阿喀琉斯，你到底行不行啊？
文 | 登山者
看過電影《特洛伊》的人，都會對布拉德-皮特飾演的阿喀琉斯印象深刻。到底真正的阿喀琉斯有沒有那麼英俊神武，我們不得而知。但藉由《荷馬史詩》裡的記載，這位英雄除了腳踝是唯一命門外，可謂刀槍不入，並且憑藉一已之力扭轉了特洛伊的戰局，堪稱戰神。
但在古希臘哲學家芝諾（Zeno）的眼裡，這位戰神卻根本不值一提，甚至還追不上一支烏龜。這是怎麼回事呢？我們不妨戲仿“伊索寓言”的體例，來講一講阿喀琉斯與烏龜的故事。
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一天早晨，阿喀琉斯正在軍營裡晨練。忽然，他看見不遠處，一支烏龜正在地上慢慢悠悠地爬著。烏龜爬的有板有眼，搞得好像也在跑操似的。阿喀琉斯很好奇，走上前去，問道：“烏龜，你這爬來爬去的，幹什麼呢？”
“我在練習跑步。”烏龜說道。
“什麼？！你在練習跑步。你還想當世界冠軍啊？”阿喀琉斯忍不住嘲笑道。
烏龜說：“你別看不起人。你還不一定跑得過我呢！”
阿喀琉斯說：“笑話！我一堂堂大英雄，豈能追不上你這小小烏龜？！”
烏龜說：“你不信？好，你看到前面那棵大樹了吧？離咱們倆剛好100米。既然你說你跑得比我快，那你就等我爬到那棵大樹跟前，再開始追我。我敢打賭，你肯定追不上我。”
阿喀琉斯笑道：“你這隻狂妄自大的烏龜，別說先讓你跑100米，就是先讓你跑1000米，我也能追上你。我問你，你1秒鐘能爬幾米遠啊？”
烏龜說：“我拼盡全力，1秒鐘也能爬1米呢。你比我快又怎麼樣？我告訴你，只要你讓我先爬100米，你永遠別想追上我！”
阿喀琉斯說：“你當我小學沒畢業啊？我1秒鐘至少能跑10米，就算你1秒鐘能爬1米，等你到了樹那，我才開始追你，我跟你之間也不過距離100米。用100米除以咱倆的速度差，也就是9米每秒，我會在11又9分之1秒後追上你！”
烏龜說：“你也就小學生水平了。不是這麼算的。你看，等我爬到那棵樹底下，你開始追我；你從這跑到那棵樹底下，根據你的速度，你用了10秒鐘，在這10秒鐘，我從樹那往前爬了10米，這時咱倆的距離從一開始的100米縮短成了10米；又過了1秒鐘，你往前跑了10米，我又往前爬了1米，這時，咱倆的距離又縮短成了1米；又過了0.1秒，你往前跑了1米，我往前爬了0.1米，咱倆的距離又縮短成了0.1米；再過0.01秒，你往前跑了0.1米，我往前爬了0.01米，咱倆的距離又縮短成了0.01米… …
也就是說，每次你跑到我上次經過的地方，咱倆的距離都縮短成上次距離的10分之1。但不管這距離有多小，它都不可能等於0。所以說，你永遠都追不上我。”
阿喀琉斯心想：好像是這麼回事啊。可我怎麼可能追不上一隻烏龜呢？簡直是荒唐！那到底是能追上，還是追不上呢？他陷入了沉思。
就這樣，烏龜給阿喀琉斯留下了一個難題，任憑他在晨風中凌亂，自己慢慢悠悠地爬走了。
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這就是著名的“芝諾悖論”。
估計芝諾自己也沒有想到，他提出的這個悖論，竟然困擾了後世的哲學家和數學家們近兩千年之久。實際上，不管是在數學初生的古希臘時代，還是在微積分業已誕生的近代，根據生活經驗，人們都能確信，阿喀琉斯是一定能追得上烏龜的。但是在近代數學，特別是極限論、級數論嚴格建立之前，人們無法有效地駁斥烏龜的謬論。而當人們真正掌握極限的內涵以後，烏龜的謬論也就不攻自破。
