一門科學的歷史是那門科學中最寶貴的一部分，因為科學只能給我們知識，而歷史卻能給我們智慧。——傅鷹
“代數”（algebra）一詞最初來源於公元9世紀阿拉伯數學家、天文學家阿爾·花拉子米（al-Khowārizmī，約780－850）一本著作的名稱，書名的阿拉伯文是‘ilm al-jabr wal muqabalah，直譯應為《還原與對消的科學》．al-jabr 意為“還原”，這裡指把負項移到方程另一端“還原”為正項；muqabalah 意即“對消”或“化簡”，指方程兩端可以消去相同的項或合併同類項．在翻譯中把“al-jabr”譯為拉丁文“aljebra”，拉丁文“aljebra”一詞後來被許多國家採用，英文譯作“algebra”。
阿布·賈法爾·穆罕默德·伊本·穆薩·阿爾—花拉子米的傳記材料，很少流傳下來．一般認為他生於花拉子模[Khwarizm，位於阿姆河下游，今烏茲別克境內的希瓦城(Хива)附近]，故以花拉子米為姓．另一說他生於巴格達附近的庫特魯伯利(Qut-rubbullī)．祖先是花拉子模人．花拉子米是拜火教徒的後裔，早年在家鄉接受初等教育，後到中亞細亞古城默夫(Мерв)繼續深造，併到過阿富汗、印度等地遊學，不久成為遠近聞名的科學家．東部地區的總督馬蒙(al-Ma’mūn，公元786—833年)曾在默夫召見過花拉子米．公元813年，馬蒙成為阿拔斯王朝的哈利發後，聘請花拉子米到首都巴格達工作．公元830年，馬蒙在巴格達創辦了著名的“智慧館”(Bayt al-Hikmah，是自公元前3世紀亞歷山大博物館之後最重要的學術機關)，花拉子米是智慧館學術工作的主要領導人之一．馬蒙去世後，花拉子米在後繼的哈利發統治下仍留在巴格達工作，直至去世．花拉子米生活和工作的時期，是阿拉伯帝國的政治局勢日漸安定、經濟發展、文化生活繁榮昌盛的時期．
花拉子米科學研究的範圍十分廣泛，包括數學、天文學、歷史學和地理學等領域．他撰寫了許多重要的科學著作．在數學方面，花拉子米編著了兩部傳世之作：《代數學》和《印度的計算術》．
1859年，我國數學家李善蘭首次把“algebra”譯成“代數”。後來清代學者華蘅芳和英國人傅蘭雅合譯英國瓦里斯的《代數學》，卷首有“代數之法，無論何數，皆可以任何記號代之”，亦即：代數，就是運用文字符號來代替數字的一種數學方法。
古希臘數學家丟番圖（Diophantus）用文字縮寫來表示未知量，在公元250年前後丟番圖寫了一本數學鉅著《算術》（Arithmetica）。其中他引入了未知數的概念，創設了未知數的符號，並有建立方程序的思想。故有“代數學之父”（Father of algebra）的稱號。
代數是巴比倫人、希臘人、阿拉伯人、中國人、印度人和西歐人一棒接一棒而完成的偉大數學成就。發展至今，它包含算術、初等代數、高等代數、數論、抽象代數五個部分。
1、算術
算術給予我們一個用之不竭的、充滿有趣真理的寶庫。——高斯（Gauss,1777-1855）
數可以說成是統治整個量的世界，而算術的四則可以被認為是作為數學家的完全的裝備。——麥斯韋(James Clark Maxwell 1831-1879)
算術有兩種含義，一種是從中國傳下來的，相當於一般所說的“數學”，如《九章算術》等。另一種是從歐洲數學翻譯過來的，源自希臘語，有“計算技術”之意。現在一般所說的“算術”，往往指自然數的四則運算；如果是在高等數學中，則有“數論”的含義。作為現代小學課程內容的算術，主要講的是自然數、正分數以及它們的四則運算，並通過由計數和度量而引起的一些最簡單的應用題加以鞏固。
