本文22個知識內容：
歸一問題歸總問題和差問題和倍問題差倍問題倍比問題相遇問題追及問題植樹問題年齡問題行船問題火車過橋時鐘問題盈虧問題工程問題牛吃草雞兔同籠商品利潤存款利率溶液濃度列方程錯中求解
題型一：歸一問題
【含義】在解題時先求出一份是多少（即單一量），然後以單一量為標準，求出所要求的數量。
【數量關係】
總量÷份數=單一量
單一量×所佔份數=所求幾份的數量
或總量A÷（總量B÷份數B）=份數A
【解題思路】先求出單一量，以單一量為標準，求出所要求的數量。
【例】買5支鉛筆需要0.6元錢，買同樣的鉛筆16支，需要多少錢？
解：先求出一支鉛筆多少錢——0.6÷5=0.12（元）
再求買16支鉛筆需要多少錢——0.12×16=1.92（元）
綜合算式：0.6÷5×16=0.12×16=1.92（元）
題型二：歸總問題
【含義】解題時先找出“總數量”，再根據已知條件解決問題的題型。所謂“總數量”可以指貨物總價、幾天的工作量、幾畝地的總產量、幾小時的總路程等。
【數量關係】
1份數量×份數=總量
總量÷一份數量=份數
【解題思路】先求出總數量，再解決問題。
【例】服裝廠原來做一套衣服用布3.2米，改進剪裁方法後，每套衣服用布2.8米。問原來做791套衣服的布，現在可以做多少套衣服？
解：先求這批布總共多少米——3.2×791=2531.2（米）
再求現在可以做多少套——2531.2÷2.8=904（套）
綜合算式：3.2×791÷2.8=904（套）
題型三：和差問題
【含義】已知兩個數量的和與差，求這兩個數量各是多少。
【數量關係】
大數=（和+差）÷2
小數=（和－差）÷2
【解題思路】簡單題目直接套用上述公式，複雜題目變通後再套用公式。
【例1】某機床廠第一、二兩個車間共有車床96部，如果第一車間撥給第二車間8部，那麼兩個車間車床數相等。兩個車間各有車床多少部？
解：已知第一、二兩個車間共有車床96部，又根據“如果第一車間撥給第二車間8部，兩個車間車床數相等”，從線段圖上我們可以看出第一車間原來比第二車間多8×2=16部車床。所以，第一車間原有：（96+8×2）÷2=56部，第二車間原有56－8×2=40部。
【例2】哥弟倆共有郵票70張，如果哥哥給弟弟4張郵票，這時哥哥還比弟弟多2張。哥哥和弟弟原來各有郵票多少張？
解：我們可以這樣想，哥弟倆共有郵票70張，根據“如果哥哥給弟弟4張，還比弟弟多2張”，說明原來哥哥比弟弟多4×2＋2=10張郵票。所以，弟弟有郵票：（70－10）÷2=30張，哥哥有郵票30+10=40張。
題型四：和倍問題
【含義】已知兩個數的和及“大數是小數的幾倍（或小數是大數的幾分之幾）”，求這兩個數各是多少。
【數量關係】
總和÷（倍數+1）=較小數
總和-較小數=較大數
或較小數×倍數=較大數
【解題思路】簡單題目直接套用上述公式，複雜題目變通後再套用公式。
【例】果園裡有杏樹和桃樹共248棵，桃樹是杏樹的3倍，求杏樹和桃樹各有多少棵？
解：先求杏樹有多少棵——248÷（3+1）=62（棵）
再求桃樹有多少棵——62×3=186（棵）
題型五：差倍問題
【含義】已知兩個數的差及“大數是小數的幾倍（或小數是大數的幾分之幾）”，求這兩個數各是多少。
【數量關係】
兩個數的差÷（倍數-1）=較小數
較小數×倍數=較大數
【解題思路】簡單題目直接套用上述公式，複雜題目變通後再套用公式。
【例】果園裡桃樹的棵數是杏樹的3倍，而且桃樹比杏樹度124棵，求杏樹和桃樹各有多少棵？
解：先求杏樹有多少棵——124÷（3-1）=62（棵）
