概率質量函數與累積分佈函數-連續

當累積分佈函數為連續函數時候, 概率質量函數 PMF 不再適用, 因此就需要用積分(概率密度函數PDF)來計算概率. 在概率中， PDF 是 CDF 的微分， CDF 是 PDF 的積分， 觀察下面以標準正態分佈為例的 PDF 與 CDF 關係動畫:

與PMF不同, 概率密度函數(Probability Density Function, PDF) f(x)與 dx的乘積約等於概率, 即 f(x) dx ≈ P(x

均勻分佈(Uniform Distribution)

連續型隨機變量 X 具有如下的概率密度函數，則稱 X 服從[a,b]上的均勻分佈（uniform distribution）,記作 X ~ U(a, b)

均勻分佈的 PDF 和 CDF 如下:

正態分佈(Normal Distribution)

正態分佈是在統計以及許多統計測試中最廣泛應用的一類分佈, 很多自然現象都服從正態分佈. 若隨機變量 X 服從一個位置參數為 μ 、尺度參數為 σ 的正態分佈，記為：X ~ N(μ, σ²)

正態分佈的數學期望值或期望值 μ 等於位置參數，決定了分佈的位置；其方差 σ²的開平方或標準差 σ 等於尺度參數，決定了分佈的幅度。觀察下面動圖:

μ=0 時, 繪製不同 σ 值的概率密度函數，同時顯示 CDF 等高線：

指數分佈(Exponential Distribution)

指數分佈可以用來表示獨立隨機事件發生的時間間隔, 比如旅客進入機場的時間間隔、打進客服中心電話的時間間隔等等. 若隨機變量 X 服從參數為 λ 的指數分佈，則記為 X~Exp(λ) . 其中 λ > 0 是分佈的一個參數, 即每單位時間發生該事件的次數. 指數分佈的區間是 [0,∞). 觀察下面指數分佈的 PDF 與 CDF 動圖:

繪製不同 λ 值(0.1~5)的概率密度函數，同時顯示 CDF 等高線, 觀察下面動畫:

伽瑪分佈(Gamma Distribution)

伽瑪分佈有兩個: 參數 α 稱為形狀參數，β 稱為尺度參數, α>0, β>0.

在 CDF 等高線下，當 α=2 時, 不同 β 值的概率密度函數, 觀察下面動畫:

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關鍵字: 數學 概率 累積