Date：2020-04-24
在結構光三維測量中，之前筆者介紹了關於把投影看做相機的逆的模型，這次筆者要介紹一個經典相位三維輪廓測量模型，有很多相位三維輪廓測量模型都是在經典相位測量模型上的改進。
如下圖所示，在經典三維輪廓測量模型中，需要精準的設置相機，投影與參考平面的位置關係。具體設置如下：
1.投影平面需要與參考平面平行，且投影座標系的X軸和Y軸要分別於參考平面的X軸和Y軸平行
2.相機座標系Y軸要與參考平面的Y軸平行
3.像機光心與投影中心連線要平行於參考平面，像機光軸與投影儀光軸交於參考平面頂點（圖中O點）
根據上述設置，物體的實際高度可以通過相似三角形求得。所求得的高度是物體相對參考平面的高度。推導如下：
如上圖所示可知，有如下相似關係，
則由相似三角形原理，可以得到，
由於
（投影中心到參考平面距離）則由等比關係式可得：
至此，就可以得到物體相對於參考平面的高度PP‘的表達式，想要真正求得物體的實際高度，我們不僅需要提前測量投影中心到參考平面的長度l和投影中心與相機中心的距離d，還需要對參考平面進行標定。
在對參考平面進行標定時，要做兩件事。一是測量一個相位週期（2π）的光柵投影到參考平面上後的光柵的長度
，又稱光柵節距。有了光柵節距值後，如果上圖所示的B點絕對相位為
（絕對相位=相位主值+相位週期數*2π）。則空間實際距離OB可以表示為：
。同理可得
。二是需要獲得參考平面在相機中成像的相位值。即知道每個像素點的拍攝的參考平面點的相位值。（注：準確的說應該是點B絕對相位值減去點O絕對相位值的差值，如果點O處相位值為0，則可以直接用B點的絕對相位值）
對參考平面進行標定後，我們就可以通過上述公式對物體的高度進行相位測量，如上圖所示,照射在物體表面一點P的投影相位值
，而
則是點P在相機中成像位置
對應的標定時獲取的參考平面在
處成像的相位值。
所以最終物體高度可以用下式表達：
至此，經典相位法三維輪廓測量模型推導完畢。根據推導的公式，我們可以回頭看看該測量裝置在設置時需要如此嚴格的條件的必要性，對於步驟1的要求，原因如下，如果投影座標系Y軸與參考平面座標系的Y軸不平行，則投影到參考平面上的相位值會沿著參考平面Y軸發生變化，即對不同y值，其相位起始點不同，這樣在三維中投影結果不能像上圖中二維示意圖那樣OA和OB共用同一個起始點表示。而由於無法知道每個點的y值，就無法獲得OB的值。二如果投影座標系X軸與參考平面座標系X軸不平行，則投影條紋在參考平面上的光柵節距會隨著到起始點O的距離不同而變化。無法把相位用光柵節距換算成實際長度。（其實這裡如果知道投影平面X軸和參考平面X軸的夾角，從理論上也可以換算成實際長度，但需要對公式進行改進）。對於步驟2的要求，和步驟1中需要投影Y軸與參考平面Y軸平行類似，如果相機座標系Y軸與參考平面座標系Y軸不平行，則參考平面Y軸在相機圖片上的成像不是豎直的， 相機上每個像素點的相位值不能用參考平面上的同一個起始點O來計算，則無法知道OA的值。而對於步驟3，則更顯而易見，如果投影光心
不與參考平面平行，則無法知道
的值，如果相機光軸不和投影儀光軸在參考平面上相交，我們就得不到一個三角形，無法用相似性原理得到物體的高度。由以上可以看出，經典的相位法輪廓測量模型對於投影和相機的相對位置的設置有諸多難以達到的要求，而每個要求的標準與否都會影響物體最終的測量誤差。而且該模型只能求出物體相對參考平面的高度值，而不能獲得物體完整的三維座標值。此外，該模型中考慮的相機和投影都是一個完美的小孔成像模型，在該模型中，相機拍得的圖片不會有成像畸變問題。而投影儀投出的正弦光柵條紋一定是豎直的而不會因為投影畸變使得光柵投出去會有輕微的扭曲。由此可見，在實際三維重建工程中，我們幾乎不可能設置這樣一個理想的模型。儘管如此，該模型還是提供了一個很不錯的思路。且後來有不少學者是基於此模型的基礎上對相位法測輪廓模型進行改進，最終得到了易用的三維模型。對於初學者來說，瞭解這個經典模型對於相位法測輪廓的理解是非常有好處的。
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