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為什麼不能在加時賽中拋硬幣?
當職業足球聯盟在淘汰賽或者獎盃爭奪賽的比賽中出現平局的時候就會進入加時賽，兩支球隊輪流進行罰點球直到打破平局，這時候就用投硬幣來決定哪支球隊先罰點球。類似的，當在美國的國家職業橄欖球聯盟（National Football League (NFL)）比賽出現平局進入加時賽的時候，拋硬幣也被用來決定在加時賽中哪支球隊先進攻、哪支球隊先防守。
在這兩種運動中，我們可以說，拋硬幣是一種有缺陷的做決定的機制，它可以顯著地影響到輸贏的結果。因為作者對於美式橄欖球比賽更加熟悉，本文就集中討論這一運動，但是我們會在之後回到足球的情形分析中。
職業橄欖球聯賽採用猜硬幣的辦法決定誰進攻誰防守。圖片由Pierre-Selim提供
NFL中的問題
在NFL在加時賽中用投擲硬幣來決定誰發球誰接球的做法在投擲之前看起來非常的公平，但是投擲之後就出現問題了。儘管投擲硬幣的結果是公平的，兩支球隊獲勝的可能性相同，擲硬幣之後猜對的一方享有明顯的優勢，他們不約而同的選擇接球來進行防守。這樣做，在1994到2011的所有賽季中，接球的隊伍贏得了加時賽接近60%的勝率，其中34%贏在了開局。
從2012賽季開始，NFL試著改善這一問題，採用射門得分排除法：防守隊在第一波進攻中必須通過達陣（touchdown）得分（6分）而贏得比賽，而不是像之前只需要通過射門得分（3分）就可以獲勝。也就是必須達陣才能立刻贏得比賽。但是結束第一波進攻後，比賽或許會因為立刻死亡而結束，也就是第一個得分的隊伍會勝出比賽。
當這一規則應用在2011-2012的季後賽時，兩場平局的比賽均由猜對硬幣的隊伍獲勝。在2012-2013賽季，出現了23場加時賽（相當於總比賽場數的8%），其中一場以平局結束。在目前進行過的採用這一規則的24場非平局結果的加時賽中，儘管採用了射門得分排除法，其中16場（也就是2/3）由防守隊獲得，8場（也就是1/3）由進攻隊獲得。換句話說，猜對投擲硬幣的球隊平均來說有2/3的機會贏得加時賽。
開局線報價：一個雙贏的策略
我們相信需要一個更加激進的解決方案來排除這種不公平的機會。我們建議的規則使得球隊相對於讓對方來扮演自己的角色來說更加滿意又自己來扮演這個角色。
一個規則稱為公平的，假如這個規則下的每支球隊，不論在加時賽開始的時候是進攻隊還是防守隊，更願意扮演自己的角色而不是對方的角色。在這種情形下，每支球隊都認為他們比對手處於更加優勢的位置。
這怎麼可能呢？我們的解決方案基於一個與買賣交易相同的原理，在一宗交易中，買家和賣家通過達成商品價格的協議而得到相同的滿意度。因為雙方的偏好不同----買家更加願意得到商品而不是金錢，而賣家卻更願意得到金錢而不是商品----交易達成了一個雙贏的局面。
不是在商品價格上討價還價，我們建議球隊對開局的場線位置進行議價。不像通常的加時賽的開場，取而代之的是，開場是在一個特定的碼線處開始。碼線的位置由雙方球隊的報價的平均而得到，報價低（它意義將很快會變得明確）的球隊作進攻方，報價高的球隊作防守方。這一結果使得，相對於處於對方的位置上來說，雙方球隊都同等程度都更加滿意現處的位置。
為了進行說明，假設球隊A開價是20碼線，這意味著
作為進攻方，他們希望從自己的20碼線開始，使得他們得帶球過80碼來得分；
作為防守方，他們希望可以從對方的20碼線開始，使得對手要帶球過80碼才可以得分。
我們稱這個為球隊A的無差別點，因為從己方的20碼線開始進攻和從對方的20碼線開始防守，在這一點上他們認為是己方贏得比賽的機會是均等的（儘管不一定是50-50的機會---這取決於隊伍本身的相對水平）。我們假定每支球隊都有一個無差別點，這個無差別點在面對不同的對手來的時候可能會有所不同（取決於雙方的優勢與劣勢）。
為了繼續說明，假設球隊B的無差別點是30碼線。平均兩隊報價是25碼線，從離開時，球隊A扮演進攻方（因為它給出了低報價20碼）球隊B將扮演防守方。
當比賽開始的時候，注意到球隊A，作為進攻隊，距離B隊的得分線比自己開出的進攻無差別點20碼線近了5碼，因為他們現在需要帶球的距離是75碼而不是原來所報價的80碼。同樣的，球隊B的防守起始線比起他的防守無差別點30碼線遠了5碼，因為他們需要阻止的進攻距離是75碼而不是原來的70碼。
