一部代數史就是研究方程、討論方程的歷史。
一元二次方程有求根公式，一般的一元三次方程、一元四次方程等高次方程是否也有類似的求根公式？
1535年，意大利數學家塔塔利亞最早給出了三次方程的一般解法，不久費立裡又解決了四次方程，解法發表在《大術》中。
方程的可解性，就是這些方程的解可通過方程的係數，經過加、減、乘、除、乘方及開方等運算得出，這種根的表示稱為根式解或代數解。
隨著三次、四次方程陸續解出，人們把目光落在五次方程的求根公式上，然而近300年的探索一無所獲.阿貝爾證明了一般五次方程不存在求根公式，解決了這個世紀難題。
阿貝爾（1802-1829），挪威數學家阿貝爾被視為挪威民族英雄，挪威皇宮內有一尊他的雕像，這是一個大無畏的青年形象，他的腳下踩著兩個怪物——分別代表五次方程和橢圓函數。
歷史不會忘記這位傑出的數學家，為了紀念阿貝爾誕辰200週年，挪威政府於2002年創立了一項數學獎—阿貝爾獎。
多元表徵，從不同角度認識問題，是靈活解決問題的基礎。
其中（2）、（3）體現了"降次"代換的思想，（4）則是構造倒數關係，作等值代換。
有些複雜的方程卻有簡單的根的表達式；有些表面是方程的問題，卻需要從式變形的角度去思考。
正如清末著名學者王國維在《人間詞話》中說："詩人對宇宙人生，須入乎其內，又須出乎其外，入乎其內，故能寫之；出乎其外，故能觀之.入乎其內，故有生氣；出乎其外，故有高致。"
例2．在前面的學習中，我們通過對同一面積的不同表達和比較，根據圖1和圖2發現並驗證了平方差公式和完全平方公式．
這種利用面積關係解決問題的方法，使抽象的數量關係因幾何直觀而形象化．
【研究速算】
提出問題：47×43，56×54，79×71，…是一些十位數字相同，且個位數字之和是10的兩個兩位數相乘的算式，是否可以找到一種速算方法？
幾何建模：
用矩形的面積表示兩個正數的乘積，以47×43為例：
（1）畫長為47，寬為43的矩形，如圖3，將這個47×43的矩形從右邊切下長40，寬3的一條，拼接到原矩形上面．
（2）分析：原矩形面積可以有兩種不同的表達方式：47×43的矩形面積或（40+7+3）×40的矩形與右上角3×7的矩形面積之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝5×4×100+3×7＝2021．
用文字表述47×43的速算方法是：十位數字4加1的和與4相乘，再乘以100，加上個位數字3與7的積，構成運算結果．
歸納提煉：
兩個十位數字相同，並且個位數字之和是10的兩位數相乘的速算方法是（用文字表述） ．
【研究方程】
提出問題：怎樣圖解一元二次方程x²+2x﹣35＝0（x＞0）？
幾何建模：
（1）變形：x（x+2）＝35．
（2）畫四個長為x+2，寬為x的矩形，構造圖4
歸納提煉：求關於x的一元二次方程x（x+b）＝c（x＞0，b＞0，c＞0）的解．
要求參照上述研究方法，畫出示意圖，並寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖，並註明相關線段的長）
【研究不等關係】
提出問題：怎樣運用矩形面積表示（y+3）（y+2）與2y+5的大小關係（其中y＞0）？
幾何建模：
（1）畫長y+3，寬y+2的矩形，按圖5方式分割
（2）變形：2y+5＝（y+3）+（y+2）
（3）分析：圖5中大矩形的面積可以表示為（y+3）（y+2）；陰影部分面積可以表示為（y+3）×1，畫點部分的面積可表示為y+2，由圖形的部分與整體的關係可知（y+3）（y+2）＞（y+3）+（y+2），即（y+3）（y+2）＞2y+5
歸納提煉：
當a＞2，b＞2時，表示ab與a+b的大小關係．
根據題意，設a＝2+m，b＝2+n（m＞0，n＞0），要求參照上述研究方法，畫出示意圖，並寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖並註明相關線段的長）
【分析】【研究速算】十位數字加1的和與十位數字相乘，再乘以100，加上兩個個位數字的積，構成運算結果；