算術是數學中最古老的一個分支，它的一些結論是在長達數千年的時間裡，緩慢而逐漸地建立起來的。它們反映了在許多世紀中積累起來，並不斷凝固在人們意識中的經驗。
自然數是在對於對象的有限集合進行計算的過程中，產生的抽象概念。日常生活中要求人們不僅要計算單個的對象，還要計算各種量，例如長度、重量和時間。為了滿足這些簡單的量度需要，就要用到分數。
現代初等算術運算方法的發展，起源於印度，時間可能在10世紀或11世紀。它後來被阿拉伯人採用，之後傳到西歐。15世紀，它被改造成現在的形式。在印度算術的後面，明顯地存在著我國古代的影響。
19世紀中葉，格拉斯曼（Grassmann）第一次成功地挑選出一個基本公理體系，來定義加法與乘法運算；而算術的其它命題，可以作為邏輯的結果，從這一體系中被推導出來。後來，皮亞諾（Peano）進一步完善了格拉斯曼的體系。
算術的基本概念和邏輯推論法則，以人類的實踐活動為基礎，深刻地反映了世界的客觀規律性。儘管它是高度抽象的，但由於它概括的原始材料是如此廣泛，因此我們幾乎離不開它。同時，它又構成了數學其它分支的最堅實的基礎。
2、初等代數
作為中學數學課程主要內容的初等代數，其中心內容是方程理論。代數一詞的拉丁文原意是“歸位”。代數方程理論在初等代數中是由一元一次方程向兩個方面擴展的：其一是增加未知數的個數，考察由有幾個未知數的若干個方程所構成的二元或三元方程組(主要是一次方程組)；其二是增高未知量的次數，考察一元二次方程或準二次方程。初等代數的主要內容在16世紀便已基本上發展完備了。
古巴比倫(公元前19世紀～前17世紀)解決了一次和二次方程問題，歐幾里得的《原本》(公元前4世紀)中就有用幾何形式解二次方程的方法。我國的《九章算術》(公元世紀)中有三次方程和一次聯立方程組的解法，並運用了負數。3世紀的丟番圖用有理數求一次、二次不定方程的解。13世紀我國出現的天元術(李冶《測圓海鏡》)是有關一元高次方程的數值解法。16世紀意大利數學家發現了三次和四次方程的解法。
測圓海鏡
代數學符號發展的歷史，可分為三個階段。第一個階段為三世紀之前，對問題的解不用縮寫和符號，而是寫成一篇論文，稱為文字敘述代數。第二個階段為三世紀至16世紀，對某些較常出現的量和運算採用了縮寫的方法，稱為簡化代數。三世紀的丟番圖的傑出貢獻之一，就是把希臘代數學簡化，開創了簡化代數。然而此後文字敘述代數，在除了印度以外的世界其它地方，還十分普通地存在了好幾百年，尤其在西歐一直到15世紀。第三個階段為16世紀以後，對問題的解多半表現為由符號組成的數學速記，這些符號與所表現的內容沒有什麼明顯的聯繫，稱為符號代數。韋達（Viète）在他的《分析方法入門》（Inartem analyticem isagoge,1591）著作中，首次系統地使用了符號表示未知量的值進行運算，提出符號運算與數的區別，規定了代數與算術的分界。韋達是第一個試圖創立一般符號代數的的數學家，他開創的符號代數，經笛卡爾（Descarte）改進後成為現代的形式。笛卡爾用小寫字母a, b, c等表示已知量，而用x, y, z代表未知量。這種用法已經成為當今的標準用法。
“＋”、“－”號第一次在數學書中出現，是1489年維德曼的著作《商業中的巧妙速算法》（Behend und hüpsch Rechnung uff allen kauffmanschafften, 1489）。不過正式為大家所公認，作為加、減法運算的符號，那是從1514年由荷伊克開始的。1540年，雷科德(R. Rcorde)開始使用現在使用的“＝”。到1591年，韋達在著作中大量使用後，才逐漸為人們所接受。1600年哈里奧特（T. Harriot）創用大於號“＞”和小於號“＜”。1631年，奧屈特給出“×”、“÷”作為乘除運算符。1637年，笛卡爾第一次使用了根號，並引進用字母表中頭前的字母表示已知數、後面的字母表示未知數的習慣做法。至於“≮”、“≯”、“≠”這三個符號的出現，那是近代的事了。
