作者 | [英]尤金妮婭•程
翻譯 | 杜娟
來源 | 《超越無窮大》，中信出版社
數學可以被想象成很多事物：一門語言、一種工具、一個遊戲。當你努力做家庭作業或者準備考試的時候，它可能不那麼像是一個遊戲。但是對於我來說，做研究最令人興奮的一個階段就是開始一個新的項目的時候。因為在這個階段，你可以針對不同的觀點進行有趣的嘗試。這有點兒像在廚房裡嘗試不同的調味品。這比之後你努力記下發明出來的配方以免第二次做出來的味道不一樣要有趣得多。當然，這比努力記下配方以免別人無法複製出來更加有趣。
所以作為開端，我會介紹一些關於無窮的有趣的觀點，藉此我們可以活躍一下我們的頭腦，探索一下哪些關於無窮的觀點可能是正確的，而這些觀點的推論又是什麼。數學的基礎是通過邏輯理解事物。我們會發現，當我們對於“無窮”的理解不精確的時候，邏輯會把我們帶到我們不曾設想的奇怪地點。數學家們往往會嘗試從不同的視角來感受什麼可能是正確的或者錯誤的。當樂高最初被設計出來之前，設計者一定嘗試過很多不同的模型，而後才定稿完成最終的美妙設計。
一個數學家的“玩具”應該像樂高一樣，足夠強大，能夠用來搭建事物，同時足夠靈活，能夠用來嘗試不同的可能性。如果我們關於無窮的模型讓一些基礎概念出現了矛盾，那麼我們就必須回過頭去重新審視我們的模型。在最初的遊戲之後，我們可能會多次回到我們的模型面前，因為我們會發現我們對無窮的思考可能引發了各種各樣的問題。當我們最終得到了一個牢固的邏輯的時候，我們所完成的模型可能會和最初的想象完全不同。這同樣會帶來一些我們之前不曾預期的結果。比如，一個奇怪的事實就是，無窮可能有很多不同的“尺寸”。換言之，一些事物會比另外一些事物“更加無窮”。這正是所有旅程的美妙之處——發現一些不曾預期的事物。
在之前的章節中，我列出了一些關於無窮的基本觀點，比如：
無窮會永遠持續下去。
這是不是意味著無窮是一種時間、空間，或者長度呢？
無窮比最大的數字還要大。
無窮比我們能想到的任何巨大的事物都更大。
現在，無窮又有點兒像一種尺寸了。或者，它也許是一種更加抽象的事物——一個數字，我們可以用這個數字來測量時間、空間、長度、尺寸，甚至任何我們想要測量的事物。接下來，我們會將無窮當作一種數字做進一步的研究。
無窮加一，它還是無窮。
換言之，
∞ + 1 = ∞
這看起來更像是關於無窮的基本原則。如果無窮是最大的事物的話，加上一併不會讓它變得更大——真的是如此嗎？如果我們在等式兩邊都減去無窮呢？如果我們用大家熟悉的消除法，在等式兩邊都消除無窮，那麼等式就變成了：
1 = 0
這簡直是一個災難。一定有什麼地方出錯了。而下面的說法會導致更多的錯誤結果。
無窮加無窮，它還是無窮。
這看起來好像是說，
∞ + ∞ = ∞
也就是說，
2∞ = ∞
現在，如果我們將兩邊都除以無窮的話，那麼等式就變成了：
2 = 1
這成了另外一個災難。現在，你幾乎能猜到我們在思考最後一個觀點的時候會發生什麼。
無窮乘以無窮，它依舊是無窮。
如果我們把這句話寫成一個等式的話，就是：
∞ × ∞ = ∞
如果我們在等式兩邊都除以無窮的話，就相當於在等式兩邊各去掉一個無窮。等式就變成了：
∞ = 1
這可能是所有結果中錯得最離譜的一個。無窮代表著最大的事物，肯定不會是 1 這麼小。
