所有的計算都包括三個過程，首先輸入數據，然後根據一定的規則對輸入進行操作，最後輸出結果。對於經典計算來說，比特是數據的基本單位。對於量子計算來說，這個基本單位是量子比特（quantum bit）——通常縮寫為qubit。
一個經典比特對應於兩個選項中的一個。任何處於兩種狀態之一的事物都可以表示成一個比特。稍後我們將看到各種各樣的例子，其中包括邏輯語句的真假，開關打開或關閉，甚至檯球的存在或不存在。
就像一個比特一樣，一個量子比特包括這兩種狀態，但與比特不同的是，它也可以是這兩種狀態的組合。這是什麼意思？兩種狀態的組合到底是什麼？能代表量子比特的物理對象是什麼？開關在量子計算中的類似物是什麼？
量子比特可以用電子的自旋或光子的偏振來表示。儘管這是真的，但似乎沒有特別的幫助，因為我們大多數人都不瞭解電子的自旋和光子的偏振，更不用說體驗過。
讓我們從自旋和偏振的基本介紹開始。為此，我們引入奧托·斯特恩（Otto Stern）和瓦爾特·格拉赫（Walther Gerlach）在銀原子自旋上所做的基礎實驗。
1922年，尼爾斯·玻爾（Niels Bohr）的行星模型描述了當時人們對原子的理解。在這個模型中，原子是由一個原子核和環繞它的電子組成的，其中原子核帶正電荷，電子帶負電荷。
電子軌道是圓形的，且被限制在一定的半徑內。最內層軌道最多可以包含2個電子。一旦這層軌道被填滿，電子就會開始填下一層軌道，第二層軌道最多可以容納8個電子。
銀原子有47個電子，其中2個在最內層軌道上，下一層軌道上有8個，然後在第三層和第四層都有18個電子。這使得在最外層軌道上留下了1個孤電子。
現在，在圓形軌道上運動的電子產生磁場。內層軌道上的電子是成對的，其中一個電子朝著與另一個電子相反的方向旋轉，從而使它們的磁場相互抵消。然而，最外層軌道上的單個電子產生的磁場不會被其他電子抵消。這意味著，原子作為一個整體，可以看作一個既有南極又有北極的小磁體。
Stern和Gerlach設計了一個實驗來測試這些磁體的南北軸取向是任意的還是特定的。他們發射一束銀原子穿過一對磁體，如圖1.1所示。
▲圖1.1 Stern-Gerlach裝置
磁體的V形設計使得南磁體的作用比北磁體更強。如果銀原子是一個頂部為北、底部為南的磁體，它就會被裝置的兩個磁體所吸引，由於南磁體作用更強，所以粒子向上偏轉。
同樣，如果銀原子是一個頂部為南、底部為北的磁體，它會被裝置的兩個磁體所排斥，由於南磁體作用更強，所以粒子向下偏轉。通過該裝置後，原子被收集在屏幕上。
從經典的觀點來看，原子的磁極可以朝任何方向。如果它們是水平的，就不會發生偏轉，而且一般來說，偏轉的大小與原子的磁軸和水平軸的夾角相對應，當原子磁軸與水平軸垂直時，會發生最大偏轉。
如果經典觀點是正確的，當我們發射大量的銀原子通過裝置時，應該在屏幕上看到有一條從頂部到底部的連續的線。但Stern和Gerlach並沒有發現這條線。當他們看屏幕時，發現只有兩個點：一個在最上面，另一個在最下面。所有的原子都表現得像垂直排列的小條形磁體，並且都沒有其他的方向。為什麼會這樣呢？
在開始更詳細地分析發生了什麼之前，我們把注意力從原子轉移到電子上。不僅原子本身像小磁體一樣，其組成部分也如此。在討論量子計算機時，我們經常會討論電子及其自旋。
以銀原子為例，如果你在垂直方向上測量自旋，會發現電子要麼向北偏轉，要麼向南偏轉。同樣，就像銀原子一樣，你會發現電子是小磁體，它們的南北極在垂直方向上完全對齊，並且都沒有其他的方向。
