调和级数发散的两个简明证明


调和级数为无穷级数的研究提供了极好的素材。让我们证明它是发散的。我们将采取两种不同的方法。首先,一个矛盾的证明。

假设级数收敛我们表示和:

我们可以把这个级数重新组合:

那么

在我们进一步讨论之前,先说明一下:我们不能总是把无穷级数分割开来。举个例子:

根据分割方式的不同,这个级数的值是0或1。关键是,我们只能分解一个收敛的级数。更重要的是,级数必须是绝对收敛的。绝对收敛意味着即使我们取每一项的绝对值级数也收敛。如果我们用一个发散的级数来尝试,就会遇到矛盾。

我们假设调和级数收敛。由于每一项都是正的,这个假设意味着绝对收敛。我们可以继续。

​鉴于以上所述,它遵循偶数序列和奇数序列具有相等的和:

接下来,我们逐项比较偶数系列和奇数系列:

每一项都比它下面的项大。奇级数大于偶级数。

这两个级数既相等又不相等,矛盾出现了。因此,调和级数收敛的前提假设是错误的,所以这个系列是发散的。

此外,每增加一项,部分和就增加一项。我们不仅知道级数是发散的,我们还知道它会无限地变大。

这就完成了反证法。我们从一个前提开始,然后根据它得出合乎逻辑的结论。当这个结论包含一个矛盾时,这个前提就被推翻了。

下一个:一个更直观的方法,用一点点微积分。

在下面的插图中,级数的每一项都对应于矩形的面积。每个矩形都比曲线略高。因此,x = 1右边的曲线下的面积一定小于级数的和。

但是曲线下的面积是多少?

曲线下的面积无限增大。因此,矩形内的面积总和也必须无限增加。

这就是我们把整个证明颠倒过来的地方。我们可以从第一个证明开始知道调和级数是收敛的。然后,我们可以把它作为我们的目标来证明曲线下的面积是无限的。

请看修改后的图表。

只考虑x = 1右侧的面积,矩形面积的和比级数的和小1。但是我们的第一个证明使我们确信和式趋于无穷。删除第一个矩形不会改变它,曲线下的面积必然是无穷大的。

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