我們生活的世界中，美麗的對稱無處不在。不過喜歡認死理的數學家，則硬要用他們獨特的語言來定義對稱。在數學上，對稱與群相關聯。隨著數論、代數方程和幾何等研究方向的發展，“群論”這個無比重要的數學領域被開創建立。而這一偉大的貢獻，則來自一位英年早逝的數學天才少年。
- 張天蓉（德克薩斯州大學奧斯汀分校理論物理博士）
美麗的對稱無處不在，它在我們的世界中扮演著重要的角色。自然界遍佈蟲草花鳥，人類社會處處有標誌性的藝術和建築，這些事物無一不體現出對稱的和諧與美妙。
幾何圖形的對稱不難理解，當人們說到“故宮是左右對稱的”，“地球是球對稱的”，“雪花是六角形對稱的”，每個人都懂得那是什麼意思。不過，數學家們總是喜歡認死理，硬要用他們獨特的語言來定義對稱。
用數學語言定義對稱
從數學的角度來看待剛才的幾個例子，對稱意味著幾何圖形在某種變換下保持不變。
比如說，故宮的左右對稱意味著在鏡像反射變換下不變；球對稱是說在三維旋轉變換下的不變性；雪花六角形對稱則是說將雪花的圖形轉動60、120、180、240、300度時圖形不變。所以，對稱實際上表達的是事物具有的一種冗餘性。沒想到吧，“上帝”設計世界時又耍花招偷懶了：利用鏡像對稱，他只須要設計一半！利用六角形對稱，他的雪花圖案只須畫出六分之一！球對稱的天體就更好辦了，畫出了一個方向的景色，就讓它們去繞著一個固定點不停地轉圈。
不過，“上帝”的這種偷懶辦法讓人類欣賞和喜愛，譽之為美。科學家們更是感覺它深奧無比而對其探索不止。他們發明出了一套又一套的理論來描述對稱。群論，便是描述對稱的一種最好的語言。
用數學語言定義對稱的優越性之一在於容易推廣。如果將對稱概念從幾何推廣到物理研究中的一般情形，便被表述為：如果某種變換能夠保持系統的拉格朗日量不變，從而保持物理規律不變的話，就說系統對此變換是對稱的。
物理規律應該在變換中保持不變，這應該是顯而易見的。試想，如果今天的某個定律明天就不適用了，或者是麥克斯韋方程只在倫敦適用，搬到北京就不適用了，那還叫做自然規律嗎？研究它還有任何意義嗎？當然不應該是這樣的。
剛才舉的例子中，今天到明天、倫敦到北京，這兩個概念在數學上都稱之為變換。前者叫做時間平移變換，後者叫做空間平移變換。但是，除了平移變換之外，還有許多別的種類的變換，物理定律難道對所有的變換都要保持不變嗎？物理規律有很多，至少應該不是每一個規律對每一個變換都將保持不變。那麼，這其中有些什麼樣的關係呢？
首先我們研究一下，與物理定律有關的變換主要有哪幾種，又是如何分類的。俗話說：“物以類聚，人以群分”。豈止人是如此，我們所討論的變換也可以用數學上的“群”來加以分類。所以，變換用來描述對稱，群用來描述變換，因此，群和對稱，便如此關聯起來了。
費馬小定理與群論
群在數學上是什麼意思呢？“群論”的概念來自於多個方面：數論、代數方程、幾何。歷史上有一個偉大的業餘數學家叫費馬，說他是業餘的，是因為他的本職工作是一個地方上的法官，但他並非一般的“民科”，他在數學和物理上的貢獻都非常了不起。
我們在上一篇“大統一理論”系列文章中（回覆編號“310”可提取全文）介紹的最小作用量原理，最早也是基於光學中的費馬原理，該原理認為光線在空間中總是走最短（或極值）的路徑。1637年，費馬隨便在他閱讀的一本書的邊沿空白處寫下了一個看起來頗像勾股定理的公式：xn+yn=zn，並提出了一個猜想：當n大於2的時候，不可能有整數滿足這個等式。更玄乎的是，費馬還在旁邊加上了短短的一句話，意思是說他已經知道如何證明此公式但是那兒的空間太小寫不下……這不是明顯在吊別人胃口嗎？因此，這個貌似簡單的問題，竟讓全世界的頂尖數學家們整整忙碌了300多年！這就是著名的費馬大定理的故事。此外，費馬還提出了一個費馬小定理。費馬小定理說的是有關質數的問題，可以簡單表述如下：假如a是一個整數，p是一個質數，那麼(ap-a)是p的倍數。
看了以上定義的費馬小定理，大家的感覺也許仍然是雲裡霧裡。不過無所謂，那不是我們的今天討論的重點，重要的是，這個小定理和群論的發展有點關係。
