2020年5月30日，中國科學院院士、中國科學院數學與系統科學研究院研究員席南華受邀作遠程報告“數學的意義”，從數學的發展史、數學的特性、數學巨匠的一些觀點以及數學美的含義等多個角度講述了數學的意義。提要：
數與形導出的數學發展史
數學的獨特貢獻：認識無限
數學是什麼
數學的純粹和無處不用
數學的思維之美
數學的邏輯之美
數學的形美
那些有個性的數學家
演講｜席南華（中國科學院院士、中國科學院數學與系統科學研究院研究員）
來源 | 返樸、中國數學會
謝謝主持人的介紹，我今天要說的是“數學的意義”。
數學，要說愛你不容易，不管你是天才還是庸人，都是它虐待的對象，差別在於有人在這虐待的過程中得到快樂，但大部分人得到的是痛苦。痛苦的一個根源是其實我們並不認識它，撇開我們在與數學打交道的過程中的不愉快或愉快，今天讓我們從另一個角度、一個輕鬆的帶著喝下午茶的心情，帶著一個旁觀者的心態，來看一看數學的意義。
數與形導出的數學發展史
提起數學，我們會想到什麼？從小學到大學都有數學課，它在最重要的課程行列。我們也知道，在日常生活和科學技術中，它很有用。除此之外可能就想的不多了。換句話說，對數學的本質，它為什麼有用，甚至更進一步為什麼有數學，數學除了實用以外還有什麼別的含義，就不大想了，這似乎是和我國文化的實用主義是有關係的。在這樣的背景下，可以說我們對數學的認識是很不足的，我們看見的實用只是數學的一個面，是冰山一角。
數學理論的源頭在古希臘，我們有誰不知道歐幾里得幾何原本呢？它的數學發展的水平之高，即便在今天看來，都是讓人感到非常吃驚的。它為什麼會是這個樣子，它的產生當然與希臘當時的文化和哲學是分不開的。跨越時空，讓我們來到2000多年前的希臘，看他們是怎樣認識數學的。他們說，“數學是現實的核心，萬物皆數，數統治著宇宙”等觀點，都是出自畢達哥拉斯學派，柏拉圖學派是深受畢達哥拉斯學派的影響。
我們都知道數學研究量與形，但這麼說還難以感受數學的重要性，也很難聯想到數學是現實的核心。大家想一下，有什麼東西沒有量與形的屬性呢？換句話說，量與形是物質與事物的基本屬性，不管是什麼東西，它的這兩個屬性是擺脫不掉的。數學研究就是這些基本的屬性，這決定了數學的價值，也使我們明白，數學它是基礎而重要的。說它是現實的核心也就不奇怪了。
如果我們想要對數學有很好的認識的話，就有必要回顧一下，歷史上它是怎麼產生的。為什麼能夠產生數學、人們是怎樣一步步建立數學體系的？就是說，在遙遠的過去數學是什麼樣子？
其實整個歷史過程是非常的漫長，數學有很長的歷史，不像有些學科非常的短，可能就是20世紀開始的，但數學不一樣，它作為一個獨立的、有理論的學科出現，還是2000多年前。應該說公元前600年到公元前300年期間，歐幾里得《幾何原本》它就是一個光輝的典範，它把古代時候的數學都系統的整理出來，用公里化的方法處理，整個思維體系影響了後面兩千多年。他的幾何《原本》也在2000多年間是標準的教科書。幾乎同時，亞里士多德的學生歐德摩斯就寫有數學史的著作，所以數學史人們很早就關注它了。
不過，比起人類和人類文明的歷史，數學的歷史要短暫得多。在一萬多年前人類就開始定居於一處，靠農牧業生活，在中國的考古中，包括周口店的頭骨，我們都能看出來。不過文字的出現卻要晚的多，大約在公元前3200年的時候。文字的出現對整個文明來講是極其重大的事情，在我國古代認為這一是件泣鬼神的事情，在沒有文字的時候，你想要在數學上有重要的發展，那是不可想象的，所以文字出現以前，數學的發展其實是非常緩慢的。
我們都有一個深刻的印象，就是數學的抽象特點。即便是一個非常簡單的概念，數，就是一個抽象的概念，你在大自然中間看不到一個抽象的數，比如1。抽象的數的發展其實也是非常緩慢的，類似的概念包括線段、直線、三角形、圓等等也是一樣。數的概念據人們研究也並不是僅僅只有人獨有，據說有些動物也有數的概念。人們提煉數的概念其實經過了一個很漫長的時間，開始的時候人們對數的觀念是與具體的物品聯繫在一起的，比如說一棵樹、一塊石頭、兩個人、兩條魚等等，對形也是一樣的。
逐漸地，人們發現了一棵樹、一塊石頭等具體物體的共同的數字屬性，數的抽象概念就這樣形成了。數，是自然界若干物體的共同數字屬性，這是一個抽象的概念，你在自然界當中不能直接找到。我們今天可能沒有意識到，其實這在人類認識自然的過程中間是一個巨大的飛躍。實際生活的需要產生了數字間的計算，比如說要分配食物、交換物品、到指定日期前的天數等等，這都需要對數進行一個計算。我們日常生活中間對數學的認識，說數學有用，很多時候都停留在這個階段，比如說會算帳、會分配什麼東西等等，它其實是對數學的一個誤解。
還有一件很重要的事情，就是要給數一個名稱，並且能夠記下來告訴別人，這件事情也並不是一件很簡單的事情，所以在文字剛產生之初就引進了數學符號，這在算術的發展上是非常重要的。一般的算術符號和公式、未知數的符號等是很晚才完成的，包括我們現在熟悉的常用的加減乘除的符號、代數符號都是很晚很晚（才完成的）。像現在的代數符號是到了16、17世紀意大利數學家韋達引進的，他對代數學的發展起了一個巨大的作用。
算術最早是在巴比倫和埃及那裡發展起來的，它由於實際生活的需要，包括稅收、丈量土地、貿易、建築和天文等等。雖然數學發展到今天已經非常抽象，但它的來源還是實際的生活與生產。不過需要說清楚的是，這裡所產生的只是一些計算的規則和問題的解答，
算術的這種形式並不是數學理論，原因在於它沒有關於數的普遍的定義。前些年，也許現在還有，有一個電視臺的《最強大腦》裡面可以看到有些人算得很快。一個運算能力非常強的人，大家會有一些誤解，以為這些人都有很強的數學能力，其實這是一個誤會，他有數字的運算能力卻不一定有數學的能力。從實際後來發展的情況來看，他們其實並沒有數學的能力，原因在於他們對於數的普遍規律沒有什麼深刻的認識，所以不具備數學的天賦。向理論算術的過渡是逐漸進行的。在古代像中國、巴比倫、埃及就已經知道百萬以上的數了。我們看《史記》上的記載，在戰國時代，它的戰爭規模就已經非常龐大了，打起仗來動用士兵經常幾十萬、上百萬等等，雖然我們今天都習以為常。我們現在的孩子數數1、2、3……都會數下去，但是在他的意識裡邊，是不是會想著這個數能夠一直數下去？可能知道，也可能不知道。數是不是會到某個地方截止了？這個也是不清楚的。在古代最偉大的科學家阿基米德專門有一本書叫《數砂法》，裡面明確指出了命名大量砂粒的數目的方法，這在當時是一件需要詳細解釋的事情。其實今天遇到天文數字，我們也很難具體的數一數，我們可能到百萬、到億、到萬億等等，再往大了，一般人也用不到那些數字，也不知道怎麼稱呼，最後籠統的就會用一個數字——天文數字來表述它。對於很大的數字要給它命名，在古代不容易，在今天其實也沒那麼容易。
在公元前三世紀的時候，希臘人明確意識到兩個重要的思想：數列可以無限地延續下去；不但可以運用具體的數，還可以討論一般的數，從而證明關於數的普遍定理。比方說《幾何原本》裡面就證明了素數有無窮多個，這是關於數的普遍的定理。這個時候，數學理論就產生了。
算術概念其實反映了物體集合量的關係，這些概念是在分析和概括大量實際經驗的基礎上加以抽象化而產生的，並且是逐漸產生的。剛開始是與具體對象相連的數，然後是抽象的數，再就是一般的數。但有意思的一件事情是，每一個階段都依賴先前的概念和積累的經驗，這是數學概念形成的基本規律之一，其實其他的科學也是一樣的，要形成一個概念，都要依賴於前面的積累。
