二次函數與圖形的面積思維導圖
1、求二次函數 y = ax^2 + bx + c (a≠0) 最值的方法：
（1）用配方法將 y = ax^2 + bx + c 化成 y = a(x - h )^2 + k 的形式，當自變量 x = h 時，函數 y 有最大（小）值為 k 。
（2）用公式法， 當 x = -b/2a 時，二次函數 y = ax^2 + bx + c 有最大（小）值 （4ac - b^2）/4a 。
2、面積最值問題應設圖形的一邊長為 自變量 ，所求面積為因變量，建立 二次函數 的模型，利用二次函數有關知識求得最值，要注意函數自變量的 取值範圍 。
3、圖形面積的最大值：
例題1、如圖所示、圍成一個矩形花圃，花圃的一邊利用足夠長的牆，另三邊用總長為 32 m 的籬笆恰好圍成。圍成的花圃是如圖所示的矩形 ABCD 。設 AB 邊的長為 x m，矩形 ABCD 的面積為 S m^2 。
（1）求 S 與 x 之間的函數關係式，（不要求寫出自變量 x 的取值範圍）；
（2）當 x 為何值時， S 有最大值？並求出最大值 。
圖（1）
解：
（1）S = AB×BC = x(32 - 2x ) = -2x^2 + 32x ;
（2）因為 a = -2 ＜ 0 , 所以 S 有最大值，當 x = 8 時，S最大值 = 128 。
注：最大（小）值實際是拋物線的最高（低）點的縱座標，實際問題要考慮自變量的取值範圍。
例題2、如圖、已知 平行四邊形 ABCD 的周長為 8 cm , ∠B= 30°，若邊長 AB = x cm 。
圖（2）
（1）平行四邊ABCD 的面積 y（cm^2）與 x 之間的函數關係式為 y = -1/2 x^2 + 2x ，自變量 x 的取值範圍是
0 ＜ x ＜ 4 。
（2）當 x 取 2 時，y 的值最大，最大值為 2 。
例題3、如圖、一個正方形紙板的邊長為 10 cm，將它割去一個正方形，留下四個全等的直角三角形（圖中陰影部分）。設 AE = BF = CG = DH = x cm , 陰影部分的面積為 y cm^2 。
（1）求 y 關於 x 的函數解析式和自變量的取值範圍；
（2）當 x 取何值時，陰影部分的面積最大？最大值是多少？
圖（3）
解：
（1）y = -2x^2 + 20x （0 ＜ x ＜ 10）;
（2）配方得： y = -2(x - 5 )^2 + 50 ,
當 x = 5 時，陰影部分的面積最大，最大值是 50 cm^2 。
例題4、用一段長為 30 m 的籬笆圍成一個一邊靠牆，牆長為 13 m ，中間隔有一道籬笆的矩形菜園，為了方便出入，在如圖所示位置裝上 1.5 m 寬的門，這個矩形菜園的長、寬各為多少時菜園的面積最大，最大面積是多少？
圖（4）
解：
圖（5）
例題5、如圖、等腰直角三角形 ABC 以 2 cm/s 的速度沿直線 m 勻速向正方形 CDEF 移動，直到 AB 與 EF 重合。設移動 x s 時，三角形與正方形重合部分的面積為 y cm^2 。
（1）當 x = 2.7 時， y 的值分別為多少？
（2）求從開始移動時到 AB 與 EF 重合時， y 與 x 的關係式，並求出 x 的取值範圍。
圖（6）
解：
圖（7）
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