到底是什麼地方錯了呢？問題就在於，我們像處理一個尋常的數字那樣處理無窮，而我們並不知道是不是能這樣處理它。我們在這本書中將會首先學到的事情之一就是無窮不是什麼。我們會發現無窮肯定不是一個尋常的數字，繼而漸漸瞭解無窮可以是什麼。這個旅程花費了數學家幾千年的時間，其中牽涉數學領域的很多重大的發展，集合論和微積分就是其中很好的例證。
上面的故事的關鍵在於，雖然無窮的概念很好建立，但是我們必須非常小心地處理它，否則就會發生相當奇怪的後果。而這些都僅僅是開胃小菜。我們接下來會看見各種各樣的伴隨無窮髮生的奇怪的事物，比如事物的無窮集合、有無窮個房間的旅館、無窮雙襪子、無窮條路徑、無窮多的點心。其中一些奇怪的發現就像“1 = 0”一樣，不僅僅奇怪，而且讓人不滿意。所以我們需要自己構建數學模型來避免這些情況。但是，也有其他一些奇怪的事物並不違背邏輯，它們僅僅是違背常理。這些奇怪的事物並不會給我們的邏輯帶來問題，卻會挑戰我們的想象力和思維方式，就好像科幻小說作家所塑造的那些擁有無窮生命、永生不老的人，或者擁有無窮的速度，能夠瞬間移動的人一樣。
擁有無窮多房間的旅館
當我們開始教孩子們數字的時候，我們總會給他們一些實物幫助他們思考，或者我們會在他們吃一些可計數的食物時，教他們怎麼計數，又或者，我們會教他們數自己吃了幾勺子食物。
如果我們想要一勺一勺地數，一直數到無窮的話，那得花費非常多的時間。事實上，我們下面要介紹的幾個例子確實有一點兒從一一直數到無窮的意味在裡面。但是在做這些事情之前，我們還是先看一個已經是無窮的例子——一個擁有無窮多房間的旅館。 想象一下，一個旅館裡面有無窮多個房間，房間的編號是1、2、 3、4……直到無窮（見圖 2–1）。
現在假設你是這個旅館的經理。你面對的情況是每個房間都住了客人，而你正沉醉在你所賺到的錢裡面。這個時候，另外一個客人走了進來，要求開一個房間。一方面，旅館已經住滿了。另一方面，如果你能讓每一個客人都往後挪一個房間的話……
這個有無窮多個房間的旅館被稱作希爾伯特旅館。德國著名數學家戴維·希爾伯特使用這個栩栩如生的例子來描繪你開始思考無窮時可能遇到的問題。一個正常的旅館只會有有限的房間，住滿了就是住滿了。面對下一個客人，你根本就沒辦法安排，除非搭一個臨時建築。然而，在一個擁有無窮多個房間的旅館中，你可以讓 1 號房間的客人搬到2 號房間，讓2 號房間的客人搬到3 號房間，讓3 號房間的客人搬到4 號房間，以此類推，我們總是能讓n 號房間的客人搬到 n + 1 號房間。因為我們有無窮多個房間，每一個n 都有一個對應的 n + 1，所以每一個客人都有一個對應的新房間。這麼做的話，1 號房間就空出來了，新的客人就可以入住了（見圖 2–2）。
這看起來是一個悖論，但是論證過程並沒有漏洞。唯一的問題就是這個結論與人們的直覺不相符。我們怎麼能在已經完全住滿的旅館裡再安排下一個客人呢？這和我們的直覺相悖的唯一原因就是我們太習慣於有限的旅館了。當我們嚴肅地思考無窮，而不是模糊地想象無窮的時候，我們必須準備接受一些可能會顯得有點兒奇怪的事物，甚至是看起來非常奇怪的事物。這也正是無窮的美妙之處。
我們想要做的是把“無窮”這個概念融入普通的數學中，而不改變其餘的邏輯。就像科幻小說中永生不老的往往只有一個人，其他所有人都是有生老病死的普通人一樣。一些奇怪的事情可能會發生，但是我們並不想因此而毀掉關於這個世界的一些基本事實。言下之意就 是，我們並不希望因為將無窮和數學交織起來研究而發生“1 = 0”這樣的事情。但是也許仍會有一些奇怪的新事物出現，就像這個擁有無窮多房間的旅館一樣。