算術讓人信服的一個根源，在於它的結論和概念是運用邏輯方法得到的，邏輯方法和概念都是以數千年的實踐為基礎，以世界的客觀規律為基礎。我們對數學的邏輯都是非常信服的，邏輯也不是憑空產生的，它也經過了一個漫長的過程，以數千年的實踐為基礎，以世界的客觀規律為基礎。這種想法以為我們的邏輯能夠獨立於這個世界，但它是不合適的，這當然也就意味著邏輯也有它的侷限，邏輯是非常詭異的，它的詭異性遠遠超出我們的想象。
儘管算術的概念是抽象的，但有廣泛的應用，原因在於它的概念和結論概括了大量實踐經驗，在抽象的形式裡面表現出現實世界那些經常和到處碰到的關係。計算的對象可以是不同的，是動物、農產品、星球等等，它捨棄了所有局部和具體的東西，抽取了某些普遍的性質，這就是數字的共同屬性。性質的普遍性其實決定了應用的廣泛性，抽象的價值就在這個地方。
算術的抽象性保證了廣泛應用的可能性，這種抽象並不是空洞的，而是來源於長期實踐的經驗。對於全部的數學，對於任何抽象概念和理論，它其實都是一樣的。理論應用廣泛的可能性取決於其中所概括的原始材料的廣泛性。要說清楚一點，抽象與空洞不是一回事。我們經常會看到，某個人說的話真空洞，他說的話好像沒什麼內容等等，不管報紙上還是很多領導的講話也好，都有這個印象，原因在於它裡面並不概括什麼實際的內容，而僅僅是形式上給你一些正確的東西，這種形式上正確的東西其實並沒有什麼價值。而數學上的抽象並不是一個形式的東西，它來源於長期的實踐經驗。對於任何數學，對於任何其他的科學包括哲學等等都是一樣的，需要概括一些非常廣泛的東西，並且有實際的豐富的內容。還是這麼說，理論應用廣泛的可能性取決於概括的原始材料的廣泛性，如果概念本身概括的東西很少的話，希望它能夠有廣泛的應用，那是不現實的。
毫無疑問，抽象也會有它的侷限性，因為在抽象的過程中間會丟棄掉很多東西，只反映對象部分的屬性。常常也是這樣，僅有數據是不夠的，我們現在生活在一個信息時代，大數據的時代，大家對數據的強調到了非同尋常的地步，認為數據要主宰這個世界的一切一樣。但是從過去的經驗來看，它可能還做不到這一點。數據只是事物的一部分屬性而已，換句話說不能無限制的運用抽象的概念，就像把一隻羊和一頭狼加在一起，一升水和一升酒混在一起，它都不是算術一加一的應用，雖然可能有些商人會在酒裡兌水，我們也有個非常有名的動畫片《喜洋洋與灰太郎》等等。真理是具體的，雖然數學是抽象的。把抽象應用到具體是一種藝術和一種技術。
有意思的一件事情就是我們的思維常常是會超出實踐提出的任務這些要求以外很遠，這非常有意思，比如十億或者百億這樣的大數字概念，它當然是在計算中間產生的，很早很早就有了。但這些概念出現的時候其實沒什麼用處，直到後來才有用。科學裡有很多這樣的東西，剛開始出現的時候沒有什麼用處，我們後面還會舉一些例子，這就是說我們實用的一些哲學觀點，可能要避免。這種例子在科學上很多，舉個簡單的例子，大家在高中的數學裡面有複數，我們知道求方程的時候都要求根是一個實根等等，但是對於X+1=0這樣一個方程，我們就沒有根了，沒有根怎麼辦？那就不存在了。得出這個結論，但是我們又不滿足，最後又引進了一個根，虛數。從這個概念本身就知道，它是一個虛構的，它是想象出來的，不存在。但是到了後來，這個數非常的重要，由於虛數的引進之後我們就有了複數的概念，複數上的數學是非常龐大和深刻的。陳省身先生對複數就非常著迷，他說複數太迷人，你怎麼都參不透它，裡面有很多的東西是那麼神秘，那麼深刻。他晚年致力於的一項工作就是證明一個六維的球面上有復結構，但一直都沒有做下來。當然這個問題到現在誰也沒有做下來，所以他沒有做出來也一點不奇怪。
類似地，線段、直線、圓和三角形等等抽象概念，也是逐步發展起來的，它是一些物體的共同的空間屬性，是形方面的屬性。和算術一樣，它產生於實踐，然後逐步形成數學的理論，現在已經是及其龐大的理論了。形的概念，也從我們熟悉的點、線、面等等變得非常陌生，比方說在三維空間裡面，把所有過圓點的實線拉出來，它也是一個非常好的結構，是一個射影空間。
幾何的抽象當然也是很明顯的，因為這裡頭點沒有大小、線沒有寬度厚度，面也沒有厚度，它只是現實世界物體的一個空間屬性的抽象，在現實中間你看不到這樣的點、線和麵。對這些抽象的空間形式是沒有辦法做實驗的，所以只能用邏輯推理的方法從一些結論導出另一些結論，重要的是我們需要認識到這些結論其實是現實世界的抽象的一個反映。
幾何和算術一樣，它原始概念的明顯性、推理的方法、結論的令人信服都如同算術那樣，以實踐和世界客觀規律為基礎。既然以實踐為基礎，也就意味著它會有侷限，就會有人想，我們直觀提煉出這些概念，是不是很好的反映了現實？很久很久以前人們是很有信心的，但隨著科學的發展，或者說隨著人們對幾何公里深入分析的時候，這個信念就動搖了。大家知道對歐幾里得幾何第五公式的討論和思考，最後導致了非歐幾何，那非歐幾何中的黎曼幾何對相對論是非常重要的，更好的描述了我們的宇宙。所以我們來源於實踐中的很多東西，到後來又經過不斷的修正，通過實踐和理性的思考。
在數學裡面，量與形是事物的基本屬性。毫無疑問，分開討論量的屬性和形的屬性都是不夠的，他們兩者必然會有聯繫、互相有制約。數學分支之間的聯繫互相滲透，是有特別重大的意義的，它有力的推動了數學的前進，並揭示了這些分支所反映的現實世界關係的豐富多彩。我們現在非常強調交叉，原因就在於不同的學科其實都是現實中間不同角度的反映而已，只有把它結合起來，才能對這個現實有更全面的認知。這有點類似於盲人摸象，每個學科可能只摸到一個局部、一個側面而已，把所有的合起來，我們就會對這個“象”有個更完整的認識了。
回到算術與幾何，它同樣有密切的聯繫，不僅互相作用，而且是產生進一步的一般概念、方法和理論的來源。這一點非常的重要，就像我們現在的交叉，它不斷產生新的概念、方法、理論等等。數學和化學結合到一起就會有計算化學；數學和物理的結合一直是非常緊密的，（它們的結合）有數學物理；還有計算生物學等，像現在很多數學家轉去做生物，我知道有些美國的數學家轉去做生物之後，結果成為美國科學生物方向的院士，這樣的例子還有很多。
算術和幾何是數學成長的兩個根源，其密切的聯繫在剛開始就有了。比方說簡單的一個長度測量就已經是算術和幾何的結合了。當你測量物體的時候，會把單位長度的東西放在物體上面，然後數一數共放了多少次，其中第一步“放”的時候就是一個幾何的性質——全等，第二步“數”當然是算術的做法。
在測量時候常常會發現，選用的單位不能在被測的物體上放置整數次，這時候就必須把單位加以分割，以便利用單位的一部分來更準確的表示量，這就已經超出整數的範圍了，要用分數來表示這個量，分數就這樣產生了。這是幾何與算術相互作用的結果，它引起了數的概念從整數到分數的推廣，這也是數的概念非常重要的一步，分數就這樣產生了。直接在自然界中間還形成不了分數的概念，但是通過幾何與算術的聯繫，它就產生了。
不過無理數的發現，還不能通過測量實現，因為在實際測量中間，如果分割和度量達到過於細小的程度時候，這些細小的量就會被直接忽略掉，也做不到無限精確的測量，而且無限精確也沒有意義。
勾股定理告訴我們，單位邊長的正方形對角線的長度就是2的平方根，這樣數的概念就進一步發展了。而且逐漸的人們把數理解為某個量與被取做單位量的比值，可以不再把數與具體物體量的屬性聯繫起來，這意味著對數的認識又比前面進了一大步，它是兩個量的比，比如3/5，就是3和5的比值，和測量、和數（shǔ）數（shù）都沒有任何的關係。