在此之前，我們可以通過一道經典的小學數學應用題，來初步瞭解什麼是極限和級數。進而，我們將給出對烏龜的駁斥。
一位獵人帶著自己的獵狗去看望朋友，朋友家在5公里之外，獵人每小時能走5公里，獵狗每小時能走25公里。出發的時候，獵人要求獵狗在前面先走，不要等自己，但跑到朋友家時就掉頭，迎接自己，狗狗返回途中遇見獵人了，就掉頭再往朋友家跑，如此反覆，直到獵人到達朋友家。問：在此過程中，獵狗一共跑了多遠？
我現在還記得，20幾年前，我的小學老師是這樣教我們解決這個問題的：不要管每次獵狗到達朋友的房子、再掉頭遇見獵人這個過程中，狗狗跑了多遠，要用整體思維來考慮。從題目不難知道，獵人從出發到朋友家，5公里的路，他走了1小時。而在這1小時之中，狗狗一刻不停地在跑，也就是說，在此過程中，狗狗整整跑了1小時。所以，狗狗一共跑了25公里。
而當我到了大學以後，重新回想這道題，由衷地佩服我當年的老師：他所謂的整體思維，其實是一種積分的思維。但是，他知道小學生是很難理解積分的。因此，他用一種巧妙的方法，引導自己的學生，用小學數學的知識解決了這道題。
然而，這畢竟是種“迂迴”的解法。而到了中學，掌握數列的相關知識以後，就可以對這個題目發起“正面攻擊”了。
我們把狗狗離開獵人、跑到朋友家、再回頭遇見獵人的過程，稱為一個來回。先看第一個來回。狗狗從出發點到朋友家，先跑了5公里，獵人在此過程中走了1公里（相同時間內，獵人速度是狗狗的1/5，因此距離也是它的1/5），隨後狗狗掉頭往回跑；此時狗狗與獵人相向而行，距離是5公里減去獵人走完的1公里，即4公里，狗狗與獵人將在2/15小時（4公里除以二者速度之和）後相遇，因此，狗狗回頭跑了10/3公里（2/15小時與狗狗速度之積）；於是，第一個來回，狗狗一共跑了25/3公里。
第二個來回。狗狗先從與獵人相遇處，回頭往往朋友家跑，跑了10/3公里，獵人在此過程中走了2/3公里，隨後狗狗掉頭往回跑；此時狗狗與獵人相向而行，距離是10/3公里減去獵人走完的2/3公里，即8/3公里，狗狗與獵人將在4/45小時後相遇，因此，狗狗回頭跑了20/9公里；於是，第二個來回，狗狗一共跑了50/9公里。
第三個來回。重複以上計算過程，不難求得，狗狗跑了100/27公里。
第四個來回。易知，狗狗跑了200/81公里。
第五個來回，狗狗跑了400/243公里。
此時，我們已經看出來，狗狗每一個來回跑的距離都是上一個來回跑的距離的2/3。因此，我們要想求出狗狗在這一小時內跑的總距離，實際上，就是對等比數列{25/3,50/9,100/27,200/81,400/243… …} 求和，根據等比數列求和公式，距離：
問題是，狗狗在這1小時內，共跑了幾個來回呢？根據題目意思，顯然是無數次，也就是說，n是趨向無窮大的。而當n趨向於無窮大時，顯然
等於0，於是S=25。這樣，我們用數列加極限的方法，得到了和“整體法”一樣的結果。
這時，我們不難發現，這個題目的奇特之處在於，我們對無限項的數列求和，居然得到了一個有限的數值。在求解過程中，當n趨於無窮大時，
的值為0，是關鍵所在。
這個關鍵所在，就是高等數學的基石：
極限。而形如
這樣的數列之和，當n無窮大時，就是所謂的無窮級數。