希爾伯特旅館並不會挑戰現有的數學邏輯，它挑戰的僅僅是我們關於旅館的直覺。這個例子開拓了我們的眼界，讓我們意識到，在無窮的情況下可能會發生的奇怪逸事。
如果來了更多的客人呢？
如果來了第二位客人呢？很簡單，我們可以讓每個客人都多往後挪一個房間。現在，原來住在1 號房間的客人搬到了3 號房間，原 來住在2 號房間的客人搬到了4 號房間，原來住在n 號房間的客人 搬到了n + 2 號房間。這就是數學的世界，我們不需要考慮搬房間所帶來的麻煩，我們只要開開心心地知道每個客人都有房間住就好了。
如果這兩位客人同時到達，我們可以從一開始就讓所有的客人都往後挪兩個房間。當然，如果是三位客人同時到達的話，我們可以讓每個人都往後挪三個房間。以此類推，只要是有限數量的客人同時到 達，我們都可以用這種辦法安排（見圖 2–3）。
如果有無窮多的客人同時到達怎麼辦？我們不能讓每個客人都往後挪無窮個房間。雖然這個方案聽起來好像有點兒道理，因為我們有無窮多個房間。但是讓我們考慮一下某位特定客人的具體情況，比如1 號房間的客人。這位客人要搬到哪個房間去呢？“1 + ∞”號房間？這肯定不行，因為這就不是一個房間號。我們確實有無窮多 個房間，但是每個房間還是有一個有限的房間號的。所以並不存在 “1 + ∞”號房間，讓1 號房間的客人搬到“1 + ∞”號房間就等於這位客人還是沒有地方可以去。如果我們不能告訴客人們他們應該搬到哪個房間去的話，那麼我們就卡住了。
所以我們不得不表現得更加聰明一點兒。（處理數學問題經常需要我們更加聰明，這也是數學看起來很難的一個原因。）我們可以讓每個客人都去房間號是原來房間號兩倍的房間。這樣，1 號房間的客人就去了2 號房間，2 號房間的客人就去了4 號房間，n 號房間的客人就去了2n 號房間。（見圖2–4）這樣就空出來無窮多個房間。我們怎麼會知道這樣能行呢？我們知道本來已經入住的客人都已經搬到雙倍房間號的房間了，所以他們現在全都住在偶數號的房間裡。換言之，所有奇數號的房間都已經空出來了，而這樣的房間有無窮多個。
事實上，我們可以寫一個指導手冊來告訴每位客人在不同的情況下他們接下來的房間號是什麼。但是這個單子將會非常長，完成它花費的時間也會非常多。所以一個簡便的辦法就是我們可以寫一個公式。使用公式的好處就是可以避免花費過多的精力寫一個過長的清單。下面就是這個指導手冊的簡化版：
◆ 原來就已經在店裡入住的客人：如果你住在n 號房間， 請搬到 2n 號房間。
◆ 新來的客人：如果你是第n號客人，請入住2n – 1號房間。
現在，每個人都知道自己的房間號了。我們可以再檢查一下，保證不會出現兩個人被分配到同樣的房間的情況，除非客人在計算的時候出現了問題。
你可能會注意到，這種情況只有在新來的客人已經排了隊的情況下才能成為現實。否則，不守規矩的客人就會扭作一團，上演數學版的房間爭奪大戰。新來的客人必須按照編號順序排隊才能到達他們被分配的房間。因為現在情況變得複雜了，所以我們之後將會花點兒時間討論一下隊列的問題。
（未完待續）
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尤金妮婭·程 著
《超越無窮大》
定價：49.00元
出版社：中信出版集團
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