如圖，兩圓相交於直線MN，在交線MN上取A, C兩點，分別向兩圓做切線AD、AB和CD、CB，切點分別為S、P、R和Q。
已知AD=8,AB=12，CD=10。求BC
解答：
容易知道，直線MN是兩圓的根軸。從根軸上的點向兩圓做切線段，則切線段長度相等。
於是AS=AP,CR=CQ。
結合切線的性質，有DS=DR,BP=BQ
故
AD+BC=AS+DS+CQ+BQ
=AP+DR+CR+BP=AP+BP+DR+CR=AB+DC
於是
BC=AB+DC-AD=12+10-8=14。
關於圓的根軸
要講根軸，首先講講圓冪定理。
圓冪定理：對任意給定的半徑為r的圓O,和一點A,設過點A的一條直線與圓O交於P，Q兩點，則乘積 AP·AQ為定值，且
比如對上面的圖，A點在圓的外部，就有
(切線可看作割線的兩個交點重合的特殊情況。）點在圓的內部時，結論類似，也就是相交弦定理，這裡不再贅述。
事實上，如果點在圓的內部，則AO^2- r^2 <0,為了避免式子中的絕對值，將線段乘積改成向量點積，圓冪定理可敘述如下：
過點A的直線交圓O於P、Q兩點，則
我們就把上面的向量點積 AP·AQ叫做點A對圓O的冪。
點積的符號反映了點與圓周的位置關係，而點積的大小則反映了點到圓周的距離大小。
點積>0，在圓周外；點積=0，在圓周上；點積<0，在圓周內。
一旦點和圓的位置、大小確定，那麼上面的向量點積也就確定了。跟直線的選取無關（如上圖）。
有沒有似曾相識的感覺？
不妨從解析幾何的角度，來看看這個圓冪的本質。
以（a,b)為圓心，r為半徑的圓的經典方程是
不妨改寫成
設函數
則所謂的圓，就是f(x,y)=0的點的集合。
點對圓的冪又是什麼呢？
設A(m,n),則A對圓的冪
點A對圓的冪，就是f(A)！
什麼叫根軸呢？先看一個概念， 等冪點。
給定一個圓O，如果兩個點到圓O的冪相等（大小相等且符號相同），則稱這兩個點對圓O是等冪點。
顯而易見，對給定的冪，所有等冪點與原來的圓構成一個同心圓。
比如上圖，大圓上的任意點對小圓的冪都相等，其值為R^2 - r^2
事實上，圓自身就是一個等冪點的集合，零冪點集！
從解析幾何的角度，就更直觀了：所謂等冪點，就是滿足“f(x,y)=給定值”的點的集合。而圓，不過是這個給定值恰好為0的特殊情形罷了，也就是，零冪點集。
理解了圓冪和等冪點，根軸的概念就很容易理解了。
對於兩個不同的圓,不妨設其一般方程為f(x,y)=0和g(x,y)=0（平方項前面的係數均為1），我們把對兩個圓的冪相等的點的集合稱為這兩個圓的根軸。前面已經知道，點A對圓f(x,y)=0和g(x,y)=0的冪，其實就是f(A)和g(A),所以這兩個圓的根軸，也就是滿足f(A)=g(A)的所有點的集合。
顯而易見，兩個圓的根軸是一條直線。其方程為f(x,y)=g(x,y)，或者f(x,y)-g(x,y)=0。
對於相交的圓，有一個非常重要的結論：相交圓的根軸就是兩圓公共弦所在的直線！
如上圖，兩圓交於M,N兩點，則直線MN為這兩個圓的根軸。
這很好理解。我們已經知道，兩個圓的根軸一定是一條直線，而兩點確定一條直線。顯然，M點在兩個圓周上，故M 點到兩個圓的冪均為零，是一個等冪點，同理N點也是一個等冪點。於是M,N所在的直線正是兩個圓的根軸。
有了上面的知識，原題也就迎刃而解了。
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