一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形 。
等腰梯形：有兩條腰相等的梯形；直角梯形：有一個角是直角的梯形 。
一、從一底的兩端，向另一底作垂線，構造矩形和三角形
例題1、如圖，在梯形 ABCD 中 ，
例題1圖
過點 A、D 分別作 AE⊥BC、DF⊥BC ，垂足為點 E、F ，則 AE = DF = h(h為梯形ABCD的高) 。
求證：S梯形ABCD = 1/2 （AD+BC）· h
證明：
∵ S梯形ABCD = S△AEB + S矩形AEFD + S△DFC
S△AEB = 1/2 BE · h , S矩形AEFD = EF · h , S△DFC = 1/2 FC · h ;
∴ S梯形ABCD = 1/2 BE · h + EF · h + 1/2 FC · h
=
1/2 BE · h + 1/2 ( AD+ EF) · h + 1/2 FC · h= 1/2 （AD+BC）· h
二、平移一腰，將梯形分為一個平行四邊形和一個三角形
例題2、如圖，在梯形 ABCD 中，AD∥BC ，AB = CD ，∠C = 60° ，AD = 15 ，BC = 49 ，求 CD 的長？
例題2圖
解：過點 A 作 AE∥CD ，交 BC 於點 E ，則四邊形 AECD 為平行四邊形
∵ 四邊形 AECD 為平行四邊形
∴ AE = CD = AB ，∠AEB = ∠C = 60° , AD = EC
∴ △ABE 為等邊三角形
∴ CD = BE = BC - EC = 49 - 15 = 34
三、延長梯形的兩腰交於一點，構造三角形和梯形
例題3、如圖，在梯形 ABCD 中，AD∥BC ，∠B = 50°，∠C = 80° ，AD = 5 , BC = 8 ,求 CD 的長？
例題3圖
解：延長 BA 和 CD 交於點 E ，在 △EBC 中
∵ ∠E + ∠B + ∠C = 180° （三角形內角和定理）
∴ ∠E = 180° - 50° - 80° = 50° = ∠B
∵ 在梯形 ABCD 中 ，AD∥BC
∴ ∠EAD = ∠B = ∠E
∴ △EAD 和 △EBC 都是等腰三角形
∴ ED = AD , EC = BC
∴ CD = EC - ED = BC - AD = 8 - 5 = 3
四、平移對角線，將梯形轉化為三角形
例題4、如圖，在梯形 ABCD 中，AD∥BC ，AC = 15 , BD = 20 , 高 DH = 12 ，求梯形 ABCD 的面積 ？
例題4圖
解：過點 D 作 DE∥AC ，交 BC 延長線於點 E ，則四邊形 ACED 為平行四邊形
∵ S△BAD = S△CAD = S△DCE （等底同高，高是 DH）
∴ S梯形ABCD = S△DBE
在 Rt△BHD 中 ，由勾股定理得：
BH^2 = BD^2 - DH^2 = 20^2 - 12^2 = 16 ^2；
所以 BH = 16
在 Rt△DHE 中 ，由勾股定理得：
EH^2 = DE^2 - DH^2 = 15^2 - 12^2 = 81；
所以 EH = 9
∴ S梯形ABCD = S△DBE = 1/2 × DH × BE =1/2 × 12 × 25 = 150
五、連接一個頂點與另一腰中點並延長交另一底的延長線於一點
例題5、如圖，在梯形 ABCD 中，AD∥BC ，點 H 為 CD 的中點，AB = AD + BC ；
求證：BH 平分∠ABC 。
例題5圖
證明：
連接 AH 並延長交 BC 延長線於點 E
在 △AHD 和 △EHC 中
∵ AD∥BC ∴ ∠DAH = ∠E
∵ H 為 CD 的中點，∴ DH = CH
∵ ∠AHD = ∠EHC （對頂角相等）
∴ △AHD ≌ △EHC （AAS）
∴ AD = CE ，AH = EH
∵ AB = AD + BC ， BE = BC + CE
∴ AB = BE，即 △ABE 為等腰三角形
∴ BH 平分∠ABC （等腰三角形中三線合一）
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