這裡要特別強調一下無理數的發現。我們可能都知道，在古希臘的時候，人們利用勾股定理，他們叫做畢達哥拉斯定理，發現了單位邊長的正方形不能夠被有理數度量的時候，希臘人是感到震驚的。他們認為這些事情好像破壞了世界的美一樣，不能理解這件事情。但它既然這樣自然的產生，當然在數學裡面有重大的意義。從哲學上來講，它的發現也是數學理論在揭示自然規律和現象的威力深刻性上一個典型的例子。可能我們平常沒有意識到這一點，就是無理數沒有數學理論是發現不了的，其他的手段包括測量、抽象、實驗等等，都發現不了，只有數學理論能夠告訴你世界存在無理數，而且會有很多很多。後面我們還會談到一些其他東西，比如說無窮也同樣只有數學能做到，別的科學做不到。
數的概念進一步的發展就是實數，然後就是複數，到了後來就是代數結構，這個地步已經到了比較高深的數學了。換句話在我們日常生活中間不一定能夠直接感受到，可能也不需要感受到，專家會給我們忙這些事情，（把它們）運用到物理、通信、航天等地方。
關於數與形的聯繫，華羅庚先生有一個非常深刻的見解，他說：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微。”確實是這樣，你把這兩個統一起來考慮的時候，對這兩者的認識都會變得更深刻。如果你孤立的來考慮，不會走的那麼遠。
數學的獨特貢獻：認識無限
簡單地談一下歷史之後，我們應該說數學了。數學應該是從數（shǔ）數（shù）開始的，我們有誰不會數數呢？在幼兒園裡的孩子都會1、2、3……這麼數下去。一般孩子數到100，可能他的爸爸媽媽就讓他過去了。不過有些望子成龍的家長可能會讓他一直數到N，數到一個抽象的N。一般可能想不到用正整數把所有整數都數一數，其實這是可能的，一個數法就是從零開始，然後一個負數一個正數、一個負數一個正數，結果就把整數這麼一個個排下去了。這件事情有點意思，也說明數數好像沒有那麼簡單。
接下來我們就可能會想著用正整數去數有理數，剛開始看這似乎是不可能的一件事情，但出人意料這也是可能的。有理數是兩個整數的比，當然前面還有一個正負號，我們可以要求這個分子分母沒有大於1的公因子，把分子分母都加起來，先按這個值大小分成若干部分，這時可以用整數去數。然後對於固定的和，這裡的有理數肯定是有限的，那這部分又能數。這樣操作下去之後，結果發現有理數也能數，從零開始，然後接下來就是分子分母都是1的數，只有1和負1；那分子分母加起來是3的時候，那就是1/2，2，-1/2，-2；加起來是4的時候就是1/3，3，-1/3，-3等等。這個樣子就把有理數全部都數下去了，這應該說數數還是非常有意思的一件事情。
那接下來你可能想繼續用整數來數實數，但很遺憾，實數確實沒辦法用整數來數。這顯示出實數和有理數、整數之間，從無窮的觀點來看，它是有巨大差別的。而且有理數雖然看起來亂糟糟，我們還是能夠把它數清楚，但實數我們做不到這一點。證明並不難，我們這裡不用去管它了。
這裡馬上就會產生一個問題，在自然數全體和實數全體之間有沒有一個數的集合，它一方面沒有辦法數，或者說我們不能像整數那樣數下去；另一方面它和實數全體也不一樣多，也就是說你不能和實數集建立一一對應，一一對應通俗的語言說來就是旗鼓相當，數學的語言就是等式，就是勢力相等的意思。這個問題看起來很自然，問的就是像在1和2之間有沒有整數一樣。不過大家可能意識不到的事情是，這個問題在數學裡面是特別重要的一個問題，一個很基礎的問題。
康託是集合論的創始人，他提出這樣一個假設——連續統假設，說這樣的集合沒有。大家可能知道，在1900年國際數學大會上，偉大的數學家希爾伯特提了23個問題，這23個問題中的第一個問題就是連續統假設，可見這個問題在數學中的重要性。數學家們花了很大的力氣來研究它。
哥德爾，偉大的奧地利數學邏輯學家，他在1940年就證明了連續統假設和我們現在這個邏輯體系是沒有矛盾的，沒有矛盾還不能說它對。又過了23年到1963年，一位美國數學家科恩，他發明了一種非常有的辦法，叫做力迫法，證明這個結論否定的一面和我們現在的邏輯體系也是沒有矛盾的。這個事情就變得詭異起來了，換句話說這麼簡單自然的一個問題，在邏輯上來講，我們證明不了它是對或者錯，就像在我們日常生活中一句話一樣：“說你行你就行，說你不行你就不行”，這讓我們對邏輯產生了很奇怪的感覺，原來它也有它不能的時候。科恩因為這項工作，在1966年獲得了菲爾茲獎。在取得了這項偉大的成就之後，他心氣高昂，覺得數學裡面沒什麼問題值得他研究，除了有一個問題叫黎曼猜想——數學裡面最著名的一個問題。科恩後來的餘生就致力於研究黎曼猜想，他這個心勁有點類似於我們古代唐詩所描述的境界“曾經滄海難為水”。很可惜，科恩已經去世了，黎曼猜想還依然活著，誰也沒辦法證明它。在這個地方我們可以看出來，邏輯實際上比我們想的詭異的多，很多時候我們對它的認識可能還不那麼透徹。關於邏輯我願意在這裡再多說一點點，一般人對於數學的邏輯都非常有信心，不僅數學家相信，物理學家相信，一般老百姓也相信。但隨著我們對數學的認識不斷的加深的時候，就有很多的悖論，包括羅素的悖論等等。這些悖論也就意味著數學的邏輯不像我們平時想得那樣無所不能、無所不利。我們能做的事就是給它建立一個很堅實的基礎，比如這個世界有狼，那我們就圈一塊地，把狼趕到外面去，然後在圈裡面放羊。把數學就建立在這個領域，這個大廈就非常牢固了。數學家對這個努力的方向是非常樂觀的，
羅素與懷特海就寫過數學原理三大本書，試圖來做這件事情。羅素是一位非常傑出的數學家，數學家拿諾貝爾獎的人很多，但是這位數學家是通過文學拿的諾貝爾獎，實際他是通過這三本書——《數學原理》拿的諾貝爾獎。據說當時正好在諾貝爾獎評選委員會里，有一個人對他這項工作很瞭解，結果就頒給他了。拿諾貝爾獎文學獎的數學家目前只有一個。偉大的數學家希爾伯特對這樣一個努力的方向也非常的樂觀，認為我們一定能夠做到這一點，我們必須做到，也將會做到。但他這種樂觀的話說出來之後，朗朗的笑聲沒有多久，在1931年，哥德爾，還是這個哥德爾，他就證明了兩個不完備性定理。第一個定理說，如果你的公里體系包含算術公里體系，就是我們最常用的體系，因為我們總要處理整數、算術這些東西，如果包含這個體系了，必然會有一個命題是沒法判斷它的正確與否的。就像我們剛才（提到的）一樣。歌德爾這個構造還要簡單一些，那是更早完成的。另一個不完備定理說，如果有一個公里體系包含了這個算術公理體系，那麼它的不完備性是不能夠由自身證明的。就像在法庭上你不能自證清白。這對希爾伯特的形式化綱領是一個致命的打擊，也宣告他的形式化綱領是不可能實現的。希爾伯特得知這個消息後當然非常的沮喪，更遭的是那個冬天，他還把腿給摔斷了，這顯然是一個不祥之兆。
從數數引發出來的問題，我們可以看到邏輯的詭異性，也揭示了我們認知上的侷限性。
數理邏輯還和計算機科學是密切相關的，計算機科學能做到哪一步，哪些地方不能做，這個界限有時候還不是特別的清楚。但是我們通過數理邏輯知道有些東西做不了，還有很多東西能做不能做我們並不知道，比如P和NP問題等等，它反應了一些詭異的東西。哥德爾這項工作不僅在數學界裡面，而且在哲學界裡面都產生了巨大的影響，他實質上和我們的常識或者是一般所想的差的太遠了。在上個世紀70年代有一本書，是獲得美國普利策獎的，書名就是《G.E.B》——一條永恆的金帶。這個G就是哥德爾；E就是埃舍爾，一位荷蘭的畫家；B就是音樂家巴赫。他把哥德爾的不完備性定理和埃舍爾的繪畫以及巴赫的音樂給聯繫起來。你在看埃舍爾繪畫的時候也是很有意思的，它在整個局部上都是非常合理的：水不斷地往高處流，結果最後整體上看它流到原來地方，或者甚至比原來更低的地方。巴赫的音樂也是，有時候聽了你會感覺到它不斷的深厚，結果回到原來的地方。那本書就揭示了這中間的一些聯繫，是一本很有影響的書。我們國內也有翻譯。埃舍爾的畫科學家也很感興趣，因為它揭示了一些非常奇怪的矛盾現象。印象中間像楊振寧寫的《基本粒子發現簡史》裡面就有一幅插圖，是用了埃舍爾的繪畫。