實際上，你不能用Stern-Gerlach裝置來測量自由電子的自旋，正如我們所展示的那樣，因為電子帶負電荷，磁場使移動的帶電粒子偏轉。也就是說，下面的圖展示了在不同方向上測量自旋的結果。
假設你是粒子源，磁體放置在你和這篇文章之間，圖中的點表示電子的偏轉方向。圖1.2a顯示了電子的偏轉；圖1.2b把電子描繪成磁體，並標出了南北兩極。我們把這種情況描述為電子的自旋N在垂直方向上。圖1.3顯示了另一種可能性，電子的自旋S在垂直方向上。
▲圖1.2 電子的自旋N在垂直方向上
▲圖1.3 電子的自旋S在垂直方向上
為了理解偏轉，由於南磁體的作用比北磁體更強，所以要計算偏轉的方向，你只需要考慮南磁體的作用。如果電子的北極靠近南磁體，那麼它就會被吸引，並向南磁體方向偏轉。如果電子的南極靠近南磁體，那麼它就會被排斥，並向北磁體方向偏轉。
當然，垂直方向沒有什麼特別的。例如，我們可以把磁體旋轉90°。電子仍然會朝北磁體或南磁體方向偏轉。在這種情況下，電子錶現為南北極在水平方向上對齊的磁體，如圖1.4和圖1.5所示。
▲圖1.4 電子的自旋N在90°方向上
▲圖1.5 電子的自旋S在90°方向上
我們將要以不同的角度旋轉磁體。我們會沿順時針方向測量角度，0°表示垂直向上方向，θ表示與垂直向上方向的夾角。圖1.6描述了一個自旋N在θ方向上的電子。
▲圖1.6 電子的自旋N在θ方向上
有時自旋被描述為向上、向下、向左或向右。 我們描述電子的自旋N在0°方向上，這似乎有些煩瑣，但是明確的。特別是當我們將裝置旋轉180°時，可以避免使用向上、向下等術語的一些缺陷。例如，圖1.7中所示的兩種情況都表示電子的自旋N在0°方向上，或者自旋S在180°方向上。
▲圖1.7 電子的自旋N在0°方向上
在我們繼續學習電子自旋之前，先暫停一下，看看我們將會在多個地方用到的一個類比。
01 量子鍾
想象一下，你有一個在標準位置上標記著小時的鐘，上面也有一個指針。然而，你不能看鐘，你只能向它問問題。你想知道指針指向哪個方向，所以你可能想問“指針指向哪個方向”這個簡單的問題。但這是不允許的。你只允許問指針是否指向鐘面上的特定數字。
例如，你可以問，指針是否指向12，或者你可以問它是否指向4。如果這是一個普通的時鐘，你必須非常幸運才能得到一個肯定的答案。大多數時候，指針會指向一個完全不同的方向。
但是量子鐘不像普通的時鐘。它要麼回答“是”，要麼告訴你指針指向的方向和你問的方向正好相反。例如，我們問指針是否指向12，它會告訴我們它是指向12還是指向6。如果我們問指針是否指向4，它會告訴我們它指向4，或者指向10。這是一種非常奇怪的狀態，但它與電子自旋完全相似。
正如我們所說，電子自旋將會激發定義量子比特的想法。如果要做計算，我們需要理解控制自旋測量的規則。我們首先考慮當測量不止一次時會發生什麼。
02 同一方向的測量
測量是可重複的。如果我們重複完全相同的測量，就會得到完全相同的結果。例如，為了測量在垂直方向上的電子自旋，我們在第一個裝置後面放置另外兩個裝置，重複完全相同的實驗。
其中一個放置在適當的位置以捕獲在第一個裝置向上偏轉的電子，另一個用來捕獲向下偏轉的電子。通過第一個裝置向上偏轉的電子被第二個裝置向上偏轉，通過第一個裝置向下偏轉的電子被第二個裝置向下偏轉。