數的概念的拓廣，在歷史上並不全是由解代數方程所引起的，但習慣上仍把它放在初等代數里，以求與這門課程的安排相一致。公元前4世紀，古希臘人發現無理數。公元前2世紀(西漢時期)，我國開始應用負數。1545年，意大利的卡爾達諾(N. Cardano)在《大術》中開始使用虛數。1614年，英國的耐普爾發明對數。17世紀末，一般的實數指數概念才逐步形成。
3、高等代數
在高等代數中，一次方程組（即線性方程組）發展成為線性代數理論；而二次以上方程發展成為多項式理論。前者是向量空間、線性變換、型論、不變量論和張量代數等內容的一門近世代數分支學科，而後者是研究只含有一個未知量的任意次方程的一門近世代數分支學科。作為大學課程的高等代數，只研究它們的基礎。高次方程組（即非線性方程組）發展成為一門比較現代的數學理論－代數幾何。
線性代數是高等代數的一大分支。我們知道一次方程叫做線性方程，討論線性方程及線性運算的代數就叫做線性代數。在線性代數中最重要的內容就是行列式和矩陣。行列式和矩陣在十九世紀受到很大的注意，而且寫了成千篇關於這兩個課題的文章。向量的概念，從數學的觀點來看不過是有序三元數組的一個集合，然而它以力或速度作為直接的物理意義，並且數學上用它能立刻寫出物理上所說的事情。向量用於梯度，散度，旋度就更有說服力。同樣，行列式和矩陣如導數一樣（雖然在數學上不過是一個符號，表示包括的極限的長式子，但導數本身是一個強有力的概念，能使我們直接而創造性地想象物理上發生的事情）。因此，雖然表面上看，行列式和矩陣不過是一種語言或速記，但它的大多數生動的概念能對新的思想領域提供鑰匙。然而已經證明這兩個概念是數學物理上高度有用的工具。線性代數學科和矩陣理論是伴隨著線性系統方程係數研究而引入和發展的。
十七世紀日本數學家關孝和提出了行列式（determinant）的概念，他在1683年寫了一部叫做《解伏題之法》的著作，意思是“解行列式問題的方法”，書裡對行列式的概念和它的展開已經有了清楚的敘述。而在歐洲，第一個提出行列式概念的是德國的數學家，微積分學奠基人之一萊布尼茲（Leibnitz，1693年）。
1750年克萊姆（Cramer）在他的《線性代數分析導言》（Introduction d l'analyse des lignes courbes alge'briques）中發表了求解線性系統方程的重要基本公式（既人們熟悉的Cramer克萊姆法則）。
1764年，Bezout把確定行列式每一項的符號的手續系統化了。對給定了含n個未知量的n個齊次線性方程，Bezout證明了係數行列式等於零是這方程組有非零解的條件。Vandermonde是第一個對行列式理論進行系統的闡述（即把行列式理論與線性方程組求解相分離）的人。並且給出了一條法則，用二階子式和它們的餘子式來展開行列式。就對行列式本身進行研究這一點而言，他是這門理論的奠基人。