埃舍爾繪畫作品《瀑布》
在我們有限的生命裡面，要認識無限，似乎是一件困難的事情，甚至可能是一件讓人不安的事情。在古詩裡面就說了“生年不滿百，常懷千歲憂”，這就表明我們並不甘心侷限於自己有限的時空。但無限是令人敬畏的，帕斯卡說過：“當我想到我生命的短暫停留，被前後的永恆所吞噬，我所佔據的小小空間，被我也一無所知的無限廣闊的空間所淹沒，我感到恐懼，這些無邊無際的空間的永恆的寂靜使我害怕。”在數數的遊戲中間，我們就感受到了整數的無窮和實數的無窮的差別。
數學非常重要的一個作用是能夠認識無限，這是別的學科做不到的。你沒有看到任何其他的學科能夠做這件事情，哲學討論無限，討論不出個所以然，只有數學能夠研究無限，這是它神奇的地方。我們利用無限還可以研究有限，例子包括極限、級數、無限集合等等。在無限裡面也有差別，我們剛才已經看到了整數的無限和實數的無限的差別，在數學裡面專門有個分支研究這種差別，那就是集合論。對於無限，希爾伯特的認識是非常深刻的，他說：“沒有其他的問題能夠如此深刻的觸動人的精神；也沒有其他的思想能如此富有成果地激發人的思想邏輯領悟力；然而也沒有其他的概念比無限的概念更需要澄清”。我們常常有個樸素的想法，希望長生不老，其實是跟無窮聯繫在一起的。
數學是什麼
我們現在轉過來看一些觀點，數學是那麼的有魅力，偉人們從不吝嗇他們對數學的敬畏和讚美之詞，說出了一些非常深刻的觀點。像古希臘，畢達哥拉斯學派、柏拉圖學派，他們認為數學是現實的核心。我們常常聽到的觀點“萬物皆數”源自畢達哥拉斯，他的學派還有類似的表述：“數統治著宇宙，數是萬物的本質”。柏拉圖學派深受畢達哥拉斯學派的影響，把數學擺在至高的位置，“純粹思想的最高形式是數學。”在柏拉圖學院的大門上寫著“無幾何學識者勿入此門”。在柏拉圖的名著《理想國》裡面，第七篇有很長的對話討論算術與幾何的重要性，結論就是“算術迫使靈魂使用純粹理性通向真理，幾何是認識永恆事物的，並把算術和幾何作為青年人必須學習的第一門和第二門功課。”
古希臘認為“數學是自然界最真實的本質”，有這樣的認識，古希臘在數學上能夠取得開天闢地的成就，似乎也就不奇怪了。這句話在我們今天的時代應該會有更深的體會，在我們今天的社會信息時代裡面，什麼東西都要數字化，數字地球，數字這個數字那個等等，其實背後都離不開數學。
伽利略認為 “宇宙就是用數學語言寫成的，如果你不懂數學，要想認識宇宙是不可能的，這些語言的字母就是三角形、圓以及其他的幾何形狀等等。”
高斯認為“數學是科學的皇后”。也許大家看過徐遲的報告文獻《哥德巴赫猜想》裡面提到過這句話。高斯是被稱為19世紀的數學王子，是19世紀最偉大的數學家，也是傑出的物理學家、天文學家、大地測量學家，他的這句話常被人引用，只是不知道高斯把皇帝弄哪兒去了。不過也許大家可以想一下。
維格納是一位獲諾貝爾獎的物理學家，他提到 “在自然科學中，數學是不可思議地有效，已經達到了不合理的程度。”他的這個觀點問世以後，引起了長久的討論和引申。
狄拉克也是一位傑出的物理學家，他認為“上帝是一位非常高等級的數學家，他用非常先進的數學來構造這個宇宙，我們只要在數學裡面有進一步的認識的話，都會有助於我們認識這個宇宙。”我只是有點奇怪，他為什麼不認為上帝是一個最高等級的數學家，他是不是認為最高等級數學家還有什麼別的人？
在歐洲甚至一些文人對數學也是讚歎不已，這和我們國家的文人不太一樣，我們國家的文人好像贊美數學的很少。我只是看到很多文人寫的作品裡面，對數學是表現極其的厭惡之情，以不懂數學而自豪等等。伏爾泰認為“數學必須駕馭我們理智的奔馳，他是盲人的柺杖，沒有它寸步難行。一切確鑿無疑的事實都應該歸公於數學和經驗。”這是一種認識，也是一種信念。法國數學的強大，不僅是法國數學界的功績，也有深刻的文化因素。甚至他們的皇帝對數學也是讚歎有佳，把它和國家的繁榮富強聯繫起來。拿破崙是19世紀法國偉大的軍事家、政治家、法蘭西第一帝國的提倡者。人們一般都關注他的軍政成就，其實他在科教方面的成就對法國以後的發展也同樣是至關重要的。在法蘭西第一帝國期間，法國制定了保留至今的國民教育制度，成立了公立中學和法蘭西學院來培養人才，鼓勵科學研究與技術研究事業的興起。拿破崙本人對科學文化事業是極為關注的，掌權以後他定期出席法蘭西科學院的會議，邀請院士們報告科學進展，把許多獎賞授予科學家，包括外國的科學家。拿破崙的關注，促進了法國科學的繁榮，出現了像拉普拉斯、拉格朗日、蒙日、卡諾、傅里葉、呂薩克、拉馬克、居維葉等一大批耀眼的科學明星。我們國家的領導人現在對數學也是非常重視的。
西方國家強調數學的還有哲學家，康德是18世紀德國的哲學家，被認為是所有時代最偉大的哲學家之一，他擁有淵博的自然科學知識，對道德有著深刻的理解。他的哲學對德國古典哲學和西方哲學都有深遠的影響，對馬克思主義哲學的誕生也有深刻的影響。《純粹理性批判》是其最有名的著作，他認為“數學科學呈現出一個最輝煌的例子，不借助實驗，純粹的推理就能夠成功的大大擴大人們的認知領域。”關於這點，我們前面提到的無理數就是一個典型的例子，當然虛數也是個典型的例子，我們後面還會有更多的例子來說明這一點。
我們常常會聽到“馬赫數”，很多人覺得數學很難或者什麼之類等等，但是馬赫的觀點完全不一樣。他說：“也許聽起來奇怪，數學的力量在於它躲避了一切不必要的思考和它令人愉快的節省了腦力勞動。”其實做數學節省了很多腦力勞動，你不用辛苦考慮很多東西，因為很多東西的數量關係就決定了它們的主要性質。
像雷尼的話就更有意思了，他說：“如果我感到憂傷，我會做數學變得快樂；如果我正快樂，我會做數學保持快樂。”我是完全同意他的觀點，做數學多好。
黑格爾是德國18至19世紀的科學家，德國古典維新主義的集大成者，創立了歐洲哲學史上最龐大的客觀唯心主義體系，並且極大的發展了唯心辯證法。他的上述觀點（“數學是上帝描述自然的符號”）和伽利略的觀點是一脈相承的。現在數學在社會科學裡面應用也變得越來越廣泛，在經濟裡面是一個典型的例子，你要是不懂數學的話，只做經濟學，它的出路並不是很好。
愛因斯坦無疑是上個世紀最偉大的科學家，他的觀點更讓人深思，他說：“純數學能使我們發現概念和聯繫這些概念的規律，給了我們理解自然現象的鑰匙。”他進一步說到，“數學之所以比一切其它科學受到尊重，”雖然他自己是一個物理學家，“一個理由是因為它的命題是絕對可靠的，無可爭辯的，而其它的科學經常處於被新發現的事實推翻的危險。數學之所以有高的聲譽，另一個理由就是數學使得自然科學實現定理化，給予自然科學某種程度的可靠性。”你看到其他的學科一篇論文半衰期非常短，我們常聽說某些學科五年前的論文到現在已經沒什麼價值了，但你看歐幾里得《幾何原本》用了兩千多年，勾股定理到現在我們還是一直不停的在用，所以數學的生命是永恆的，不像其他的學科。即便是偉大的牛頓定理，後來也發現只是低速世界的定理，在更大的空間裡面、更小的空間裡面它其實都不適用。小的空間裡有量子力學，大的空間有相對論。
數學的純粹和無處不用
對數學在現實中的用處，華羅庚先生的觀點是非常透徹的，“從宇宙之大、粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數學。”你可能會注意到這一點，它其實還是迎合了我們國家一種實用主義的思維。