因為每支球隊都得到比他們報價而言相同的收益（5碼）。這一方案對於雙方來說不僅僅這是一個雙贏的，而且是公平的---每支球隊都同等程度的更加滿意現在的位置而不是對手的位置：如果球隊A扮演球隊B的角色，他們就得從對方的25碼線開始防守，然而它更加願意從對方的20碼線就開始防守。類似地，球隊B也更滿意自己的位置而不是球隊A的位置，這一差距也是5碼。
它更有利於最誠實的一方
一支球隊可不可以單方面偏離自己的真正的無差別點而報一個不真誠的無差別點從而獲益？假設球隊A不誠實地報價x，這裡20x<>，所以它過高的進行了報價。這麼做確實對它扮演進攻方有好處，因為這使得報價平均值相對於20來說更加接近於30。但低報價（x<>）會有壞處，所以它的最優偏離有一個下界。那麼,球隊A可以從高報價（30）中獲得一定程度的益處---它並不知道這些，因為它並不知道球隊B會報價30。事實上，因為這個比賽是一種不完整信息的比賽，球隊A甚至不能夠它的報價是低於還是高於球隊B的報價。
下面假定報價x>30。那麼球隊A就要扮演防守方，更加糟糕的是，這樣做會使得球隊B的移動距離小於70碼就能得分。不僅僅是球隊B會比自己的無差別點表現的好，球隊A會更加中意球隊B的位置，因為30+遠遠大於球隊A的無差別點20碼。
顯然，風險規避，或甚至風險中性的球隊有誠實報價的動機，因為任何方向的偏離---某個方向偏離一定的數值（例如球隊A進行低報價），或者另外一個方向偏離了較大的數值（例如球隊A的報價比真實的數值超過了10碼）---都會帶來壞處。因此，在報價遊戲中，誠實似乎是一個強制的策略。
報價在足球比賽中的應用
足球比賽中罰點球是從距離球門11米的罰球線上踢出的。它們通常出現在淘汰賽或者獎盃爭奪賽中，如果打滿90分鐘和加時仍然平局，就需要通過點球決勝負。
由投擲硬幣決定由哪支球隊先罰點球，然後兩隊輪流罰點球直到各罰滿5球。如果這5球之後仍然沒有任何一支球隊取得先機，就要進行到下一步，在這一步中，兩支球隊輪流罰球，每次罰一球，直到有一隊得分領先而贏得比賽。
菲利普·拉姆在2012歐冠賽總決賽中罰球得分。在足球比賽中投硬幣被用來決定哪支球隊在點球大戰中首先罰球。圖片來自Markus Unger.
就如在NFL中，猜對硬幣的一方有優勢：統計暗示在點球大戰中首先罰球的球隊獲勝的幾率是60%，相比後罰球的球隊擁有3:2或者說50%的優勢。但是通過兩隊對於罰球線的報價，將罰球線定在兩個報價的平均值上，然後報價高的球隊獲得先罰球的獎勵，這一做法是有問題的，因為太接近球門（比如說6米或者更近）或許不是優勢反而是劣勢。這是因為守門員可以比較容易的通過移動來防守來自這麼短距離的射門，儘管他或者她的反應時間要變得短了。相應的，我們建議報價高的球隊先罰球，而報價低的球隊將會被要求從標準的11米開始罰球。
是不是兩支球隊都會選擇報價11米？顯然不是，因為他們會願意去報價多1釐米而不影響他們的罰球得分的機會。結果就是，報價肯定會以某一隊的大於11米而結束。不明朗的是，比11米大多少才能讓本球隊在罰球的先後順序上無差別。
似乎顯而易見的是這個計算將依賴於本球隊以及對手的水平，罰球隊員、守門員的技術。但不管每支球隊的計算如何，報價將會幫助提升公平的競賽環境。
結論
我們關於橄欖球加時賽中開場碼線報價，或者足球點球大戰中罰球線報價的建議，消除了投擲硬幣的偶然因素。這使得比起對方球隊的選擇來說，每支球隊都相同程度的更加滿意他們自己的選擇。
報價竟會給兩種運動都添加新的策略元素：在橄欖球比賽中它會製造一個懸念--哪支球隊會扮演進攻方和防守方，起始線在什麼地方；在足球比賽中哪支球隊先罰點球，罰球線在哪裡。雖然橄欖球和足球的球迷會爭論說報價並不是一個“純粹”的競賽測試，但投擲硬幣也不是。在所有的優點中突出的一點，報價會使得球隊對他們自己的選擇負責而不是讓他們將自己的糟糕表現怪罪於壞運氣。
運動在向更加公平不斷的發展。證據是全美籃球協會（NBA）在1979年設立的三分線來獎勵遠投所需要的額外技巧，NFL由1979年開始採用的兩分轉換來雙倍獎勵通過奔跑或者投擲而不是踢球得分。在足球比賽中，1970年引進的紅黃牌警告使得球員和教練對於裁判的判決更加明白，2012年引入的球門線科技用於判定足球是否穿過球門平面，這些都是這一運動中的發明的例子。我們相信橄欖球以及足球比賽中加時賽規則的發展演化也是如此。
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