參照克萊姆和Bezout的工作，1772年，Laplace在《對積分和世界體系的探討》中，證明了Vandermonde的一些規則，並推廣了他的展開行列式的方法，用r行中所含的子式和它們的餘子式的集合來展開行列式，這個方法現在仍然以他的名字命名。1841年，德國數學家雅可比（Jacobi）總結並提出了行列式的最系統的理論。另一個研究行列式的是法國最偉大的數學家柯西（Cauchy），他大大發展了行列式的理論，在行列式的記號中他把元素排成方陣並首次採用了雙重足標的新記法，與此同時發現兩行列式相乘的公式及改進並證明了laplace的展開定理。相對而言，最早利用矩陣概念的是拉格朗日（Lagrange）在1700年後的雙線性型工作中體現的。拉格朗日期望瞭解多元函數的最大、最小值問題，其方法就是人們知道的拉格朗日迭代法。為了完成這些，他首先需要一階偏導數為0，另外還要有二階偏導數矩陣的條件。這個條件就是今天所謂的正、負的定義。儘管拉格朗日沒有明確地提出利用矩陣。
大約在1800年，高斯（Gauss）提出了高斯消元法並用它解決了天體計算和後來的地球表面測量計算中的最小二乘法問題。（這種涉及測量、求取地球形狀或當地精確位置的應用數學分支稱為測地學。）雖然高斯由於這個技術成功地消去了線性方程的變量而出名，但早在幾世紀中國人的手稿中就出現瞭解釋如何運用“高斯”消去的方法求解帶有三個未知量的三方程系統。在當時的幾年裡，高斯消去法一直被認為是測地學發展的一部分，而不是數學。而高斯- 約當消去法則最初是出現在由Wilhelm Jordan撰寫的測地學手冊中。許多人把著名的數學家Camille Jordan誤認為是“高斯- 約當”消去法中的約當。矩陣代數的豐富發展，人們需要有合適的符號和合適的矩陣乘法定義。二者要在大約同一時間和同一地點相遇。
1848年，英格蘭的J.J. Sylvester首先提出了矩陣（matrix）這個詞，它來源於拉丁語，代表一排數。在1855年矩陣代數得到了Arthur Cayley的進一步發展。Cayley研究了線性變換的組成並提出了矩陣乘法的定義，使得複合變換ST的係數矩陣變為矩陣S和矩陣T的乘積。他還進一步研究了那些包括矩陣的逆在內的代數問題。1858年，Cayley在他的矩陣理論文集中提出著名的Cayley-Hamilton理論，即斷言一個矩陣的平方就是它的特徵多項式的根。利用單一的字母A來表示矩陣是對矩陣代數發展至關重要的。在發展的早期公式det（AB）=det（A）det（B）為矩陣代數和行列式間提供了一種聯繫。數學家Cauchy首先給出了特徵方程的術語，並證明了階數超過3的矩陣有特徵值及任意階實對稱行列式都有實特徵值；給出了相似矩陣的概念，並證明了相似矩陣有相同的特徵值；研究了代換理論。
數學家試圖研究向量代數，但在任意維數中並沒有兩個向量乘積的自然定義。第一個涉及一個不可交換向量積（既V×W不等於W×V）的向量代數是由Hermann Grassmann在他的《線性擴張論》（Die lineale Ausdehnungslehre）一書中提出的（1844）。他的觀點還被引入一個列矩陣和一個行矩陣的乘積中，結果就是現在稱之為秩數為1的矩陣，或簡單矩陣。在19世紀末美國數學物理學家Willard Gibbs發表了關於《向量分析基礎》（Elements of Vector Analysis）的著名論述。其後物理學家P.A.M. Dirac提出了行向量和列向量的乘積為標量。我們習慣的列矩陣和向量都是在20世紀由物理學家給出的。
矩陣的發展是與線性變換密切相連的。到19世紀它還僅佔線性變換理論形成中有限的空間。現代向量空間的定義是由Peano於1888年提出的。二次世界大戰後隨著現代數字計算機的發展，矩陣又有了新的含義，特別是在矩陣的數值分析等方面。由於計算機的飛速發展和廣泛應用，許多實際問題可以通過離散化的數值計算得到定量的解決。於是作為處理離散問題的線性代數，成為從事科學研究和工程設計的科技人員必備的數學基礎。
