容體一定不會超過VC，最多剛好達到VC，即：

MMB = RAMEmax = VC = Ø7.3

有小夥伴可能不服氣了，不對啊，為什麼不考慮直線度的影響呢？

不需要的，在GD&T裡邊，如果用多行組合公差標柱的話，那就意味著被測要素每行都必須滿足要求才算合格。也就是說盡管有了直線度的要求，並不意味著垂直度要求（遵循邊界優先）就允許被破壞。

也就是說，基準要素D既要滿足直線度要求，又要滿足垂直度要求，這是一個交集的邏輯關係，不是並集。

到這裡，大家明白為什麼D的MMB是Ø7.3而不是Ø7.4了吧。

基於同樣的邏輯，我們來看第三行，就非常容易。不難算出作為第三基準的MMB:

MMB = RAMEmax = VC = MMC + 位置度

= 7.1 + 0.4 = 7.5

圖29 第三行的MMB

我們再回過頭來重新分析D基準的MMB，分析它的關鍵點在於分析基準要素自身的特點，它在作為被測要素時，由於採用了MMC（最大實體要求），，它必循遵循VC邊界（邊界優先），不能逾越。所以才導致它作為基準要素時，其最大實體邊界MMB最多也就剛好達到VC。

那麼我們再問，如果基準要素在作為被測要素時，沒有采用MMC，那麼它的最大邊界需要考慮直線度嗎？比如下圖：

圖30 被測要素D沒有采用最大實體要求

如圖30中紅框部分，D作為被測要素時，因為採用的是RFS要求（獨立要求），不需要遵循邊界優先原則（它沒有VC，只有IB和OB），這個時候的分析方法就必須按照圖26的思路來分析。

所以算出來基準D的最大外部邊界（Maximum External Boundary）見圖30中的藍框部分，稍微提一下，因為基準沒有加M圈，所以沒有MMB這個概念，只有最大外邊界MEB這個概念。

這裡快速過一下：

分析思路是，因為有直線度，所以不需要遵循包容原則，圖30中的D的UAME最大可以達到：

UAMEmax = OB = MMC + 0.1 = 7.9+0.1 =Ø8.0

這個就是第一行，作為第一基準時，基準要素D的最大外部邊界。

我們來看看D作為第二基準時的最大外部邊界：

因為垂直度控制的對象就是UAME的軸線，所以如果這個UAME（其最大直徑為Ø8.0）的軸線再傾斜0.3（垂直度），那麼相對於A的最大關聯包容體為：

RAMEmax = OB = UAMEmax + 垂直度

= 8.0+0.3 = 8.3

這個就是第二行的，作為第二基準時，基準要素D的最大外部邊界。

同樣，看看最後D作為第三基準時的最大外邊界，基於同樣的邏輯有：

RAMEmax = OB = UAMEmax + 位置度

= 8.0 + 0.6 = 8.6

好了，終於講完了。

這就是本期文章的全部內容，希望對您有所幫助。

本文小結

本期文章對ASME標準中，關於基準偏移部分有爭議的地方做了解釋。為了照顧到基礎比較薄弱的小夥伴，本文分為三個部分來闡述：

第一個章節講了ASME標準中，尺寸要素邊界的形成，它是尺寸公差和幾何公差綜合作用的結果，並且列出了孔軸內外邊界的計算公式。

第二個章節講了最大實效條件邊界VC，指出如果孔軸加了最大實體要求（MMC）後，會形成一個最大實效邊界VC。並且強調，如果幾何公差採用MMC後，用兩種解釋方法，一種是軸線解釋，一種是邊界解釋，當兩種解釋發生衝突的時候，那麼邊界優先。其中，邊界優先是解決本期問題的關鍵點。

第三個章節講了MMB的概念以及算法，解釋了D基準的MMB為什麼不考慮直線度，主要原因是D基準要素作為被測要素時，因為它採用了MMC要求，它就必須遵循邊界優先的原則，不能超出VC，這就決定了MMB的大小， 所以第二行和第三行，直線度是影響不到MMB的。同時也講解了基準要素作為被測要素時，如果採用了RFS， 直線度會影響MMB的。

【後記】

寫本期文章的之前，很多工程師和老師都和我一起討論過這個問題，ASME標準在這裡的描述特別令人費解，它也沒有做更多解釋。

作為一個技術觀點的討論，我將我的理解發出來，供大家參考，歡迎有不同意見的小夥伴在留言區發表不同的看法。

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