從華羅庚先生這些話裡面，每一句都能引申出很多的東西。比如第一句話中對於無垠的宇宙，離開了相對論要認識宇宙其實是很困難的，前兩年發現了引力波，其實來源於相對論；在粒子之微這裡，有量子力學，包括薛定諤方程；火箭之速也會用到數學，必須要計算好，不然坐火箭出去旅行，很有可能就回不來；化工裡面也是一樣的，它有很多的化學反應，微小的實驗尺度裡面就會用到微分，大的實驗尺度裡面會用到積分；地球之變不用說，現在的天氣預報能夠預報的比以前更準確，毫無疑問數學起了很重要的作用，包括建模之類的；生物之謎也是一樣的，人為什麼演變到今天，它的基因怎麼演變的，這裡概率和統計就起了很重要的作用。
這裡還可以說一個故事，本·拉登前幾年被擊斃了，當時美國的情報人員花了很大的力氣弄清楚他的落腳點。那科學家怎麼來看這件事情呢？科學家用了一個模型來推測本·拉登的落腳點，他認為本拉登這個時候的行為跟瀕危動物的行為差不多，所以利用瀕危動物的行為來預測本·拉登的落腳點，最後推測出來他可能在兩個地方落腳，其中一個就是白沙瓦，這就是本·拉登最後被擊斃的地方。你可以看出來，運用科學所得到的結論，是常常出人意料的。美國的情報人員其實花了很大的力量，同時很多時候是冒著生命危險的，所以現在情報機關裡面僱傭了很多科學家一點兒都不奇怪。在華羅庚先生的話裡面，日用之繁，不用說，我們一個最切身的感受就是深受堵車之害，這裡數學可以幫助解決很多的問題，運籌優化之類的。還有一件事情也可能有悖於大家的常識，很多時候，路多的時候交通不一定更順暢，封掉幾條路，交通反而更順暢了，這是經過實際證明的。
在二次大戰期間，交通因素變得非常的重要，因為要保證物資有效的調度到前線去。蘇聯數學家為此建立了線性規劃的理論來解決這個問題，當時發揮了很重要的作用。有意思的事情是，美國經濟學家後來把這個理論用到了經濟學裡，也取得了巨大的成功，結果在上個世紀70年代這位蘇聯科學家康託諾維奇，就和美國的經濟學家一起拿了諾貝爾獎。數學家拿經濟獎的人還挺多，包括納什，《美麗心靈》的主角，大家都看過這個故事。納什拿諾貝爾經濟獎的論文很短，只有兩頁紙的樣子，不像經濟學家，寫起論文來都是長篇大論，說起來也頭頭是道，不把你說糊塗一般是不罷休的。為什麼這麼說呢？也有個笑話說，就某個經濟現象發表看法的話，五個經濟學家會有五個觀點，如果這中間還有一個是哈佛畢業的話，五個經濟學家就會有六個觀點，要把他們的觀點統一起來基本是沒有希望的。
我們回到數學這裡來，數學的抽象當然來源於長期的實踐。它並不是憑空起來的，它的結論是從概念中運用邏輯方法得出來的，而邏輯方法和概念同樣是以數千年的實踐為基礎，沒有這些實踐的基礎也不會有今天的邏輯，它同樣以世界的客觀規律為基礎。數學的規律實際上是自然規律的一部分，只是以抽象的形式反映出來，不過抽象的面目基本上是人見人不愛。現在數學的發展既有外部問題的驅動，也有內在問題的驅動，內在問題的驅動其實也是現實世界的一個曲折的反映而已，只不過是以抽象的形式表達出來而已，那抽象推導出來的數學在現實中間有用就一點兒也不奇怪了，數學的理論還是自然規律的一部分。
我們看一下兩千多年前希臘人關於圓錐曲線的研究，在17世紀被用於描寫天體的運動，過了將近兩千年，它才變得有用。黎曼幾何是廣義相對論的框架。歐幾里得出來，後來人們對於第五公式進行了一些反思，因為有些地方跟我們的直覺是不太一樣的。比如過直線外一點做這條直線的平行線只有一條，但是從我們視覺上來講，比如兩條平行線的接軌，一直往遠方看最後交於一點，這個直觀對於繪畫非常重要。對於繪畫的討論包括光線的投影等等，最後產生了攝影幾何，它其實是一種非歐幾何。對於歐幾里得第五公設的討論形成兩個幾何，一個是雙曲幾何，一個是球面幾何。另一種就是黎曼幾何，黎曼幾何是完全從數學內部產生的。但是到後來相對論出來之後，人們發現歐式幾何是不適用的，相對論的數學框架用黎曼幾何正合適，它對引力的解釋也和原來完全不一樣，並不是兩個物體的質量之輕重問題，而是說物體質量非常大的時候空間是有彎曲的。
另外比方說纖維叢理論在規範場理論中的應用也是一樣的。當時楊振寧對這個事情感到非常的驚訝，就跟陳省身先生交流說：“你們數學裡面憑空做出來的東西怎麼會在物理裡面非常重要？”陳省身就說：“我們的幾何本來就是現實中的一部分，所以不能說它是憑空產生的。”當然還有很多的例子，包括矩陣和無限維空間在量子力學中的作用，海森堡剛開始把他的量子力學叫做矩陣力學，因為矩陣的乘法具有非交換性。
概率論在統計力學、生物和金融中也有廣泛的應用，概率論的來源其實是賭博，很多的數學在很久很久以前是人們完全憑興趣研究的，後來在自然科學或者其他地方都有想不到的大用處。懷特海德就感嘆道：“對那些只把知識和研究侷限於明顯有用的那些人，不會有比如下示例給出更深印象的告誡了：圓錐曲線只是作為抽象科學（的內容），被研究了一千八百年，除了滿足數學家的求知慾外，沒有任何實用的考慮。然而在這漫長的抽象研究的最後，它們被發現是獲得最重要的自然規律之一的知識所必不可少的鑰匙。”
我覺得懷特海德的話對我們國家來講，不管是政府也好，還是一般的百姓也好，都是有它的意義的。我們一般都非常關注“有用”，我們學過很多東西，包括學經管，它就是為了掙錢、有用。只是為了興趣去探索未知的東西，這種精神在我們國家應該是比較少的。我自己在教學的過程中間也遇到一些這個現象，甚至一年級的大學生就問：“線性代數有什麼用呢？”線性代數這麼技術的東西當然非常有用，包括在通信裡面。這個學生提的問題讓我感到非常驚訝，換句話說他這個時候沒有體會到學習的樂趣，而只是關心有什麼用，這其實很難走遠，不應該這樣問。我覺得他是問錯了，他應該問有沒有意思，有意思驅動的話做下去就會走的更遠，因為一直覺得它有意思。你想你在生活中間不就追求一個有意思嗎？這個“有用”，當一個人為“有用”的時候，我懷疑這個“有用”有什麼含義呢？你是被別人利用，還是你要利用別人？所以“有用”這個東西推敲下去，結果好像不太好。
知識通過感性的感覺而產生，逐漸成為考察的對象，最後變成理性的財產。所以我們現在都說知識是人類的財富等等，它確實是一個財富。在我們古代所說的“書中自有黃金屋”，它有一定正確的成分，但還不完全正確，因為它太現實了，包括“顏如玉”等等。我不知道女孩子看到這樣的句子會有什麼感受，是不是還希望加一句“還有帥哥在裡頭”。
5 數學的思維之美
數學的思維方式當然也是一種智慧，這一點尤其重要。在學習數學的過程中間，掌握了數學的思維方式，怎麼考慮問題等等，這比知識有價值得多。知識可以上網去搜，可以看書、翻書等都沒問題，但怎麼考慮問題是能力中一個重要組成部分。我們用兩個例子看一下數學的智慧。
第一個例子是哥尼斯堡七橋問題。（如下圖）這是一個城市，河流是這個樣子，有七座橋，問題就是能否設計一條路線通過每一個橋，正好過一次。據說當時市民週末一個很受歡迎的消遣就是能否設計一條路線通過每座橋正好一次。但這個問題當時市民都沒有解決，最後大概是一個城市的市長把這個問題交給了歐拉，一個著名的數學家，歐拉把這個問題解決了。我們看一下歐拉是怎樣解決這個問題的，這個過程體現了抽象的價值和數學的思維。
首先這條河流把城市分成四部分，每一部分大小其實都不重要，重要的是過橋的路徑設計，從而可以把陸地抽象為一個點，大小反正無所謂，乾脆沒有大小就得了。而橋就抽象成點與點之間的連線，這個圖就畫成這個樣子。簡化成這樣之後，這個問題的本質就全部展示出來了，除了起點和終點，走過中間那些點，走到這個點的次數和走出那個點的次數加起來必然是一個偶數，就是說連接那個點的橋數必然是偶數。可是上圖連接四個點的線路，也就是橋數分別是5、3、3、3，所以不可能設計一條路線通過每座橋正好一次。歐拉解決這個問題的方式，顯出了抽象的價值和數學的智慧，這是圖論的開始，也是拓撲學的一個先聲。圖論在信息科學中間，包括網絡和芯片設計，都非常有用。
