作者 | 喬治·G·斯皮羅
翻譯 | 郭婷瑋
來源 | 《數學雜談：數學世界裡的奇聞趣事》
摘要：沒有人願意排隊，包括數學家在內，不管排什麼隊都一樣。排隊這種不愉快的麻煩事，能用數學理論來解決嗎？
沒有人喜歡排隊，包括數學家在內，即便只要他們願意，他們可以把關於隊伍和排隊的專業知識應用到實際中來。排隊就是浪費時間，特別是在滑雪度假時。瑞士弗利姆斯高山度假區引進新式六人座高速纜椅，就是個恰當的例子。幾年前，這種座椅取代了1960年代生產的老舊雙人座纜椅和丁字架（一種利用纜繩運送人員上下山的簡易T形裝置）。
舊纜椅每小時的總運輸量是3450名乘客，而這個最現代化的新型纜椅每小時單程即可載運3200人——當然前提是在運作不出差錯的情況下。但在運轉的第一年，纜椅總出故障，無法實現纜椅預期的平穩運轉時的最大載荷。在新纜椅剛開始運行時，每小時最多隻能載運2700名乘客上山，不僅建造商大失所望，而且度假區的旅遊局，當然還有滑雪遊客也都很失望。
對來到這裡的滑雪者來說，不順當的開始表現排在纜椅隊伍後面的滑雪客，比能坐上纜椅的人多，結果是起點站開始排起一列隊伍，而且每分鐘都在變長。接近中午時，滑雪都必須等上30分鐘。如果這時候沒人放棄在當天剩下的時間裡上山滑雪，隊伍每小時還將增加約500人。
關於這煩人的冗長隊伍，當然有適用的數學理論。最早發展出相關數學理論的是丹麥數學家厄朗（Agner Krarup Erlang），1900年代初，他在哥本哈根電話公司工作，負責解決這類問題：需要多少線路和多少接線生，才能提供令人滿意的電話服務？在檢測可能在同一時間打入交換臺的電話數時，他發展出一個公式，可以算出所有線路同時忙線的概率。經過後來的幾次改進，厄朗的公式也能用於計算平均等候時間，而且時至今日仍然適用。例如客服中心就用以估算所需的電話線路數量。
對於不諳此道者，排隊是件很不愉快的麻煩事，不管排什麼隊都一樣。無法描述，也沒有避開排隊的好方法。喔，嗯？有好方法？每一個隊伍都一樣？當然不一樣，至少對能看出一個隊伍與另一個隊伍重要的細微差異的專家來說如此。表徵排隊的一項特性是排隊者加入隊伍的時間分佈：排入隊伍的時間是隨機且相互獨立的嗎，就像開進收費站的汽車？抑或排隊者以特定規律出現，如同旅客抵達機場安檢處，他們到達的時間取決於飛機降落的時間？
因此，排隊遠不只是一大群悲慘的人等候接受服務，排隊的一項重要特徵是隊伍紀律。在人人遵守傳統行為規範的國家裡，隊伍紀律決定了排隊者接受服務的順序。比如，根據排隊者到達順序提供服務，就像交通信號燈由紅轉綠後，汽車依序啟動一樣，但也可能以相反的順序為排隊者服務，如人們走出電梯的順序。服務於等候的排隊者還有另一種聰明方式，就是先服務那些需時最少的排隊者。這種做法可以讓所有排隊都的等候時間總和最小。
1961年，麻省理工學院營銷學教授利特爾（John D. C. Little）總結出一個數學規律，雖然看似微不足道，後來卻證明那是一個非常重要的定律，隨即以他的名字命名為利特爾定律。這個定律說明，一列隊伍中排隊的平均人數，等於他們的平均到達率乘以待在隊伍中的平均時間。若每小時有60人加入隊伍中，且服務每個人的時間為10分鐘，則平均而言隊伍中總會有10個人。這個定律的卓越之處在於，不管到達時間、服務時間和隊伍紀律發生什麼變化，定律都成立。
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既然排隊涉及人及其行為，需要考慮的變量就不只是等候時間，心理因素也在其中扮演著重要角色，而數學家多半忽略這個因素。機場是很容易觀察到這一點的地方，有兩個航站樓的蘇黎世機場就是最好的例子。第二航站樓有好幾個值機櫃臺，旅客排隊時自然會去排隊最短的那列隊伍。但如果你所排的隊伍中有一個旅客要求特殊或機票有問題，那就倒黴了，所有排在這隊伍中的人，不得不耐心等待這些費時的作業結束，與此同時，他們沮喪地看著其他隊伍迅速向前移動。
機場另一側的第一航站樓的設計則不同：排一列隊伍等候所有的值機櫃臺，結果每個旅客的平均等候時間比第二航站樓裡所需的時間短。令人意外的是，這一結論不一定會促使旅客舍棄第二航站樓（如果旅客可以自行選擇的話）。位於海法市的以色列理工學院的4位科學家分析了這個現象。他們發現多數旅客誤以為有多列隊伍的排隊系統等候時間短，但這項研究也顯示出一個矛盾：雖然感覺要等待比較久的時間，多數受訪旅客仍偏好排單列隊伍。研究者認為，這可歸因於單列隊伍的公平本質。顯而易見，公平比等候時間更重要。
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