再求桃樹有多少棵——62×3=186（棵）
題型六：倍比問題
【含義】有兩個已知的同類量，其中一個量是另一個量的若干倍，解題時先求出倍數，再用倍比方法算出要求的數。
【數量關係】
總量A÷數量A=倍數
數量B×倍數=總量B
【解題思路】先求出倍數，再利用倍比關係求解。
【例】100千克油菜籽可以榨油40千克，現在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？
解：先求倍數，3700千克是100千克的多少倍——3700÷100=37（倍）
再求可以榨油多少千克——40×37=1480（千克）
綜合算式：40×（3700÷100）=1480（千克）
題型七：相遇問題
【含義】兩個運動的物體同時由兩地出發相向而行，在途中相遇的問題。
【數量關係】
相遇時間=總路程÷（甲速+乙速）
總路程=（甲速+乙速）×相遇時間
【解題思路】簡單題目直接套用上述公式，複雜題目變通後再套用公式。
【例】南京到上海的水路長392千米，同時從兩港各開出一艘輪船相對而行，從南京開出的船每小時行28千米，從上海開出的船每小時行21千米，問經過幾小時兩船相遇？
解：直接套用公式392÷（28+21）=8（小時）
題型八：追及問題
【含義】兩個運動物體在不同地點同時出發（或者 在同一地點不同時出發，或者在不同地點不同時出發）作相向運動。在後面的行進速度快，在前面的行進速度慢，在一定時間內，後者追上了前者的問題。
【數量關係】
追及時間=追及路程÷（快速-慢速）
追及路程=（快速-慢速）×追及時間
【解題思路】簡單題目直接套用上述公式，複雜題目變通後再套用公式。
【例】好馬每天走120千米，劣馬每天走75千米，劣馬先走12天，好馬幾天能追上劣馬？
解：先求劣馬先走了多少千米——75×12=900（千米）
再求好馬幾天能追上——900÷（120-75）=20（天）
綜合算式：75×12÷（120-75）=900÷45=20（天）
題型九：植樹問題
【含義】按相等的距離，在距離、棵距、棵數這三個量之間，已知其中兩個量，求第三個量的問題。
【數量關係】
線性植樹 棵數=距離÷棵距+1
環形植樹 棵數=距離÷棵距
方形植樹 棵數=距離÷棵距-4
三角形植樹 棵數=距離÷棵距-3
面積植樹 棵數=面積÷（棵距×行距）
【解題思路】先弄清是哪種植樹問題，再套用公式。
【例】一條河堤136米，每隔2米栽一棵柳樹，頭尾都栽，一共要栽多少棵柳樹？
解：直接套用“線性植樹”公式——
136÷2+1=68+1=69（棵）
題型十：年齡問題
【含義】已知一個人的年齡，根據已知條件求另一個人的年齡。
【數量關係】兩人年齡差不變。
【解題思路】抓住“年齡差不變”的特點，轉化為和差倍比問題求解。
【例1】三年前爸爸年齡是女兒的4倍，爸爸今年43歲，女兒今年多少歲？
由題意可知爸爸今年43歲，則三年前爸爸的年齡是43－3=40歲，40歲正好是女兒年齡的4倍，女兒三年前的年齡是40÷4=10歲，今年女兒的年齡是10＋3=13歲。
【例2】明明4歲時，媽媽年齡是明明的8倍。今年明明12歲，媽媽今年多少歲？
媽媽的年齡是明明的8倍，那麼媽媽與明明的年齡相差4×8－4=28歲。媽媽與明明的年齡差是不變的，今年明明12歲，那麼媽媽的年齡是12＋28=40歲。
題型十一：行船問題
【含義】關於船速、水速、逆水、順水的航行問題。船速即船隻在靜水中航行的速度，水速指水流速度，船隻順水航行是船速與水速之和，船隻逆水航行是船速與水速只差。
【數量關係】
（順水速度+逆水速度）÷2=船速