4、數論
以正整數作為研究對象的數論，可以看作是算術的一部分，但它不是以運算的觀點，而是以數的結構的觀點，即一個數可用性質較簡單的其它數來表達的觀點來研究數的。因此可以說，數論是研究由整數按一定形式構成的數系的科學。
“2早在公元前3世紀，歐幾里得的《原本》討論了整數的一些性質。他證明素數的個數是無窮的，他還給出了求兩個數的公約數的輾轉相除法。這與我國《九章算術》中的更相減損法”是相同的。埃拉托色尼則給出了尋找不大於給定的自然數N的全部素數的“篩法”：在寫出從1到N的全部整數的紙草上，依次挖去2、3、5、7……的倍數(各自的倍，3倍，……)以及1，在這篩子般的紙草上留下的便全是素數了。
當兩個整數之差能被正整數m除盡時，便稱這兩個數對於“模”m同餘。我國《孫子算經》(公元4世紀)中計算一次同餘式組的“求一術”，有“中國剩餘定理”之稱。13世紀，秦九韶已建立了比較完整的同餘式理論——“大衍求一術”，這是數論研究的內容之一。丟番圖的《算術》中給出了求所有整數解的方法。費爾馬指出在n＞3時無整數解，對於該問題的研究產生了19世紀的數論。之後高斯的《數論研究》(1801年)形成了系統的數論。
數論的古典內容基本上不借助於其它數學分支的方法，稱為初等數論。17世紀中葉以後，曾受數論影響而發展起來的代數、幾何、分析、概率等數學分支，又反過來促進了數論的發展，出現了代數數論(研究整係數多項式的根—“代數數”)、幾何數論(研究直線座標系中座標均為整數的全部“整點”—“空間格網”)。19世紀後半期出現瞭解析數論，用分析方法研究素數的分佈。二十世紀出現了完備的數論理論。
5、抽象代數
抽象代數（Abstract algebra）又稱近世代數（modern algebra），它產生於十九世紀。
抽象代數是研究各種抽象的公理化代數系統的數學學科。由於代數可處理實數與複數以外的物集，例如向量、矩陣超數、變換（transformation）等，這些物集的分別是依它們各有的演算定律而定，而數學家將個別的演算經由抽象手法把共有的內容昇華出來，並因此而達到更高層次，這就誕生了抽象代數。抽象代數，包含有群論、環論、伽羅瓦理論、格論、線性代數等許多分支，並與數學其它分支相結合產生了代數幾何、代數數論、代數拓撲、拓撲群等新的數學學科。抽象代數已經成了當代大部分數學的通用語言。
被譽為天才數學家的伽羅瓦（Galois, Evariste,1811-1832）是近世代數的創始人之一。他深入研究了一個方程能用根式求解所必須滿足的本質條件，他提出的“伽羅瓦域”、“伽羅瓦群”和“伽羅瓦理論”都是近世代數所研究的最重要的課題。伽羅瓦群理論被公認為十九世紀最傑出的數學成就之一。他給方程可解性問題提供了全面而透徹的解答，解決了困擾數學家們長達數百年之久的問題。伽羅瓦群論還給出了判斷幾何圖形能否用直尺和圓規作圖的一般判別法，圓滿解決了三等分任意角或倍立方體的問題都是不可解的。最重要的是，群論開闢了全新的研究領域，以結構研究代替計算，把從偏重計算研究的思維方式轉變為用結構觀念研究的思維方式，並把數學運算歸類，使群論迅速發展成為一門嶄新的數學分支，對近世代數的形成和發展產生了巨大影響。同時這種理論對於物理學、化學的發展，甚至對於二十世紀結構主義哲學的產生和發展都發生了巨大的影響。
迦羅瓦
