調和級數為無窮級數的研究提供了極好的素材。讓我們證明它是發散的。我們將採取兩種不同的方法。首先，一個矛盾的證明。
假設級數收斂我們表示和：
我們可以把這個級數重新組合：
那麼
在我們進一步討論之前，先說明一下：我們不能總是把無窮級數分割開來。舉個例子：
根據分割方式的不同，這個級數的值是0或1。關鍵是，我們只能分解一個收斂的級數。更重要的是，級數必須是絕對收斂的。絕對收斂意味著即使我們取每一項的絕對值級數也收斂。如果我們用一個發散的級數來嘗試，就會遇到矛盾。
我們假設調和級數收斂。由於每一項都是正的，這個假設意味著絕對收斂。我們可以繼續。
鑑於以上所述，它遵循偶數序列和奇數序列具有相等的和：
接下來，我們逐項比較偶數系列和奇數系列：
每一項都比它下面的項大。奇級數大於偶級數。
這兩個級數既相等又不相等，矛盾出現了。因此，調和級數收斂的前提假設是錯誤的，所以這個系列是發散的。
此外，每增加一項，部分和就增加一項。我們不僅知道級數是發散的，我們還知道它會無限地變大。
這就完成了反證法。我們從一個前提開始，然後根據它得出合乎邏輯的結論。當這個結論包含一個矛盾時，這個前提就被推翻了。
下一個：一個更直觀的方法，用一點點微積分。
在下面的插圖中，級數的每一項都對應於矩形的面積。每個矩形都比曲線略高。因此，x = 1右邊的曲線下的面積一定小於級數的和。
但是曲線下的面積是多少？
曲線下的面積無限增大。因此，矩形內的面積總和也必須無限增加。
這就是我們把整個證明顛倒過來的地方。我們可以從第一個證明開始知道調和級數是收斂的。然後，我們可以把它作為我們的目標來證明曲線下的面積是無限的。
請看修改後的圖表。
只考慮x = 1右側的面積，矩形面積的和比級數的和小1。但是我們的第一個證明使我們確信和式趨於無窮。刪除第一個矩形不會改變它，曲線下的面積必然是無窮大的。
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