【导读：当今人类即将或者已然了进入智能时代，这是·情报通·人工智能科普系列第[9]篇文章，欢迎阅读和收藏！】
1 基本概念
降维的意思是能够用一组个数为 d 的向量 z i 来代表个数为 D 的向量 x i 所包含的有用信息，其中 dx i ，跟 svm 的参数相乘。假如能够将 512*512 的向量在保留有用信息的情况下降维到 100 ，那么存储输入和参数的空间会减少很多，计算向量乘法的时间也会减少很多。所以降维能够有效的减少计算时间。而高维空间的数据很有可能出现分布稀疏的情况，即 100 个样本在 100 维空间分布肯定是非常稀疏的，每增加一维所需的样本个数呈指数级增长，这种在高维空间中样本稀疏的问题被称为维数灾难。降维可以缓解这种问题。
而为什么可以降维，这是因为数据有冗余，要么是一些没有用的信息，要么是一些重复表达的信息，例如一张 512*512 的图只有中心 100*100 的区域内有非 0 值，剩下的区域就是没有用的信息，又或者一张图是成中心对称的，那么对称的部分信息就重复了。正确降维后的数据一般保留了原始数据的大部分的重要信息，它完全可以替代输入去做一些其他的工作，从而很大程度上可以减少计算量。例如降到二维或者三维来可视化。
2 从什么角度出发来降维
一般来说可以从两个角度来考虑做数据降维，一种是直接提取特征子集做特征抽取，例如从 512*512 图中只取中心部分，一种是通过线性 / 非线性的方式将原来高维空间变换到一个新的空间，这里主要讨论后面一种。后面一种的角度一般有两种思路来实现，一种是基于从高维空间映射到低维空间的 projection 方法，其中代表算法就是 PCA ，而其他的 LDA 、 Autoencoder 也算是这种，主要目的就是学习或者算出一个矩阵变换 W ，用这个矩阵与高维数据相乘得到低维数据。另一种是基于流形学习的方法，流形学习的目的是找到高维空间样本的低维描述，它假设在高维空间中数据会呈现一种有规律的低维流形排列，但是这种规律排列不能直接通过高维空间的欧式距离来衡量，如下左图所示，某两点实际上的距离应该是下右图展开后的距离。如果能够有方法将高维空间中流形描述出来，那么在降维的过程中就能够保留这种空间关系，为了解决这个问题，流形学习假设高维空间的局部区域仍然具有欧式空间的性质，即它们的距离可以通过欧式距离算出 (Isomap) ，或者某点坐标能够由临近的节点线性组合算出 (LLE) ，从而可以获得高维空间的一种关系，而这种关系能够在低维空间中保留下来，从而基于这种关系表示来进行降维，因此流形学习可以用来压缩数据、可视化、获取有效的距离矩阵等。
3 降维方法流程
主要的方法是 线性映射 和 非线性映射 方法两大类，下面介绍几种常用方法。其中初学者对公式的理解是其次，关键是对原理的理解，才对深入学习有所帮助。
3.1 线性映射
线性映射方法的代表方法有： PCA （ Principal Component Analysis ） ， LDA （ Discriminant Analysis ）
3.1.1 主成分分析算法（ PCA ）
最常用的线性降维方法，它的目标是通过某种线性投影，将高维的数据映射到低维的空间中表示，并期望在所投影的维度上数据的方差最大，以此使用较少的数据维度，同时保留住较多的原数据点的特性。
3.1.2 线性判别分析（ LDA ）
判别分析 (Discriminant Analysis) 所追求的目标与 PCA 不同，不是希望保持数据最多的信息，而是希望数据在降维后能够很容易地被区分开来。后面会介绍 LDA 的方法，是另一 种常见的线性降维方法。另外一些非线性的降维方法利用数据点的局部性质，也可以做到比较好地区分结果，例如 LLE ， Laplacian Eigenmap 等。
LDA 是一种有监督的（ supervised ）线性降维算法。与 PCA 保持数据信息不同，核心思想：往线性判别超平面的法向量上投影，是的区分度最大（高内聚，低耦合）。 LDA 是为了使得降维后的数据点尽可能地容易被区分！
3.2 非线性映射
非线性映射方法的代表方法有：核方法（核 + 线性），二维化和张量化（二维 + 线性），流形学习（ ISOMap ， LLE ， LPP ）
3.2.1 基于核的非线性降维
代表方法有： KPCA ， KFDA 。
KPCA 的基本思想：通过 Kernel trick 将 PCA 投影的过程通过内积的形式表达出来。将高维向量 ϕ(x) 与对应特向 βϕ(x) 与对应特向 β 的内积转换成低维的核函数表示。
3.2.2 流形学习
流形学习的主要算法有： ISOMap （等距映射）、 LE （拉普拉斯特征映射）、 LLE （局部线性嵌入）。
流形：直线或者曲线是一维流形，平面或者曲面是二维流形，更高维之后是多维流形。一个流形好比是 d 维的空间，是一个 m 维空间（ m>n ）被扭曲之后的空间。流形并不是一个 “ 形状 ” ，而是一个 “ 空间 ”流形学习的假设：数据采样于某一流形上。