【研究方程】畫四個長為x+b，寬為x的矩形，構造答圖1，則圖中的大正方形面積有兩種不同的表達方式，由此建立方程求解即可；
【研究不等關係】畫長為2+m，寬為2+n的矩形，並按答圖2方式分割．圖中大矩形面積可表示為（2+m）（2+n），陰影部分面積可表示為2+m與2+n的和．由圖形的部分與整體的關係可知，（2+m）（2+n）＞（2+m）+（2+n），即ab＞a+b．
【解答】：【研究速算】
歸納提煉：
十位數字加1的和與十位數字相乘，再乘以100，加上兩個個位數字的積，構成運算結果．
【研究方程】
歸納提煉：
【研究不等關係】
歸納提煉：
（1）畫長為2+m，寬為2+n的矩形，並按答圖2方式分割．
（2）變形：a+b＝（2+m）+（2+n）
（3）分析：圖中大矩形面積可表示為（2+m）（2+n），陰影部分面積可表示為（2+m）×1與（2+n）×1的和．由圖形的部分與整體的關係可知，（2+m）（2+n）＞（2+m）+（2+n），即ab＞a+b．
【點評】本題考查了數形結合的數學思想，利用數形結合思想建立了代數（速算、方程與不等式等）與幾何圖形之間的內在聯繫，體現了數學的魅力，是一道好題．試題立意新穎，構思巧妙，對於學生的學習大有裨益；不足之處在於題幹篇幅過長，學生讀題並理解題意需要花費不少的時間，影響答題的信心．
變式1．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b．以點B為圓心，BC的長為半徑畫弧，交線段AB於點D，以點A為圓心，AD長為半徑畫弧，交
變式2．《代數學》中記載，形如x2+10x＝39的方程，求正數解的幾何方法是："如圖1，先構造一個面積為x²的正方形，再以正方形的邊長為一邊向外構造四個面積為5/2x的矩形，得到大正方形的面積為39+25＝64，則該方程的正數解為8﹣5＝3．"小聰按此方法解關於x的方程x²+6x+m＝0時，構造出如圖2所示的圖形，已知陰影部分的面積為36，則該方程的正數解為（ ）
A．6 B．3√5﹣3 C．3√5﹣2 D．3√5﹣3/2
【解析】根據已知的數學模型，同理可得空白小正方形的邊長為3/2，先計算出大正方形的面積＝陰影部分的面積+4個小正方形的面積，可得大正方形的邊長，從而得結論．
配方法、因式分解法、公式法是解一元二次方程的常用方法，有些一元二次方程可以通過圖解法來解，形象而直觀。
幾何直觀主要是指利用圖形描述來分析問題，是在直觀感知的基礎上所形成的理性思考的結果，是學習者對數學對象的幾何屬性的整體把握和有效判斷的能力。
迴歸出發點
在解決數學問題時，我們經常要回到基本定義與基本方法思考.試利用方程的解的定義及解方程組的基本方法解決以下問題：
解題方法是數學的靈魂，一個有價值的問題的解決常經歷以下心路歷程：冥思苦想、茅塞頓開、悠然心會、心境澄明.
正如王國維在《人間詞話》中所說："古今之成大事業、大學問者，必經過三種之境界：
'昨夜西風凋碧樹，獨上高樓，望盡天涯路。'此第一境也；
'衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴.'此第二境也；
'眾裡尋他千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處。'此第三境也."
問題的解決不也如同上述情境嗎？假若你在學習數學的過程中也常歷經這樣的心境，那麼你一定能理解好數學，掌握好數學。
“題”煉方程之美
故 最大值為6，故答案為：6．
2．已知矩形ABCD的長和寬分別是n和1，其中n是正整數，若存在另一個矩形A′B′C′D′，它的周長和麵積分別是矩形ABCD周長和麵積的一半，則滿足條件的n的最小值是______．
【解析】：設矩形A′B′C′D′的長和寬分別為x、y，
|x₁|+|x₂|＝3+4＝7＝2×3.5．
∵3.5不是整數，∴x²+x﹣12＝0不是"偶系二次方程；
（2）存在．理由如下：
∵x²﹣6x﹣27＝0和x²+6x﹣27＝0是偶系二次方程，∴假設c＝mb²+n，
當b＝﹣6，c＝﹣27時，﹣27＝36m+n．
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