（順水速度-逆水速度）÷2=水速
順水速度=船速×2-逆水速度=逆水速度+水速×2
逆水速度=船速×2-順水速度=順水速度-水速×2
【解題思路】直接套用公式即可。
【例】一隻船順水行320千米需用8小時，水流速度為每小時15千米，這隻船逆水航行這段路程需用幾小時？
解：直接套用公式——船速為320÷8-15=25（千米/小時）
船在逆水中的速度為25-15=10（千米/小時）
船逆水航行這段路程的時間為320÷10=32（小時）
題型十二：火車過橋問題
【含義】這是與列車行駛有關的問題，解答時注意列車車身的長度。
【數量關係】 火車過橋：過橋時間=（車長+橋長）÷車速
【解題思路】利用數量關係及其變式求解。
【例】一座大橋長2400米，一列火車以每分鐘900米的速度通過大橋，從車頭開上橋到車尾離開橋共需要3分鐘。這列火車長多少米？
解：火車3分鐘所行的路程，就是橋長與火車車身長度的和。
先求火車三分鐘行多少米——900×3=2700（米）
再求火車長度——2700-2400=300（米）
綜合算式：900×3-2400=300（米）
題型十三：時鐘問題
【含義】研究鐘面上時針與分針的關係問題，如兩針重合、兩針垂直、兩針成一線、兩針呈夾角等。
【數量關係】
分針的速度是時針的12倍。
二者的速度差為11/12。
【解題思路】變通為“追及問題”或者“差倍問題”求解。
【例】從時針指向4點開始，再經過多少分鐘時針正好與分針重合。
解：根據數量關係，每分鐘分針比時針多走（1-1/12）=11/12格。4點整時，時針在前，分針在後，兩針相距20格。所以分針追上時針的時間為20÷（1-1/12）≈22分
題型十四：盈虧問題
【含義】根據一定的人數，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有餘（盈），一次不足（虧），或者兩次都有餘，或者兩次都不足的問題。
【數量關係】
一盈一虧，則有：
參加分配總人數=（盈+虧）÷分配差
兩次都盈或兩次都虧，則有：
參加分配總人數=（大盈-小盈）÷分配差
參加分配總人數=（大虧-小虧）÷分配差
【解題思路】分清是哪種盈虧問題，直接套用公式。
【例1】小明的媽媽買回一籃梨，分給全家。如果每人分5個，就多出10個；如果每人分6個，就少2個。小明全家有多少人？這籃梨有多少個？
解：根據題目中的條件，我們可知：
第一種分法：每人分5個，多10個；
第二種分法：每人分6個，少2個。
這說明全家人數為：10＋2=12人，也就是說：
不足的個數＋多餘的個數=全家的人數
這籃梨的個數是：5×12＋10=70個；
【例2】幼兒園買來一些玩具，如果每班分8個玩具，則多出2個玩具；如果每班分10個玩具，則少12個玩具。幼兒園有幾個班？這批玩具有多少個？
解：根據題目中的條件，我們可知：
第一種分法：每班分8個，多2個；
第二種分法：每班分10個，少12個。
從上面的條件中，我們可看出：第二種分法比第一種分法每班多分10－8=2個，所以，所需的玩具總個數從多2個變成了少12個，也就是說在多2個的基礎上再加12個，才能保證每班分10個；第二種分法所需的玩具個數比第一種多12＋2=14個，那是因為每班多分了2個。根據這一對應關係，即可求出班級的個數為：14÷2=7個，玩具的總個數為8×7＋2=58個。
題型十五：工程問題
【含義】研究工作量、工作效率、工作時間三者之間的關係。
【數量關係】
工作量=工作效率×工作時間
工作時間=工作量÷工作效率
工作時間=工作量÷（甲的工作效率+乙的工作效率）