這意味著，如果最初測到電子的自旋N在0°方向上，那麼當我們重複實驗時，該電子的自旋N仍在0°方向上。同樣，如果最初測到電子的自旋S在0°方向上，那麼當我們重複實驗時，該電子的自旋S仍在0°方向上。與我們的鐘類比，如果反覆問指針是否指向12，我們會得到同樣的答案：要麼總是指向12，要麼總是指向6
當然，在垂直方向上測量沒有什麼特別的。如果我們θ方向上測量，然後在該方向重複測量，我們每次都將獲得相同的結果。我們最終會得到一串完全由N組成的字符串或一串完全由S組成的字符串。
接下來要考慮的是如果不重複同樣的測量會發生什麼。例如，如果先垂直測量，然後水平測量，會發生什麼？
03 不同方向的測量
我們首先在垂直方向上測量電子的自旋，然後在水平方向上測量。我們發送電子流通過第一個探測器——測量在垂直方向上的自旋。
和之前一樣，我們在第一個探測器後面的適當位置還放置了兩個探測器，捕獲來自第一個探測器的電子。不同之處在於，這兩個探測器都旋轉了90°，且在水平方向上測量自旋。
首先，我們來看看通過第一個探測器向上偏轉的電子——它們的自旋N在0°方向上。當它們通過第二個探測器時，我們發現：其中一半電子的自旋N在90°方向上，另一半的自旋S在90°方向上。
南北自旋的序列在90°方向上是完全隨機的。若一個電子的自旋N在0°方向上，當我們在90°方向上再次測量它時，無法判斷它是自旋S還是自旋N。
同樣的結果也適用於第一個探測器顯示的自旋S在垂直方向上的電子——恰好一半電子的自旋N在水平方向上，另一半的自旋S在水平方向上。同樣，N和S的序列是完全隨機的。
量子鍾也有類似的問題，詢問指針是否指向12，然後詢問它是否指向3。如果我們有大量的鐘，且都問這兩個問題，第二個問題的答案將是隨機的：一半的鐘會說指針指向3，另一半會說指向9。
最後，我們來看看當進行三次測量時會發生什麼。我們先垂直測量，然後水平測量，再垂直測量。
考慮來自第一個探測器的電子，它們的自旋N在0°方向上。我們知道當在90°方向上測量自旋時，它們中的一半是自旋N，另一半是自旋S。我們將把注意力放在前兩次測量都是自旋N的電子上。
對於第三次測量，測量垂直方向上的自旋。我們發現：恰好有一半電子的自旋N在0°方向上，另一半的自旋S在0°方向上。再一次，N和S的序列是完全隨機的。當我們再次在垂直方向上測量時，電子最初的自旋N與它是否仍是自旋N無關。
我們能從這些結果中得出三個重要的結論。
第一，如果我們一直重複同樣的問題，會得到完全相同的答案。這意味著，有時候我們會得到明確的答案，並不是每個問題都會得到隨機答案。
第二，隨機性似乎確實存在。如果我們問一系列問題，最終的結果可能是隨機的。
第三，測量會影響結果。我們看到，如果我們問三次同樣的問題，會得到三次完全相同的答案。但是，如果第一個和第三個問題是相同的，而第二個問題是不同的，那麼第一個和第三個問題的答案不一定相同。
例如，如果連續問三次指針是否指向12，我們每次都得到相同的答案；但如果我們首先問它是否指向12，然後再問它是否指向3，最後問它是否指向12，第一個和第三個問題的答案不一定是相同的。
這兩種情況之間的唯一區別是第二個問題，所以這個問題必定會影響接下來的問題的結果。我們將從測量開始，對這些觀測做更多的介紹。
04 測量
在經典力學中，我們考慮將球拋向空中的路徑，而且路徑可以用微積分來計算。但是為了進行計算，我們需要知道一些特定的量，比如球的質量和初速度。如何測量這些量並不是理論的一部分，我們只假設這些是已知的。
