同樣是數字,0為什麼就會這麼慘呢?
小學生
小學老師會直接給你來一句:別問,問就是沒意義!
怎麼理解?
我們說1÷2可以理解為1個東西分成2份。
同樣:1÷3可以理解為1個東西分成3份。
但是:1÷0可以理解為1個東西分成0份。
就是說,你啥也不用幹!那啥也不用幹,你為什麼還要除以0呢,所以沒意義。
這結論沒錯,但這麼嚴謹的數學學科,怎麼解釋的一點逼格也沒有呢?
初中生
所以,接下來稍微認真點。
首先,除法起源於乘法,乘法的逆向運算。說這個有什麼用呢?因為面對除法式子,我們可以把它轉化為乘法式子。
比如在被除數不為0的時候:
1 ÷ 0 = ?
我們可以理解為0乘以一個數等於1,但是常識告訴我們不可能,因為0乘以任何數都是0。
另外,當被除數是0的時候:
0 ÷ 0 = ?
我們可以理解為0乘以一個數等於0,嗯,沒錯啊,因為0乘以任何數都是0。
但到底是什麼數啊?這意味著 0 ÷ 0有無數個答案,根本無法確定。
高中生
當然,我們可以換個角度想想,用武林中失傳已久的方法:反證法!
首先假設可以除以0,那麼任何一個數除以0之後就一定會有一個結果出現。我們用不同的字母代表可能會出現的結果。比如:
1 ÷ 0 = a
2 ÷ 0 = b
3 ÷ 0 = c
……
因為除法是乘法的逆向運算,我們可以得出:
1 = a × 0 = 0
2 = b × 0 = 0
3 = c × 0 = 0
……
進一步可以推出,1=2=3=……=0。因此,假設不成立。
什麼都是0,這不就是要四大皆空的節奏嗎?
大學生
可能有些學過微積分的朋友會反駁,“可以除以0的,結果不就是∞麼。”
實際上,這個說法並不對。
首先我們用極限思維來思考這個事情。
1÷0.1=10
1÷0.01=100
1÷0.001=1000
1÷0.0001=10000
......
1÷0.000000000......00001=10000.......00000
意味著1除以一個很小很小的正數,得到一個超級大的正數。
同理:
1÷(-0.1)=-10
1÷(-0.01)=-100
1÷(-0.001)=-1000
1÷(-0.0001)=-10000
......
1÷(-0.000000000......00001)=-10000.......00000
意味著1除以一個很小很小的負數,得到一個超級大的負數。
1除以一個無窮接近於0的正數和一個無窮接近於0的負數,走向的結果一個是正無窮,一個是負無窮。在這個中間經歷了多大的鴻溝,到底經歷了什麼,我不得而知。而他們的中間,除以的正是0。
因此,微積分課程裡會強調,∞這個符號只是代表一個趨勢,並不是一個確切的數,是不能參與運算。
碩士研究生
看到這裡,同學們肯定不會服氣:雖然一個數除以0是未定義的,但並不是就意味沒有啊。
沒錯,的確如此。
於是一個大膽的想法蹦了出來:制定新規則。畢竟,數學家也不是沒有試過。
在過去很長一段時間裡,平方根裡面是不能放負數的。後來數學家將負數的平方根定義為一個新的數字,稱為i,一個全新的複數的數學世界從此被開闢了。
既然他們都可以這樣做,我們也來湊個熱鬧唄,直接定義 1 / 0 = w,w是個“無限大”的數。
定義一時爽,一直定義一直爽。
我們雖然可以隨便定義東西,但如果和現有的數學體系不相容,就會用得很苦逼,甚至不能用。
那麼先來幾個簡單問題:1 + w等於多少?w - w等於多少?
我們可能會有這樣的的直覺:無窮大加1不也是無窮大麼!至於無窮大減無窮大不就等於0,自己減自己嘛!
我們不妨來加減一下。
1 + ( w - w ) = 1 + 0 = 1
可是
( 1 + w ) - w = w - w = 0
這裡面涉及到的結合律,是加法裡最基本的東西。也正因為它,才使得許多數學定理得以證明。
可想而知,如果結合律坍塌,那涉及到它的數學定理也一樣兵敗如山倒。為了能除以0,捨棄如此重要的結合律,明顯不划算。
那還不如老老實實用舊體系。
說人話就是這個定義......
博士研究生
有些同學可能不服氣,就是要反對:還有很多的定義方式,我就不信沒有!而且將來也會有新的辦法啊。
如果有能夠將除以0完美融入現代數學體系的辦法,那自然是最好,然而不大可能。其他學科可以通過新發現來推翻舊結論,但在數學裡走不通。因為數學在兩千多年的發展都是建立邏輯上,假如確實存在w這一個數,那麼它一定違反了我們現有數學體系中的公理。
比如
“皮亞諾公理”。Ⅱ、每一個確定的自然數a,都具有確定的後繼數a ,a 也是自然數(數a的後繼數a 就是緊接在這個數後面的整數(a+1)。例如:1 =2,2 =3等等。)
Ⅳ、不同的自然數有不同的後繼數,如果自然數b、c的後繼數都是自然數a,那麼b=c。
那麼問題又又來了, w 是哪個數的後繼數啊?哪個數加上1能得到 w?
你會發現根本說不出來,因為所有你能想到的數字都已經有屬於自己的後繼,只要把 w 當成一個數,那就沒法兼容我們現有的實數。
值得一提的是,如果皮亞諾公理沒了,整個自然數的體系就都不能成立。
那是不是就意味著表達式 1 / 0 = ∞ 也不能寫?
也不是不能。
事實上,還有一種“黎曼球面”的概念,是一種將複數平面加上一個無窮遠點的擴張。
裡面涉及到“復無窮”的一個東西,是擴充複平面上有定義的一個點。
在這個特殊的規則下你可以寫下 1 / 0 = ∞ 這樣一個表達式,但無窮遠點的算數區別於一般的代數規則不符。比如你不能把0放到式子右邊,寫成 1 = 0×∞。
然而這個黎曼球解決的並非是我們能否除以0的問題,它主要應用在分析和幾何的其他學科,譬如量子力學和物理學其他分支。
說到底,0能不能作為除數只是一個規定問題,如果確實要討論的話,那就只是在討論這個規定的合理性,所以在通常意義下0不能作為除數,否則會違反了一些非常重要的公理,而這些公理的地位可是非常之深。
當你可以完美的除以0,就推翻整個數學界了。