簡單地說，群就是一組元素的集合，在集合中每兩個元素之間，定義了符合一定規則的某種乘法運算規則。說到乘法規則，我們大家會想起小時候背過的“九九乘法表”，比如圖1a給出的，就是小於5的整數的“四四”乘法表。
圖1：4個元素的群
歐拉在1758年證明費馬小定理的時候，便碰到了這種類似的乘法表。不過，他將乘法規則稍微作了一些改動。比如在剛才所舉小於5的“四四表”例子中，他把表中的所有元素都除以5，然後將所得到的餘數構成一個新的表，如圖1b所示。按照這種方法，類似於上述n=5的例子，我們可以對任意的n，都如此構造出一個“乘法餘數表”來。
我們再仔細研究一下n=5的情況，就發現圖1b中的四四餘數表有一個有趣的特點：它的每一行都是由（1、2、3、4）這四個數組成的，每一行中四個數全有，但也不重複，只是改變了一下順序而已。
上面的特點初看起來沒有什麼了不起，但歐拉注意到，並非對於每一個n用如上方法構成的乘法表都具有這個性質，而是當且僅當n是質數的時候，（n-1）個元素的餘數表才具有這個特點。這個有關質數的結論對歐拉證明費馬小定理頗有啟發。
以現在群論的說法，圖1b中的4個元素，構成了一個“群”，因為這4個元素兩兩之間定義了一種乘法（在這個例子中，是整數相乘再求5的餘數），並且，滿足群的如下4個基本要求，我們不妨將它們簡稱為“群4點”：
1.封閉性：兩元素相乘後，結果仍然是群中的元素；（從圖1b中很容易驗證）；
2.結合律：(a*b)*c = a*(b*c)；（整數相乘滿足結合律）；
3.單位元：存在單位元（么元），與任何元素相乘，結果不變；（在上面例子中對應於元素1）；
4.逆元：每個元素都存在逆元，元素與其逆元相乘，得到么元。（從圖1b中很容易驗證）
兩位不幸數學家的貢獻
歐拉研究數論時，有了群的模糊概念，但“群”這個名詞以及基本設想，卻是首先在伽羅瓦研究方程理論時被使用的，這涉及到一個年輕數學家的悲慘人生。埃瓦里斯特·伽羅瓦（1811～1832年）是法國數學家，他在短短20年生命中所作的最重要的工作，就是開創建立了“群論”這個無比重要的數學領域。
伽羅瓦從小表現出極高的數學才能，但他厭倦別的學科，獨獨只被數學的“鬼魅”迷住了心竅，以至於這使他在求學的道路上屢遭失敗。他多次寄給法國科學院有關群論的精彩論文，也未被接受：柯西讓他重寫，泊松看不懂，傅立葉收到文章後還沒看就見“上帝”去了。對年輕的伽羅瓦來說，生活的道路坎坷，父親又自殺身亡，卓越的研究成果得不到學界的承認，由此種下了他憤世嫉俗、不滿社會的禍根。後來，法國七月革命一爆發，伽羅瓦急不可待地投身革命，最後又莫名其妙地陷入了一場極不值得的戀愛糾紛中，並且由此捲入一場決鬥。最後，這位“憤青”式的天才數學家，終於在與對手決鬥時飲彈身亡。
伽羅瓦第一個用群的觀點來確定多項式方程的可解性。真是無獨有偶，不幸的事情也往往成雙。說到方程可解性，又牽扯到另外一位也是年紀輕輕就去世了的挪威數學家尼爾斯·阿貝爾（Niels Abel，1802～1829年）。不過，阿貝爾不是憤青，他在27歲時死於貧窮和疾病。
我們在中學數學中就知道一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式為：
對於3次和4次的多項式方程，數學家們也都得到了相應的一般求根公式，即由方程的係數及根式組成的“根式解”。之後，人們自然地把目光轉向探索一般的5次方程的根式解，但歷經幾百年也未得結果。因為所有的努力都以失敗告終，這使得阿貝爾產生了另外一種想法：也許包括5次方程在內的所有次數大於4的方程，根本就沒有統一的根式解。
由於長期得不到大學教職，阿貝爾的生活毫無著落，貧病交加，但他始終不願放棄心愛的數學。他成功地證明了5次方程不可能有根式解，但他卻沒有時間將這個結論推廣到大於5的一般情形，因為病魔奪去了他短暫的生命。就在可憐的阿貝爾因肺結核而撒手人寰的兩天之後，傳來了他已經被某大學聘為教授的好消息。