說到數學思維我們還舉一個例子，二戰期間很多數學家參與了戰爭，包括圖靈等人破譯密碼，也包括很多統計學家分析數據等等。其中有一件事情就是很多戰機出去空戰的時候，很多被擊落了，也有很多又回來了，回來的很多戰機上面就佈滿了彈痕、彈眼之類的，這就需要分析在哪些地方需要加固。空軍提的建議是，應該在彈孔最多的地方加固，但數學家提出的意見是，應該在彈孔最少的地方加固。為什麼？彈孔最多的都能飛回來，意味著這個地方多打幾個彈孔也沒關係，這就是個缺失數據的問題。彈孔少的地方，比如說發動機，因為被擊中後基本就是栽下去，回來的不多。數學家提出的觀點和軍方是完全相反的，後來事實證明數學家是對的，他挽救了很多飛機和飛行員的生命。
另外再舉個例子，就是晶體的分類。我們都很喜歡鑽石，非常的漂亮，還有雪花也很美，他們都是晶體。晶體有多少種？這是很實際的問題。晶體的主要特點是對稱，由外部的對稱和內部的對稱結構來決定，晶體的對稱性對晶體的種類帶來了很強的約束。數學中間研究對稱的分支是群論。外部的對稱是很容易確定的，關於內部的對稱，捨去了晶體的所有物理性質。僅從幾何對稱性的角度考慮晶體，在1885年到1890年期間，俄國的晶體學家費多羅夫就確定了晶體的微觀的對稱形式230種。他的這項工作後來是晶體實驗工作數學理論的基礎，對晶體的內部結構的確定發揮了巨大的作用。包括1912年德國人勞厄，以及包括後來英國人布拉格父子，他們對晶體內部結構的確定等等，這些數學理論都起了非常重要的作用。勞爾和布拉格父子先後於1914年和1915年獲得了諾貝爾獎。群論是研究對稱的一個基本工具，在物理中間非常重要，不過它的來源非常有意思，它是解方程產生的。
6 數學的邏輯之美
很多人都感到數學有一種特殊的美感，他們也曾經做過生理上的分析，發現這個美感和看到漂亮風景、帥哥靚女之類，神經反應好像差不多的。事實上還有一些物理學家，對數學之美的感受是很強烈的，對數學的美的追求也是無盡的。外爾對數學美的態度就是這樣，“我的工作總是設法把真與美統一起來，但如果只能選擇這個或另一個時，我常常選擇美。”一般我們追求真善美，但好像從道德上來講，這樣做是不對的，但數學裡面的美很可能是更高層次的真實。就像在我們所認識的世界裡面，你的認識是有一定侷限的，但美是一個原則，讓你發現更高層次的真實。外爾寫的《群論與量子力學》1928年首次出版，非常的有名，據說當時的理論物理學家都會把這本書放在書架上，但都不看，因為裡面的數學太難了。物理學家對數學家寫的書好像好感並不多，他們的評價大概是這樣的，認為數學家寫的書有兩種：第一種是看了一頁就看不下去了，第二種是看了一行就看不下去了。
哈代是20世紀傑出的分析學家，也是他所在的時代英國最傑出的數學家，他的一個數學家的獨白表達了他對數學的看法，影響頗廣。他也是一個唯美主義者，他認為“美是（數學的）
第一道檢驗：難看的數學在這個世界上沒有長駐之地。”狄拉克認為，“物理定律必須有數學的美，上帝用美麗的數學創造了這個世界。”狄拉克方程就是一個典型的例子，它是個很有名的方程，楊振寧對它也是非常讚歎的，專門有文章提到這件事情，就是利用這個方程，人們發現了正電子。當初根據已有的實驗結果來講，它的方程不是這樣的。但他認為根據實驗結果得出的方程不美，所以就給修改了，修改之後很多東西又解釋不了，他就大膽地預言應該還有一個例子沒有發現，後來果然通過實驗發現了。他對這個公式當然也是非常的喜歡。也有一個很牛的物理學家費曼，課講的非常好，有次大概因為開會，這兩個人（費曼和狄拉克）碰在一起了，長時間的沉默之後，狄拉克就冒了一句話，“我有一個方程，你有嗎？”估計費曼當時非常的鬱悶。物理學家也好，數學家也好，獨特的人是非常多的，英文有個詞叫eccentric（中文譯為怪人），在我們國家對eccentric好像沒那麼寬容，西方文化對他們要寬容一些。
羅素說：“數學，如果正確地看，不但擁有真理，而且也有至高的美。”羅素是數學家，也是哲學家，獲得過諾貝爾獎文學獎。他所寫的《西方哲學史》從一個哲學家的角度，而非哲學史家的角度看待西方的哲學史，那獨特的視角、脈絡清晰，文筆也非常的流暢，但又不乏幽默，所以他對美的認知自然有非常廣闊的背景。
如果你覺得數學不美的話，從某種意義上講我不太建議你去學數學，或者你至少培養了美感之後再去學數學。數學美的含義到底是什麼？這個問題提得多了之後，我覺得就要想一想它到底什麼內容？後來我發現它大概有以下的內容：形式上要清晰、簡潔，還有就是要簡單、原創、新穎。不新穎的話，老生常談，不會有美的感覺；還有就是很優美，以及一個很重要的就是不同對象之間的聯繫，這一點大家以前可能沒有意識到其實是非常重要的。它的內涵必須要非常深刻、重要，還有基本和蘊意豐富，從這個基本的對象出發，能解釋很多其他的東西。它的證明要清晰、乾淨利落、巧妙。
我們用一些例子來說明一下這些觀點。第一個就是勾股定理，勾三股四弦五，我們常常理解起來就是3+4=5這樣一個等式而已。但實際上它揭示了3、4、5這三個數的聯繫，這是非常重要的。勾股定理我們知道，三角形的直角邊的平方和等於斜邊的平方，以前我們理解起來，就是這兩個邊能夠求出第三邊，其實這只是它價值很小的一部分，更重要的是這三個邊之間的聯繫。我國古代趙爽給了一個很漂亮的證明，他把四個直角三角形拼起來得到一個大的正方形，裡面包含一個小的正方形，比較一下面積就能夠得到勾股定理的證明。這裡你能感受到這個證明的清晰、乾淨、利落和巧妙，和一種美感。定義的本身也是非常簡潔優美的，它的內涵是非常豐富的。
比方說我們應用這個定理，我們就知道，平面上以原點為圓心、半徑為r的方程，它就是一個很漂亮的方程，x+y=r。關於它的蘊意的豐富，我們其實可以從這裡提出很多的問題來，這些問題在中學就可以讓老師告訴學生，但是一般老師好像並沒有這樣啟發學生。比方說什麼樣的正整數能夠成為直角三角形的邊長？這樣的問題有趣，但還不算太難。另一個問題，如果邊長都是整數，它的直角三角形面積是不是也是整數？這也比較簡單。到了第三個問題，你就會發現它是驚人的難，如果直角三角形的邊長都是有理數，什麼情況下它的面積是整數？我們可以舉一個例子，3/2、20/3、41/6，它是一個直角三角形的三個邊長，它的面積是5。看起來這個問題好像不太簡單，這個問題其實已經有一千年的歷史，是古埃及人提出來的。157就是這樣一個整數，以157為面積的最簡單的有理直角三角形的三個邊長，大家可以看一下，分子分母都會有40多位。大家可能想不到這裡面會有這麼複雜的數據在這裡頭，你更想不到這個問題它會和BSD猜想（編注：全稱Birch and Swinnerton-Dyer 猜想）聯繫在一起。BSD猜想到目前為止誰也沒能夠證明它，已有的結果離完全解決遙遠得很，因為它是關於橢圓曲線的一個問題，也是克雷數學研究所幾個千禧年的問題之一。換句話說如果你能夠證明它，能拿到100萬美元，也有著享譽全世界的學術聲譽。
我們前面提到過，歐幾里得的一個證明說素數有無窮多個。素數是一個數學的基本對象，裡面神秘的東西非常的多。歐幾里得證明同樣乾淨利落，富有美感。假設這個結論不對，只有有限個素數，那我把這有限個素數乘起來再加1，那這個新的數M，前面N個素數都不會是它的因子。所以M的素因子就會和前面那n個素因子不一樣，這是一個矛盾，所以素數有無窮多個，這個定理就非常完美的被證明，好像就沒什麼事情可以做了。但數學家他從來都不會這樣考慮問題，就像龐加萊所說：“我們從來沒有完全理解過一個問題，我們只是對這個問題理解的更深了一點、更多了一點。”素數看起來很容易明白，但可能是數學裡面最神秘、最難以琢磨的一個對象。你會有很多問題接二連三的產生，比方說素數在自然數中間佔有多大的比例？這個問題很難回答，你可以把它變得更容易琢磨一點，就1到N之間有多少個素數？這個問題到現在為止沒有一個人能夠回答。關於素數有無窮多個，後來歐拉有個更好的證明，歐拉的證明對數學產生了一個巨大的影響，包括產生了歐拉函數（Euler'totient function）