(1843年，哈密頓（Hamilton, W. R. ）發明了一種乘法交換律不成立的代數——四元數代數。第二年，Grassmann推演出更有一般性的幾類代數。1857年，Cayley設計出另一種不可交換的代數——矩陣代數。他們的研究打開了抽象代數(也叫近世代數)的大門。實際上，減弱或刪去普通代數的某些假定，或將某些假定代之以別的假定與其餘假定是兼容的)，就能研究出許多種代數體系。
1870年，克隆尼克(Kronecker)給出了有限阿貝爾群的抽象定義；狄德金開始使用“體”的說法，並研究了代數體；1893年，韋伯定義了抽象的體；1910狄德金和克隆尼克創立了環論；1910年，施坦尼茨總結了包括群、代數、域等在內的代數體系的研究，開創了抽象代數學。年，施坦尼茨展開了體的一般抽象理論；
有一位傑出女數學家被公認為抽象代數奠基人之一，被譽為代數女皇，她就是諾特(Emmy Noether), 1882年3月23日生於德國埃爾朗根，1900年入埃朗根大學，1907年在數學家哥爾丹指導下獲博士學位。
諾特的工作在代數拓撲學、代數數論、代數幾何的發展中有重要影響。1907-1919年，她主要研究代數不變式及微分不變式。她在博士論文中給出三元四次型的不變式的完全組。還解決了有理函數域的有限有理基的存在問題。對有限群的不變式具有有限基給出一個構造性證明。她不用消去法而用直接微分法生成微分不變式，在格丁根大學的就職論文中，討論連續群(李群)下不變式問題，給出諾特定理，把對稱性、不變性和物理的守恆律聯繫在一起。
1920~1927年間她主要研究交換代數與「交換算術」。1916年後，她開始由古典代數學向抽象代數學過渡。1920年，她已引入「左模」、「右模」的概念。1921年寫出的<>是交換代數發展的里程碑。建立了交換諾特環理論，證明了準素分解定理。1926年發表<>，給戴德金環一個公理刻畫，指出素理想因子唯一分解定理的充分必要條件。諾特的這套理論也就是現代數學中的“環”和“理想”的系統理論，一般認為抽象代數形式的時間就是1926年，從此代數學研究對象從研究代數方程根的計算與分佈，進入到研究數字、文字和更一般元素的代數運算規律和各種代數結構，完成了古典代數到抽象代數的本質的轉變。諾特當之無愧地被人們譽為抽象代數的奠基人之一。
1927－1935年，諾特研究非交換代數與「非交換算術」。她把表示理論、理想理論及模理論統一在所謂“超復系”即代數的基礎上。後又引進交叉積的概念並用決定有限維枷羅瓦擴張的布饒爾群。最後導致代數的主定理的證明，代數數域上的中心可除代數是循環代數。
諾特的思想通過她的學生範．德．瓦爾登的名著<>得到廣泛的傳播。她的主要論文收在<>(1982)中。
1930年，畢爾霍夫建立格論，它源於1847年的布爾代數；第二次世界大戰後，出現了各種代數系統的理論和布爾巴基學派；1955年，嘉當、格洛辛狄克和愛倫伯克建立了同調代數理論。
到現在為止，數學家們已經研究過200多種這樣的代數結構，其中最主要德若當代數和李代數是不服從結合律的代數的例子。這些工作的絕大部分屬於20世紀，它們使一般化和抽象化的思想在現代數學中得到了充分的反映。
現在，可以籠統地把代數學解釋為關於字母計算的學說，但字母的含義是在不斷地拓廣的。在初等代數中，字母表示數；而在高等代數和抽象代數中，字母則表示向量(或n元有序數組)、矩陣、張量、旋量、超複數等各種形式的量。可以說，代數已經發展成為一門關於形式運算的一般學說了。一個帶有形式運算的集合稱為代數系統，因此，代數是研究一般代數系統的一門科學。
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