【解題思路】解答問題的關鍵是把工作總量看做“1”，再套用公式。
【例】一項工程，甲隊單獨做需要10天完成，乙隊單獨做需要15天完成，現在兩隊合作，需要幾天完成？
解：把此項工程看作單位“1”，那麼甲每天完成1/10，乙每天完成1/15，兩隊合作每天完成（1/10+1/15），由此可列出算式 1÷（1/10+1/15）=1÷1/6=6（天）
題型十六：牛吃草問題
【含義】這個問題是大科學家牛頓提出的，這類問題的特點在於要考慮草邊吃邊長的因素。
【數量關係】草總量=原有草量+草每天生長量×天數
【解題思路】關鍵是求草每天的生長量。
【例】一塊草地，10頭牛20天可以把草吃完，15頭牛10天可以把草吃完。問多少頭牛5天可以把草吃完？
解：設每頭牛每天吃草量為1，根據公式分5步解答：
求草每天的生長量：50÷（20-10）=5
求草原有草量=10天內總草量-10天內生長量
=1×15×10-5×10=100
求5天內草總量=原有草量+5天內生長量=100+5×5=125
求多少頭牛5天吃完草：125÷（5×1）=25（頭）
題型十七：雞兔同籠問題
【含義】這是古典的算術問題，第一類是已知雞兔共有多少隻和多少隻腳，求雞兔各有多少隻的問題；另一類是已知雞兔總數和雞腳與兔腳之差，求雞兔各有多少隻的問題。
【數量關係】
第一類問題：假設全都是雞，則有
兔數=（實際腳數-2×雞兔總數）÷（4-2）
假設全都是兔，則有
雞數=（4×雞兔總數-實際腳數）÷（4-2）
第二類問題：
假設全都是雞，則有
兔數=（2×雞兔總數-雞與兔腳之差）÷（4+2）
假設全都是兔，則有
雞數=（4×雞兔總數+雞與兔腳之差）÷（4+2）
【解題思路】分清是哪一類雞兔同籠問題，然後套用公式即可。
【例】雞兔同籠，共有35只頭，94只腳，問雞兔分別多少隻？
解：假設籠子裡全是兔子，則根據公式
雞數=（4×35-94）÷（4-2）=23（只）
兔數=94-23=12（只）
題型十八：商品利潤問題
【含義】關於成本、利潤、利潤率、虧損、虧損率等方面的問題。
【數量關係】
利潤=售價-進價
利潤率-（售價-進價）÷進價×100%
售價=進價×（1+利潤率）
虧損=進貨價-售價
虧損率=（進貨價-售價）÷進貨價×100%
【解題思路】利用公式及其變式即可解答。
【例】某商量的平均價格在一月份上調了10%，到二月份又下調了10%，這種商品從原價到二月份的價格變動情況如何？
解：設這種商品原價為“1”，則一月份售價為（1+10%），二月份售價為（1+10%）×（1-10%），所以二月份售價比原價下降了 1-（1+10%）×（1-10%）=1%
題型十九：存款利率問題
【含義】關於本金、利率、存期三個因素的問題。
【數量關係】
年（月）利率=利息÷本金÷存款年（月）數×100%
利息=本金×存款年（月）數×年（月）利率
本利和=本金+利息=本金×（1+年（月）利率×存款年（月）利率）
【解題思路】直接套用公式即可。
【例】大強存入銀行1200元，月利率0.8%，到期後連本帶利共取出1488元，求存款期多長？
解：先求總利息是（1488-1200）元，
再求總利率為（1488-1200）÷1200
則存款月數為（1488-1200）÷1200÷0.8%=30（月）
題型二十：溶液濃度問題
【含義】關於溶劑（水或其他液體）、溶質、溶液、濃度幾個量之間關係的問題。
【數量關係】
溶液=溶劑+溶質
濃度=溶質÷溶液×100%
【解題思路】利用公式及其變式，進行分析計算，即可解題。