等等，今天我們不會有時間談這些。還有一個看上去非常簡單的問題——哥德巴赫猜想，每個大於2的偶數都是兩個素數的和，比方說6可以寫成3+3，20可以寫成13+7等等，但是誰也沒有能夠證明這個結果。到目前為止最好的結果還是四、五十年前我國數學家陳景潤做的，他證明了“1+2”，它的含義就是充分大的偶數都能夠寫成一個數字加上另一個數，另一個數的素因子不超過兩個。陳景潤的這項工作隨著徐遲的報告文獻傳遍我國大江南北，敬仰、愛慕的信件如雪片般的飛過來，這個盛況後來再也沒有出現過。徐遲報告文獻的副產品就是，大家都知道數學家連1+1都弄不清楚，原來1+1還是這麼高深的數學。
曾有人和我說起陳景潤的工作，他是完全從字面上來理解“1+2”的。我試圖給他解釋陳景潤工作中“1+2”的含義，他聽後斜看了我一眼，說我不懂。我當時無語，覺得做科普還是很不容易的，同時也發現人們是多麼的執著於自己不合事實的理解，可能這和他的自尊心、心智安全感也是分不開的。
另一個看起來簡單的問題就是孿生素數猜想 ，比如3和5，41和43，他們都是相差2的素數對。它的問題是，這樣的素數對有沒有無限多個？2013年華裔數學家張益唐在這個問題上取得巨大的突破，他證明了存在無窮多對素數，每一對素數的差都不超過7000萬。張益唐結果哄動一時，他本人在逆境中也保持對理想追求的故事也是非常勵志的，他感動了世界。
講到數學美的時候我們還可以提一個例子。前面提到過根號2不是有理數，我們可以給一個很嚴格的證明。假設這個結論不正確，它是兩個整數的比，x=a/b，我們可以要求分子分母沒有公因子，那麼去分母之後得到xb=a。然後做平方得到xb=a，從而就是2b=a，所以a肯定是偶數。然後再把2b=a代進去之後，會得到b也是偶數，這樣就會有一個矛盾了，所以這個假設是錯的，所以它必然是一個無理數。
我們在小學的時候都學過圓，也知道圓周率（π），大家都計算過圓周求面積等等，不過好像沒有想過圓周率這個數是不是有理數或者無理數，這裡反應一個問題就是我們提問題的能力是比較弱的。不知道大家注意到沒有，很多的問題都是外國人提出來的，我們自己提的問題或者我們自己開創的理論是比較少的，這其實反應出來我們思維上的一個侷限，願意跟隨而不願意開創。
π這個數不僅是一個無理數，而且還是個非常無理的數，它是一個超越數。這個事情到1882年才由林德曼證明，他也證明了古希臘的畫圓為方的問題是不可能的。
7 數學的形美
我們前面談的美基本上都是思維和邏輯的美，其實數學裡面當然也不缺少形美，畢竟形是數學研究的對象，形裡面充滿了更易感知的美。這兩個圖像來自於極小曲面與分形幾何，分形幾何是研究海岸線發現的，後來成為一個很漂亮的應用數學分子，在細胞分裂的研究中也有應用。極小曲面很漂亮，也很有用。就如同他們證明正質量猜想的時候，極小曲面就是很關鍵的工具。
極小曲面
分形幾何
還有動力系統，動力系統大家知道跟渾沌是有關的，兩個天體之間的運動軌跡通過萬有引力就可以確定，但三體運動這個事情就變得比較複雜了，當時瑞典皇家科學院提出這個問題，要求把這個問題搞清楚。對這個問題龐加萊做了創新性的工作，他剛開始的論文雖然獲獎了但有嚴重的錯誤，後來更正了。數學動力系統就從那裡產生，他發現這個問題非常不簡單，存在多種情況。動力系統過去幾年在數學裡面是非常活躍的，好幾位數學家因為動力系統的工作拿了菲爾茲獎，包括C.T.Mcmullen，包括兩年前去世的一位女數學家米爾扎哈尼（Maryam Mirzakhani），這是目前唯一一位拿菲爾茲獎的女數學家，她也是C.T.Mcmullen的學生，是個伊朗人，很可惜。去世的還有一位數學家，就是弗拉基米德·福沃特斯基。動力系統在直觀上來講是非常簡單的，一個微小的初始變幻，可以帶來巨大的結果上的差別。在氣象學裡面有一個很形象的說法，在巴西雨林裡面的一個蝴蝶抖一下翅膀，紐約可能就會下一場大雨。
動力系統
卡拉比－丘流形
右邊這個圖形是一個卡拉比-丘流形，這應該是丘成桐最有名的工作，他證明了卡拉比猜想。卡拉比當時猜想有一類流形，丘成桐試圖去證明這個猜想，後來他發現這個猜想可能是錯的，就去證明這個猜想是錯的，然後就在一個會上做報告。完報告後，臺下的聽眾覺得他講的很得有道理，所以也就對這個猜想不再關心了。卡拉比也正好在臺下，聽完報告回去後覺得哪個地方不太明白，就讓丘成桐再解釋一下。丘成桐當然要試圖解釋這個疑問，但是一個星期過去之後，好像沒辦法解釋，兩個星期過去了也沒解釋了，後來意識到他做錯了。換句話說，丘成桐先生也有窘迫的時候。這其實告訴我們，每個人都有可能出錯，包括偉大的數學家。很多老師可能在上課的時候都有卡住的情況，但“牛人”的做法一般人可能未必做得到，比方說大數學家希爾伯特在講課的時候也會突然卡住愣在臺上，他愣一下後會轉過身來對學生說“啊！這顯然的，你們自己去證吧！”
丘成桐意識到自己最初對卡拉比猜想工作有錯誤之後，他就朝另一個方向努力，再次證明這個猜想，過了三年終於把這個猜想證明了。因為這個工作和正質量猜想的工作，後來他拿了菲爾茲獎。他的這個工作的影響在數學裡面是非常大的，丘成桐先生是幾何分析這個方向一位非常重要的創始人。不但如此，這類流形在物理中間也非常重要，人們發現在弦的裡面，正好需要這樣一個空間，所以他在物理界裡面也是名動江湖。
8 那些有個性的數學家
數學家對美是非常有熱情的，很多東西不美的話他不會追求。當然數學家也是一群有特殊天賦的人，他的個性也是多種多樣的。
維納，控制論的創始人，也是一位傑出的數學家，他在上世紀30年代訪問過中國，對華羅庚非常欣賞。有一天他要搬家了，到一個新地方，可他對於這種事情不上心。（他的家人）老早就告訴他，當天還給了他一張新地址的紙條，讓他這一天一定回到新的家裡。但他回家的時候把紙條弄丟了，習慣地回到老地方，卻發現家不見了。他看見一個女孩就問：“對不起，也許你認識我，我是諾伯特·維納，我們剛搬家，你知道我們搬到哪兒去了嗎？”那女孩非常愉快的回答說：“是的，爸爸，媽媽就知道你會忘記的。”
德林才氣過人，因為證明了韋伊猜想獲得了菲爾茲獎。他說：“能否做數學難題只是心理問題。”這頗有點“說我行，我就行；說我不行，我就不行”的味道。這個說法也呼應了一個廣為流傳的真假莫辯的故事。說某個很牛的大學裡面，有一天也許因為天氣不好，班上一位非常傑出的學生遲到了。他到了一看課已經結束了，黑板上只留了一些題目，這位學生是非常優秀的學生，就當作課後作業拿回去做了。（做的過程中）他發現這些題挺難的，花了一個星期時間只做出來其中的六道，然後他就有點狼狽的拿給教授說“真是抱歉，這題目有點難，我只做出六道”。教授毫無疑問的感到震驚：“什麼？你把這些給解決掉了？這些都是我們這個領域裡面大家正在努力解決的難題！”這個學生感到非常吃驚。所以做數學有時候是個心理問題，你覺得它是個作業的話大概就能把它做出來，如果覺得它是個難題很可能就做不出來。有點糟糕的是這個學生後來再也沒有做出更好的工作，他當了系主任之後這樣說：“我們是這樣選系主任的，誰不能做研究的話我們就選他當系主任。”
匈牙利數學家
埃爾德什是有傳奇色彩的，他無固定的居所，總在旅行，到一處就與那兒的數學家合作，所以合作的數量驚人。他認為“數學家就是把咖啡變成定理的裝置。”西格爾是第一屆沃爾夫獎的得主，非常聰明，也很努力。