隱含的假設是，測量的行為對問題並不重要——進行測量不會影響正在建模的系統。對於一個球被拋向空中的例子，這是合理的。例如，我們可以用雷達槍測量它的初速度。這涉及從球上反彈光子，儘管反彈光子會對球產生影響，但這可以忽略不計。
這是經典力學的基本原理：測量會影響被研究的對象，但可以設計實驗，使測量的效果可忽略不計。
在量子力學中，我們經常考慮像原子或電子這樣的微小粒子。在這裡，反彈光子對它們的影響不再是可以忽略的了。為了執行一些測量，我們必須與系統交互。這些相互作用會擾亂系統，所以我們不能再忽視它們。
測量成為理論的基本組成部分似乎並不令人驚訝，但令人驚訝的是如何做到這一點。例如，考慮這樣一種情況：我們首先在垂直方向上測量電子的自旋，然後在水平方向上測量。
我們已經看到，經過第一個探測器後，恰好有一半電子的自旋N在0°方向上，當用第二個探測器測量後，電子的自旋N在90°方向上。似乎磁體的強度對結果有一定的影響。也許它們的強度相當大，使電子的磁軸扭曲，與測量裝置的磁場對齊。如果用較弱的磁體，扭曲會減小，我們可能會得到不同的結果。
然而，我們並不是用這樣的方式將測量納入理論的。我們將看到，模型沒有考慮測量的“強度”。相反，無論測量是如何進行的，真正對系統產生影響的是測量的實際過程。
每次進行測量時，我們都會看到系統以某些規定的方式發生變化。這些規定的方式取決於測量的類型，而不是測量的強度。
將測量納入理論是經典力學和量子力學的區別之一，而另一個區別是隨機性。
05 隨機性
量子力學涉及隨機性。例如，如果我們首先在垂直方向測量電子的自旋，然後在水平方向測量，並記錄第二個測量裝置的測量結果，我們會得到由N或S組成的一串字符串。這個自旋序列是完全隨機的，例如，它可能看起來像NSSNNNSS…。
拋一枚均勻硬幣是一個經典實驗，它可以產生兩個符號的隨機序列，且每個符號出現的概率為二分之一。如果我們拋一個均勻的硬幣，可能會得到序列HTTHHHTT…。儘管這兩個例子產生了相似的結果，但在這兩個理論中，對隨機性的解釋有很大的不同。
拋硬幣是經典力學描述的事情，可以用微積分來建模。要計算硬幣是正面朝上還是反面朝上，首先需要仔細測量初始條件：硬幣的重量、離地高度、拇指對硬幣的撞擊力、拇指撞擊硬幣的準確位置、硬幣的位置等。
考慮到所有這些值，這個理論會告訴我們硬幣是正面還是反面朝上。這沒有包含真隨機性。拋硬幣似乎是隨機的，因為每次拋硬幣的初始條件都略有不同。這些微小的變化可以將結果由正面變為反面，反之亦然。
在經典力學中沒有真隨機性，只有對初始條件的敏感依賴——輸入的微小變化可以被放大，併產生完全不同的結果。量子力學中關於隨機性的基本觀點是不同的：隨機性就是真隨機性。
正如我們看到的，從兩個方向的自旋測量中得到的序列NSSNNNSS…，其被認為是真隨機的。拋硬幣得到的序列HTTHHHTT…，這看起來是隨機的，但是物理的經典定律是確定的，如果我們能以無限的精度進行測量，這種明顯的隨機性就會消失。
在這個階段，人們自然會對此提出質疑。愛因斯坦當然不喜歡這樣的解釋，他有句名言：上帝不會擲骰子。難道就沒有更深層次的理論嗎？如果我們知道更多關於電子初始構型的信息，難道最終的結果不是隨機的而是完全確定的？難道不存在隱變量嗎？一旦我們知道了這些變量的值，明顯的隨機性就會消失嗎？
接下來，我們會介紹真隨機性中用到的數學理論，之後再考慮這些問題。我們將描述一個巧妙的實驗來區分隱變量和真隨機性假設。這個實驗已經做過好幾次了。結果表明：
隨機性是真隨機的，沒有簡單的隱變量理論可以消除它。閱讀更多 星Vin 的文章