“接力棒”傳到了比阿貝爾小9歲的伽羅瓦手上。伽羅瓦從研究多項式的方程理論中發展出了群論，又巧妙地用群論的方法解決了一般代數方程的可解性問題。伽羅瓦的思想大致如此：每一個多項式都對應於一個與它的根的對稱性有關的置換群，後人稱之為“伽羅瓦群”。圖2給出一個簡單置換群S3的例子。一個方程有沒有根式解，取決於它的伽羅瓦群是不是可解群。那麼，可解群又是什麼樣的呢？這些概念大大超出了本文討論的範圍，在此不表，有興趣者可參閱相關文獻。
圖2：置換群例子S3
簡單解釋一下圖2的置換群例子S3。給了三個字母ABC，它們能被排列成如圖2a右邊的6種不同的順序。也就是說，從ABC產生了6種置換構成的元素。這6個元素按照生成它們的置換規律而分別記成（1）、（12）、（23）……括號內的數字表示置換的方式，比如（1）表示不變；（12）的意思就是第1個字母和第2個字母交換等等。不難驗證，這6個元素在圖2b所示的乘法規則下，滿足上面談及的定義“群4點”，因而構成一個群。這裡所謂“乘法”不是通常意義上整數間的乘法，而是兩個置換方式的連續操作。圖2b中還標示出S3的一個特別性質：其中定義的乘法是不可交換的。如圖2b所示，（12）乘以（123）得到（13），而當把它們交換變成（123）乘以（12）時，卻得到不同的結果（23），因此，S3是一種不可交換的群，或稱之為“非阿貝爾群”。而像圖1所示的4元素的可交換群，被稱之為“阿貝爾群”。S3有6個元素，是元素數目最小的非阿貝爾群。
圖1和圖2描述的，是有限群的兩個簡單例子。群的概念不限於“有限”，其中的“乘法”含義也很廣泛，只需要滿足群4點即可。
如果你還沒有明白什麼是“群”的話，那就再說通俗一點（做數學的大牛們偶然路過看見了請不要皺眉頭）：“群”就是那麼一群東西，我們為它們兩兩之間規定一種“作用”，見圖3的例子。兩兩作用的結果還是屬於這群東西；其中有一個特別的東西，與任何其它東西作用後都“不起作用”；此外，每樣東西都有另一個東西和它抵消；最後，如果好幾個東西接連作用，只要這些東西的相互位置不變，結果與作用的順序無關。
圖3：各種操作都可以被定義為“群”中的乘法，只要符合“群4點”。
剛才所舉兩個群的例子是離散的有限群。下面舉一個離散但無限的群。比如說，全體整數（……，-4，−3，−2，−1，0，1，2，3，4，……）的加法就構成一個這樣的群。因為兩個整數之和仍然是整數（封閉性），整數加法符合結合律；0加任何數仍然是原來那個數（0作為么元），任何整數都和它的相應負整數抵消（比如：-3是3的逆元，因為3+(-3)=0）。
但是，全體整數在整數乘法下卻並不構成“群”。因為整數的逆不是整數，而是一個分數，所以不存在逆元，違反“群4點”，不能構成群。
全體非零實數的乘法構成一個群。但這個群不是離散的了，是由無限多個實數元素組成的連續群，因為它的所有元素可以看成是由某個參數連續變化而形成。兩個實數相乘可以互相交換，因而這是一個“無限”“連續”的阿貝爾群。
可逆方形矩陣在矩陣乘法下也能構成無限的連續群。矩陣乘法一般不對易，所以構成的是非阿貝爾群。
連續群和離散群的性質大不相同，就像盒子裡裝的是一堆玻璃彈子，或裝的是一堆玻璃細沙不同一樣，因而專門有理論研究連續群。因為連續群是n個連續變量之變化而生成的，這n個變量同時也張成一個n維空間。如果一個由n個變量生成的連續群既有群的結構，又是一個n維微分流形，便稱之為“李群”，是以挪威數學家索菲斯·李（Sophus Lie，1842～1899年）的名字而命名。李群對理論物理很重要，“大統一理論”系列下一篇中，我們從與物理密切相關的幾個例子出發來認識李群。
參考資料：
[1]S. Sternberg ，Group Theory and Physics，CambridgeUniversity Press，Cambridge, September29, 1995。
[2]Morton Hamermesh，Group Theoryand Its Application to Physical Problems (Dover Books on Physics)，December1, 1989。
文章來源：數學中國
