巴拿赫-塔斯基悖論，又稱分球悖論，是一條經過嚴格證明的數學定理。可以描述為：一個三維實心球，必定存在一種辦法分成有限部分，然後僅僅通過旋轉和平移，就可以組成兩個和原來完全相同的球（半徑相同，密度相同……所有性質都相同）。 
這是一條非常反常識的數學定理，基於“選擇公理”嚴格地推導出來，而且不容置疑。
這個定理還有更強的版本描述：一塊石頭經過分解，可以隨意組合成任何東西，可以拼成一個星球，也可以拼成一個人，甚至藏進一個細胞之中！
要理解其中的原理，需要對“無窮”這個概念有深刻的理解，“希爾伯特旅館”大家可能聽過。
這個比喻，是對“無窮”的一個通俗解釋，分球悖論也可以通過這個比喻來解釋。
我們來類比，“球分成無限份”相當於“旅館的無限個房間“，把這無限個房間分成偶數和奇數兩類，我們再單獨把這兩類房間分開，分別稱為“希爾伯特旅館一”和“希爾伯特旅館二”。
如果我們不看序號，或者把兩個旅館的房間重新編號，請問：這兩個新的旅館，和原來的“希爾伯特旅館”有區別嗎?
答案是：沒有區別，兩個新旅館，和原來的旅館一摸一樣，房間數一樣，每個房間的大小也一樣。
分球悖論指出：實心球也存在這樣的分解辦法，然後進行分類和重組，就能變“一”為“二”；兩者本質上是一樣的。 
有人可能會覺得，新的實心球，質量肯定變為原來的一半！其實不是的，因為在無窮面前，分球悖論並不滿足質量守恆，比如我們假設每個單元的質量為Δm（無窮小），在我們分類的時候，Δm並沒有被分解，我們分解的是“∞“。
在數學中，“可數∞”的一半，還是“可數∞”，於是，我們確實得到了兩個，和原來一模一樣的實心球。數學上允許這樣的事發生，但是為了避免這樣的悖論，出現在現實中，大自然把世界設定為離散的，於是有了量子，有了普朗克長度。
所以，實際的事物不可能無限細分，分球悖論也就無法在現實中進行。或許，這正是數學和大自然，完美統一的表現。
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