二次函数与图形的面积思维导图
1、求二次函数 y = ax^2 + bx + c (a≠0) 最值的方法：
（1）用配方法将 y = ax^2 + bx + c 化成 y = a(x - h )^2 + k 的形式，当自变量 x = h 时，函数 y 有最大（小）值为 k 。
（2）用公式法， 当 x = -b/2a 时，二次函数 y = ax^2 + bx + c 有最大（小）值 （4ac - b^2）/4a 。
2、面积最值问题应设图形的一边长为 自变量 ，所求面积为因变量，建立 二次函数 的模型，利用二次函数有关知识求得最值，要注意函数自变量的 取值范围 。
3、图形面积的最大值：
例题1、如图所示、围成一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为 32 m 的篱笆恰好围成。围成的花圃是如图所示的矩形 ABCD 。设 AB 边的长为 x m，矩形 ABCD 的面积为 S m^2 。
（1）求 S 与 x 之间的函数关系式，（不要求写出自变量 x 的取值范围）；
（2）当 x 为何值时， S 有最大值？并求出最大值 。
图（1）
解：
（1）S = AB×BC = x(32 - 2x ) = -2x^2 + 32x ;
（2）因为 a = -2 ＜ 0 , 所以 S 有最大值，当 x = 8 时，S最大值 = 128 。
注：最大（小）值实际是抛物线的最高（低）点的纵坐标，实际问题要考虑自变量的取值范围。
例题2、如图、已知 平行四边形 ABCD 的周长为 8 cm , ∠B= 30°，若边长 AB = x cm 。
图（2）
（1）平行四边ABCD 的面积 y（cm^2）与 x 之间的函数关系式为 y = -1/2 x^2 + 2x ，自变量 x 的取值范围是
0 ＜ x ＜ 4 。
（2）当 x 取 2 时，y 的值最大，最大值为 2 。
例题3、如图、一个正方形纸板的边长为 10 cm，将它割去一个正方形，留下四个全等的直角三角形（图中阴影部分）。设 AE = BF = CG = DH = x cm , 阴影部分的面积为 y cm^2 。
（1）求 y 关于 x 的函数解析式和自变量的取值范围；
（2）当 x 取何值时，阴影部分的面积最大？最大值是多少？
图（3）
解：
（1）y = -2x^2 + 20x （0 ＜ x ＜ 10）;
（2）配方得： y = -2(x - 5 )^2 + 50 ,
当 x = 5 时，阴影部分的面积最大，最大值是 50 cm^2 。
例题4、用一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙，墙长为 13 m ，中间隔有一道篱笆的矩形菜园，为了方便出入，在如图所示位置装上 1.5 m 宽的门，这个矩形菜园的长、宽各为多少时菜园的面积最大，最大面积是多少？
图（4）
解：
图（5）
例题5、如图、等腰直角三角形 ABC 以 2 cm/s 的速度沿直线 m 匀速向正方形 CDEF 移动，直到 AB 与 EF 重合。设移动 x s 时，三角形与正方形重合部分的面积为 y cm^2 。
（1）当 x = 2.7 时， y 的值分别为多少？
（2）求从开始移动时到 AB 与 EF 重合时， y 与 x 的关系式，并求出 x 的取值范围。
图（6）
解：
图（7）
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