反證法證明初二幾何難題，難為初中同學，典型過渡問題

如圖：在梯形ABCD中，AD//BC，BD＝BC，CD＝CO，∠ABD＝15°，求證：△ABC是等腰直角三角形

[思路導航] 因為求證的△ABC是等腰直角三角形，而15°不好直接用，所以聯繫和15°角一條邊相關的條件BD＝BC，以此為切入點作等邊三角形（可出45°角），將已知條件結合起來，構造出與所求相同的等腰直角三角形，再利用全等得出∠DBC的度數再計算

如圖：以BD為邊作等邊三角形BDE，連接AE

• 明顯，如果∠EAB＝90°就好辦
• 問題出現了

但不論如何∠EAB的大小隻有大於、小於或等於90°三種情況

所以轉化為對這個角的大小情況分類討論

（1） 假設∠EAB＝90°

∵△BDE是等邊三角形,∠ABD=15°

∴∠ABE=45°

∴△AEB是等腰Rt△，∠AEB=45°

在△ADE與△ADB中

AE＝AB，AD＝AD，DE＝DB

∴△ADE≌△ADB（SSS）

∴∠ADB=∠ADE=30°

∵AD//BC

∴∠DBC=30°

∵BD=BC

∴∠BDC=∠BCD =75°

∵CD=CO

∴∠DCO =30°

∴∠BCO =45°

∴△ABC是等腰Rt△

(2)假設∠EAB<90°

如下圖：過E作EF⊥BA，交BA於F，連接DF

證明：同（1）可得

△FEB是等腰Rt△，∠FEB=45°

△FDE≌△FDB（SSS）

∴∠FDE=∠FDB=30°

∴∠ADB=∠FDB+∠ADF>30°

∵AD//BC

∴∠DBC＝∠ADB>30°

∴∠BDC<75°(i)

∠EBC>90°

如下圖，過B作BM⊥BE，交EF延長線於M

∵∠EBC>90°

∴M在△BCD內

∵∠FEB=45°

∴△EBM是等腰Rt△

∴BM=BE=BD

易得∠MBD=30°

∴∠MDB=75°(ii)

顯然（i）與（ii）矛盾

所以假設的∠EAB<90°不成立

（3） 假設∠EAB>90°

作圖如下，方法類似（2），也可證也不成立

綜上所述：△ABC是等腰Rt△

小結：本題出現在初二幾何，作輔助線的難度適中，其意義在於分類討論結合反證法，可作為初中向高中及以後學習“過渡”的一個問題，“分類+反證法”具有一定的價值。

PS：很多幾何圖形其實是完整規則圖形的一部分，構造補全的方法可以多留意，有助於作輔助線。