【例】現有16%的糖水50克，要把它稀釋成10%的糖水，需加水多少克？
解：直接根據公式 50×16%÷10%-50=30（克）
題型二十一：列方程問題
【含義】把題目中的未知數用字母X代替，列出等量關係式，解出X的問題。
【數量關係】方程等號左右兩邊是等量關係。
【解題思路】可以概括為“審、設、列、解、驗、答”六字法。
審：認真審題，找出已知條件和待求問題。
設：將未知數設為X。
列：根據已知條件，列出方程。
解：求解所列方程。
驗：檢驗方程的等量關係及求解過程是否正確。
答：寫答語，回答題目所問。
【例】甲乙兩班共90人，甲班比乙班人數的2倍少30人，求兩班各有多少人？
解：設乙班有X人，則甲班有（90-X）人，
根據等量關係可以列如下方程
90-X=2X-30
解方程得X=40，從而得90-40=50
答：甲班50人，乙班40人。
題型二十二：錯中求解
【含義】在加、減、乘、除式的計算中，如果粗心大意將算式中的一些運算數或符號抄錯，就會導致計算結果發生錯誤。這一週，我們就來討論怎樣利用錯誤的答案求出正確的結論。
【例題1】小玲在計算除法時，把除數65寫成56，結果得到的商是13.還餘52。正確的商是多少？
【思路導航】要求出正確的商，必須先求出被除數是多少。我們可以先抓住錯誤的得數，求出被除數：13×56＋52=780。所以，正確的商是：780÷65=12。
練習1：
1.小星在計算除法時，把除數87錯寫成78，結果得到的商是5，餘數是45。正確的商應該是多少？
2.甜甜和蜜蜜在用同一個數做被除數。甜甜用12去除，蜜蜜用15去除，甜甜得到的商是32還餘6，蜜蜜計算的結果應該是多少？
3.小虎在計算除法時，把被除數1250寫成1205，結果得到的商是48，餘數是5。正確的商應該是多少？
【答案】1.5 2.26 3.50
【例題2】小芳在計算除法時，把除數32錯寫成320，結果得到商是48。正確的商應該是多少？
【思路導航】根據題意，把除數32改成320擴大到原來的10倍，又因為被除數不變，根據商的變化規律，正確的商應該是錯誤商的10倍。所以正確的商應該是48×10=480。
練習2：
1.小麗在計算除法時，把除數530末尾的0漏寫了，得到的商是40。正確的商應該是多少？
2.小馬在計算除法時，把被除數12800誤寫成1280，得到的商是32。正確的商應該是多少？
3.小欣在計算除法時，把被除數420錯寫成240，結果得到商是48。正確的商應該是多少？
【答案】1.4 2.320 3.84
【例題3】 小冬在計算有餘數的除法時，把被除數137錯寫成173.這樣商比原來多了3.而餘數正好相同。正確的商和餘數是多少？
【思路導航】因為被除數137被錯寫成了173.被除數比原來多了173－137=36，又因為商比原來多了3.而且餘數相同，所以除數是36÷3=12。又由137÷12=11……5，所以餘數是5。
練習3：
1.小軍在計算有餘數的除法時，把被除數208錯寫成268，結果商增加了5，而餘數正好相同。正確的除數和餘數是多少？
2.李明在計算有餘數的除法時，把被除數171錯寫成117，結果商比原來少了3.而餘數正好相同。求這道除法算式正確的商和餘數。
3.劉強在計算有餘數的除法時，把被除數137錯寫成174，結果商比原來多3.餘數比原來多1。求這道除法算式的除數和餘數。
【答案】1.除數是12，餘數是4
2.商是9，餘數是9
3.除數是12，餘數是5
喜歡今天的文章，別忘了在文末右下角點個“贊”，並轉發給更多人看。
（此處已添加圈子卡片，請到今日頭條客戶端查看）