小平邦彥，傑出的日本數學家，他在上個世紀50年代就拿了菲爾茲獎。他常說自己天資不好，做事一絲不苟，全身心的投入，第一次學範德瓦爾登的《代數學》時什麼也沒看明白，看不明白怎麼辦？他就抄，一直抄到明白為止。我想有他這樣的勁頭的話，沒有什麼學不明白。
數學家經常犯錯，我們剛才提到丘成桐先生也會犯錯誤。對這個犯錯來講，有些錯誤是好的，有些不太好。丘成桐犯的錯誤就是個好的錯誤，最後導致了問題的解決。一位數學家這樣評價他的一位同事，“他犯了很多錯誤，但都是朝著好的方向犯的。我試著這樣做，但發現犯好的錯誤是很困難的。”
開爾文 ，就是大家知道的開氏溫度的“開氏”，他是這樣評價數學家的：“數學家就是這樣的人，他覺得下面這個公式是很顯然的。”如果你也覺得這個公式顯然的話呢，你們就會是數學家。他說劉維爾就是一個數學家。劉維爾還辦了一個非常高水平的雜誌——《劉維爾雜誌》。
笛卡兒是數學家，也是哲學家。數學上他創立了《解析幾何》，哲學上他提出“我思故我在”，引起人們對意識與存在的關係的一個審視。有一個傳言，說他與瑞典公主克里斯蒂娜戀愛，文字傳情會被皇室審查受阻，於是他就用了一個極座標方程表達他的愛情。幸好那個女孩也是對數學非常明白的一個人，她把這個方程轉化成一個心型，從而明白了笛卡兒的心意。這麼說來數學不僅是描寫大自然的語言，也是描寫愛情的語言。
我的報告說完了，謝謝大家！
Q & A
問：學數學的出路何在、以後可以幹什麼、要是不轉行一直留在數學專業的話，您有什麼經驗之談？
答：我想有迷茫是非常正常的，但其實在報告裡面也講到了，數學是現實的一個核心，把這個核心都掌握了的話，我想將來的出路是非常寬廣的。你（現在）最重要的事情就是把數學學好，如果不轉行一直留在數學這個專業裡，根據自己的興趣，如果願意做研究就做研究，如果願意做應用可以做應用，它的整個的就業前景是非常廣泛的。其實過去很多年來，在美國，學數學的職業前景一直都是排在前十的，很多年都是排在第一位，數學的就業是不用擔心的。更重要的是第一把自己的功課學好，第二找到自己的興趣所在，是願意做學術、還是願意解決實際的問題等等。可以通過自己不斷地探索，同時也可以跟老師探索、跟同學探索到底哪個地方自己真正有興趣，探索清楚這樣一件事情，我想方向也就明確了。
問：能否講講群環域這些代數結構的發展背景，並給一些學習上的建議？
答：抽象代數的發展應是20世紀初，有一本比較好的數學史的書能夠幫助你瞭解它的歷史，就是克萊因寫的《古今數學思想》。在學習中你要重視瞭解的是抽象與具體的聯繫，要知道群的產生跟解方程是密不可分的，它實際上是產生於一些很具體的對象。在數論裡面也有很多群的概念，包括交換群，同於能夠產生有限環等等。所以你一定要理解抽象與具體的聯繫，對每一個抽象的概念，包括重要的定理，應該儘可能的用很多具體的例子，來幫助你理解。一旦把抽象和具體的聯繫關係處理好，近世代數里面所有的抽象就變得內容豐富了，而通過具體的例子，也能夠幫你瞭解、思考、提出問題以及把握中間的真正實質。
問：請問應該如何結合數學的意義，在數學教學中去發展學生對數學的學習興趣呢？或者對數學教學進行優化？
答：這應該是一個非常普遍的問題，不僅中國存在這個問題，世界上其他地方也存在這個問題。我想這並沒有一般的靈丹妙藥，數學裡面有很多有趣的東西，必須針對具體學生的領悟程度等，通過適當的方式把它們展現出來。數學的一個特點是抽象，但它的抽象包含了很多實際的內容，用這些實際的內容來展示數學，比方說之前提到的數學的形美，可以通過畫一個漂亮的橢圓來展示，就直觀上讓學生感受到很多有趣的東西，通過慢慢給他們這些直觀的感受，使他們能感到有趣。我想經過努力，他們會感到數學是非常有意思的，並且願意學下去，但是到底能學到哪一步還是因人而異的。
問：如何看待數學天賦，基本功與數學成果的關係？
答：從這個（網友的）名字來看，他對Andrew Wiles是非常敬仰的。那麼其實Andrew Wiles的故事就能夠給他很多啟發，首先Andrew Wiles當然很有天賦，他在很小的時候，在童年的時候，對費馬大定理就非常的有興趣，所以興趣和天賦對於數學來講是需要的。但是Andrew Wiles是非常努力的一個人，當他感到他能做出（某項研究）來的時候，就有幾年的時間，其中就沒有做過（其他）事情，其他的活動儘可能少的參與。沒有一個很好的基本功要做很好的數學是不可能的一件事情。但是怎麼樣把基本功打好，這也並不是一件很容易的事情。除了自己努力學以外，很多東西必須要很好的老師給你指點，讓你明白這個枯燥的東西背後的本質是什麼。所以既要有天賦也要努力，再加上優秀的老師指點的話，最後取得優秀的數學成果是順理成章的一件事情，水到渠成。
問：現在在上研究生，但感覺一直遊離在數學的邊緣，就像接觸了一個物體，只知道這個物體重要，現實也很多地方用到它，卻不知道內部是怎樣的。如何才能真正進入到數學的領域？怎麼樣的狀態才算是真正進入數學領域？
答：我想這位同學這個感覺非常的好，他至少知道自己沒有弄明白東西，這就給他一個提升的空間。如果他覺得弄明白的話，這可能是更糟糕的事情。既然覺得沒弄明白，就表明他還可以繼續努力。他需要把這個問題具體化，比方說覺得看書看不懂，哪裡不懂必須要弄明白，必須要跟老師、跟別人來交談。對於哪一本具體的書，哪個具體的問題不懂，如果僅僅是空泛談不懂的話，是解決不了問題的。必須把這個問題落實到某個具體，一旦他在某個地方突破了這個障礙之後，我想他可能對整個數學的感受就完全不一樣了。把一個讓他最最苦惱不明白的一本書拿出來，這本書裡面到底是哪個地方不明白，不明白在什麼地方，（通過）仔細跟人討論，把這個不明白的問題給明確下來。很多時候這就是個探索的過程，就像龐加萊說的：“其實我們從來就沒弄明白過一件事情，只是我們不斷的加深理解。”所以沒有弄明白這個事情很正常，需要不斷地探索，可以自己探索、看書、跟別人討論，但一定要把自己在哪個地方不明白弄清楚，如果自己在哪個地方都不明白的話，那就說明你還要在搞清楚不明白哪個問題這件事情上花更多的時間。
問：學高等代數的時候是很久以前了，沒有機會讀“基礎代數”，不過聽說還沒有第三卷，什麼時候出版呀？高等代數沒學好，所有東西用起來感覺都是鏡裡觀花，很機械。怎樣能把代數學好用好？
答：第一個問題比較簡單，第三卷已經送到出版社去了，應該在9月份左右 (出版），我希望它9月份能夠出來。
那高等代數沒有學好呢，有幾個原因，第一個可能用的教材不夠好，第二個可能老師教的不夠好。他需要理解高等代數里面最本質的東西是什麼，其實高等代數里面最重要的一點，它是從解方程這裡發展起來的，表面上看起來通過消元法可以解出所有的方程，但事實上你發現變量的個數一大之後，這個辦法肯定是不管用的。那在這個時候，對這個方程來講它就有很多內在的結構，包括係數矩陣的秩，增廣矩陣的秩等等，這個秩就反映這個方程可解不可解。還有你做消元法的時候，你發現是對它們係數作些運算，這裡面產生向量空間，方程的關係實際就是向量之間的線性組合、線性關係、相關無關等等。還有就是矩陣，你抓住了線性方程以及相關的概念之後呢，你發現很多東西應該都是比較容易理解的，它的目的還是解方程。那麼你發展的很多東西，反過來一方面是數學理論，拓展了這個空間，一方面它也對這個線性方程達到一個更深的理解。這個也是不斷深入、不斷交替的過程，已經有了線性空間之後，包括歐式空間裡面，包括各種各樣變換產生的群，就會變得更為豐富，應用更為廣泛。這個歐式空間裡面，這個距離，最後的話對無解的方程可以有最小二乘法等等，給出一個近似解。
你發現通過解方程這樣一個脈絡下去理解高等代數的話，很多東西都會變得比較容易理解，不管是對方程也好，對理論也好，這個在我書裡你多讀幾遍能夠看得出來。