關於獵狗問題，數學界流傳著一個非常著名的段子。一次，數學家馮-諾依曼的某位朋友向他提出了這個問題，這位“計算機之父”、有著“人體計算機”之稱的數學家，不假思索地給出了答案。朋友笑道：你肯定是用了“整體法”。馮-諾依曼反駁道：胡扯！我做的就是先算出那個無窮級數，然後再算出那個無窮級數的和。
看來，“人體計算機”果然名不虛傳。
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現在，我們嘗試用極限的辦法來駁斥烏龜的謬論。
按照烏龜的思路，阿喀琉斯之所以永遠追不上它，是因為不管二者之間的距離有多近，都不為0。也就是說，不管二者之間的距離有多小，阿喀琉斯將永遠追下去。這就意味著，當阿喀琉斯與烏龜之間每一段的距離越來越接近於0時，阿喀琉斯跑過的所有段距離的總和（無窮級數），是無窮大的（發散不收斂）。不然，如果這個距離之和是有限的話，阿喀琉斯總能追得上烏龜。
那麼，我們就來求解阿喀琉斯跑過的所有段距離的總和。顯然，這個總和是等比數列{100,10,1,0.1,0.01,0.001… …}各項之和，即：
而當n趨於無窮大時，顯然
。也就是說，阿喀琉斯只需要跑
米，就可以追得上烏龜。
這是從空間的角度來駁斥的。如果將阿喀琉斯跑過的每一段距離除以他的速度，則得到了他通過每一段距離所需的時間，即得到如下的等比數列：{10,1,0.1,0.01,0.001,0.0001… …} ，總時間即為：
而當n趨於無窮大時，顯然
。也就是說，阿喀琉斯只需要跑
秒，就可以追得上烏龜。
而這個結果，顯然，與阿喀琉斯用小學數學的辦法得到的結果一致。
或許直至此刻，依然有人會說，我知道阿喀琉斯能追得上烏龜。但是，你怎麼解釋，每一個時間段（距離段）儘管再小，都不為0，也就是說，阿喀琉斯即便與烏龜無限接近，但他就是不能追上烏龜啊！
這就涉及到兩個非常重要的問題：時空是連續的，可以無限可分的嗎？我們如何認識運動、時間的無限可分？
第一個問題，涉及到康德的第二個“二律背反”——時空既無限可分，又不是無限可分的。當然，經典力學封頂之後，我們相信，時空是連續的，物體的運動、時間的流逝都是無限可分的。然而，量子力學建立以後，我們又被刷新了“三觀”，量子態是不連續的，不是無限可分的。然而，在經典力學的時空中，運動、時間依然是連續的、無限可分的。
這是我們在哲學上解決“芝諾悖論”的第一步，即承認經典時空的連續性。
第二步，如何認識運動、時間的無限可分？實際上，運動、時間的無限可分，單純當作為無窮小量時，是沒有具體的物理意義的，只有與數學中的極限相一致的“理論”意義。歸根結底，我們不能想象感知有實際存在的無窮小的位移和無窮短的時間。然而，通過極限的運算，可以最終將這種建立在我們無法直接領略感知的無限維度上的“虛擬”變量，轉化為我們可以理解感知的有限維度的諸多“實在”的物理變量。比如，我們知道，速度的微分是加速度，而速度的積分就是質點運動的位移；曲線上，某點的切線的斜率，就是該曲線的導函數在該點的值，等等… …
因此，烏龜所謂的無限接近但不為0的那種情況，實際上是不存在的。儘管烏龜將阿喀琉斯追趕它的過程（運動的位移），拆分成了無數項的子過程，但這整體過程的有限性（位移是有限的），牢牢地限死了這些子過程的物理意義。而當這些子過程趨向於0時，它們的物理意義自動消解，也就不具備思辨、觀察的價值了。
至此，我們終於確信：在經典時空中，阿喀琉斯是能追得上烏龜的。
