苏俊 译
江苏省海安高级中学
导论
将量子计算的想法变成实用的技术是当前科技领域的一大挑战，利用变化的电磁场来操控硅晶体管中的电子，是一个较为可能的实施方法。
在本题中，我们尝试利用射频反射法和单电子晶体管(以下简称SET)从硅基量子计算原型机读出量子比特。
本文第一部分与第二部分讨论无线电波在电缆中的传输，第三部分探究了无线电波的反射条件，第四部分介绍了SET，第五部分与第六部分介绍了射频反射技术以及优化方法。
第一部分：同轴传输线的集总元件模型
同轴电缆的中间层为铜芯，半径为a，磁导率可忽略；铜芯外面有一层铜质壳层，半径为b。它们之间是相对介电常数为、相对磁导率为的电介质。当电磁波信号在电缆中传播时被限制在铜芯与铜质外壳之间。
图1 同轴电缆线示意图：C:铜芯，I：介电绝缘层，S:金属外壳，J:塑料包层
问题1.1：计算电磁波在同轴电缆中的传播速度。
问题1.2：若长度为的铜芯所带电量为，铜壳接地，试计算铜芯与铜壳层之间的电场分布。
问题1.3：计算单位长度同轴电缆的电容(可以用长度为的电缆计算)。
问题1.4：计算同轴电缆单位长度的电感。电感与电容的同轴电缆可以等效成一个集总元件模型。铜芯具有电感，铜芯与铜质壳层构成电容器。集总元件模型如下图所示：
图2 同轴电缆集总元件模型的电路示意图
问题1.5：(1)证明半无限长电缆的阻抗，(2)若电缆的阻抗，其中电介质，，试求的值。
第二部分：通过接地平面回流的传输电缆
另一种等效的假想电缆模型如图3所示。输入信号在半径为的细小导线内传输，在导线下方相距为的地方有一个接地导电平面，且。导线周围填充着相对介电常数为、相对磁导率为的电介质，电流通过接地平面返回。
图3 假想电缆示意图：C:半径为的细小导线，P:接地导电平面，与电缆相距为，。导线周围由相对介电常数为、相对磁导率为的电介质填充
问题2.1：试求这种假想电缆的特征阻抗。
第三部分：射频反射技术基础
电磁波在电缆中可以同时向两个方向传播，在每个传播方向的特征阻抗为(类似于欧姆定律)，其中为电压，为电流。考虑两个电缆的接口处，电路如图4，两个电缆的阻抗分别为与。
图4 电缆接口示意图：左侧电缆阻抗为，右侧电缆为。假设端口的尺寸远小于信号的波长
当信号通过阻抗为的电缆传输到接口处，有一部分信号继续传播到右边阻抗为的电缆，另外一部分信号被反射，沿着原路返回。
问题3.1：试计算信号反射率.
问题3.2：试求信号被反射过程中相位改变所满足的条件。
第四部分：单电子晶体管
单电子晶体管(SET)由一个量子点(量子点是一个孤立导体，电子被局域在量子点中)和它附近的电极构成。栅极G通过栅电容与量子点连接，源极S与漏极D通过隧道结与量子点连接。根据量子力学，电子可以通过隧道结发生量子隧穿效应。SET的电路示意图如下：
图5 单电子晶体管的电路示意图：QD是量子点，S是源极，D是漏极，G是栅极
栅电容为，隧道结电容为，若，可以将看作量子点的总电容。在本题中假定源极和漏极电势恒为，栅极电压恒为。
问题4.1：若量子点有个电子，(1)试求量子点的电势。(2)若将一个电子从源极或漏极转移到量子点，计算所需要的附加能量。
如果电子会自发地隧穿到量子点，最终达到电子数，使得。达到平衡态的电子数及其相应的附加能量可以通过栅极电压来控制。
问题4.2：通过调节栅电压，计算的最大值max。
如果，那么电子发生隧穿不需要额外的能量，此时SET处于易导通的ON态；如果，SET的导电性能会受到抑制，处于不易导通的OFF态。当然，处于量子点的电子也需要满足一定的条件。首先，如果处在源极或漏极的电子热动能太大，这些电子会自发跑到量子点，SET的ON与OFF态就没有差别。其次，电子隧穿到量子点或者离开量子点限制了它们的能态寿命。这种隧穿效应可以用隧道结的有效电阻来模拟，其特征隧穿时间等于通过隧道结对量子点充电或放电的特征时间。
问题4.3：写出电子由于热运动而转移到量子点的临界温度。
问题4.4：(1)利用隧道结的电容和有效电阻来估算量子点的隧穿时间。
(2)为了能有效区分量子点的ON与OFF态，试求有效电阻需要满足的条件。
第五部分：利用射频反射技术读取SET的ON与OFF态
SET的ON与OFF态对量子电路的电势很敏感，因而区分ON与OFF态，为读取量子计算机的信息提供了一个有效的方法。SET的ON态可以用kΩ的电阻来模拟，而SET的OFF态则可以将SET看作绝缘体。我们可以通过测量信号通过源之后的反射来辨别SET所处的态，一个简便的方法是利用射频反射法来测量反射信号的强度和相位，从而确定反射率。若SET的ON与OFF态对信号反射率分别为与，它们的差值记作：
问题5.1：若图6中的阻抗为，计算SET的导通态(ON)与绝缘态(OFF)反射率的差值。
图6 阻抗Z0与SET连接后的电路图
为了使两态间反射率的差值更明显，提高射频反射技术的灵敏度，在电路中可以再接入一个电感器。由器件引起的固有电容pF，射频反射传输信号的角频率为。
图7 调整后的SET电路
问题5.2：若两个反射率的差值接近，试估算相应的电感；当MHz，估算电感，计算相应的。
第六部分：单导线量子点(SLQD)的电荷感应
对于可扩展的计算架构，连接到单个量子比特的导线数目需要最少化。在硅基计算机中，一个替代SET的方案是SLQD。SLQD在很多方面与SET类似，但是它没有源极和漏极，只有栅极，栅极不仅可以控制量子点的电子能态，也可以进行射频反射。
与SET类似，SLQD也有OFF态，此时表现为一个绝缘体。与SET不同的是，SLQD的ON态等效为一个电容，电容值为Cq。为了使得SLQD的反射率差值ΔΓ最大，设计如图8电路。由电路确定的寄生电容为pF，但是我们可以改变和频率来最大化。这里电缆的特征阻抗为Ω。
图8 SLQD的读取电路连接到电缆
问题6.1：对于给定的与，，若要使得，试求与。
理论上最优化的一般都比较大，在技术上不太可行。因而，我们通过增加其他电子元件来提高射频反射读取电路的灵敏度。
问题6.2：假设和是确定的，在不需要较大电感的情况下，要使得，在电路中添加什么电子元件可以达到这样的效果，试给出这种元件所需的参数。
（本文为2019年亚洲物理奥林匹克竞赛，理论第1题；该题目的解答将刊登于2020年4月25日出版的《现代物理知识》杂志）