在數學的發展過程中，形成了最簡單最常用的六類函數，即常數函數 、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數與反三角函數，這六類函數稱為基本初等函數。
一、常數函數
y = c 或 f ( x ) = c , x ∈ R ,其中 c 是常數。它的圖像是通過點 （0，c），且平行 x 軸的直線，如下圖所示：
常數函數的圖像
常數函數的性質：
1、常數函數是有界函數，週期函數（沒有最小的正週期）、偶函數；
2、常數函數既是單調增加函數又是單調減少函數，特別的當 c = 0 時，它還是奇函數 。
二、冪函數
1、形如 y = x^a 的函數是冪函數，其中 a 是實數 。
冪函數圖（1）
2、常見冪函數的圖像：
冪函數圖（2）
注：畫冪函數圖像時，先畫第一象限的部分，在根據函數奇偶性完成整個圖像。
3、冪函數的性質：
① 冪函數的圖像最多隻能同時出現在兩個象限，且不經過第四象限；如圖與座標軸相交，則交點一定是座標原點 。
② 所有冪函數在 （0，+∞）上都有定義，並且圖像都經過點 （1,1）。
③ 若 a > 0 , 冪函數圖像都經過點 （0,0）和（1,1），在第一象限內遞增；
若 a < 0 ，冪函數圖像只經過點 （1,1），在第一象限內遞減 。
三、指數函數
1、一般地，函數 y = a^x （a > 0 且 a ≠ 1）叫做指數函數，自變量 x 叫做指數，a 叫做底數，函數的定義域是 R 。
2、指數函數的圖像：
指數函數圖象
3、指數函數的性質：
① 指數函數 y = a^x （a > 0 且 a ≠ 1）的函數值恆大於零 ，定義域為 R ，值域為 （0，+∞）；
② 指數函數 y = a^x （a > 0 且 a ≠ 1）的圖像經過點 （0,1）；
③ 指數函數 y = a^x （a > 1）在 R 上遞增 ，指數函數 y = a^x （0 < a < 1）在 R 上遞減 。
四、對數函數
1、對數及其運算：
一般地，如果 a （a > 0 , a ≠ 1）的 b 次冪等於 N ，即 a^b = N，那麼 b 叫做以 a 為底 N 的對數；
記作：logaN = b , 其中 a 叫做對數的底數， N 叫做真數 。
根據對數定義可知：
① 零和負數沒有對數，真數大於零；② 1 的對數為 0 ， 即
loga1 = 0 ；③ 底的對數等於 1 ，即 logaa = 1 ；④ 對數恆等式：a^(logaN) = N 成立 。
通常以 10 為底的對數叫做常用對數，常用對數 log10N 簡記作 lgN；
以無理數 e = 2.71828 ... 為底的對數叫做自然對數，自然對數 logeN 簡記作 lnN 。
對數運算性質：如果 a > 0 , a ≠ 1 , M > 0 , N > 0 , 那麼 ：
對數運算性質圖
2、對數函數：
一般地，對數函數 y = logax （a > 0 且 a ≠ 1）就是指數函數 y = a^x （a > 0 且 a ≠ 1）的反函數。
因為指數函數 y = a^x （a > 0 且 a ≠ 1）的值域是 （0，+∞），
所以對數函數 y = logax （a > 0 且 a ≠ 1）的定義域是 （0，+∞）。
3、對數函數的圖像：
對數函數的圖像
4、對數函數 y = logax （a > 0 且 a ≠ 1）的性質：
① 對數函數 y = logax （a > 0 且 a ≠ 1）的圖像都在 y 軸的右側，定義域是 （0，+∞），值域是 R ；
② 對數函數 y = logax （a > 0 且 a ≠ 1）的圖像都經過點 （1，0）；
③ 對數函數 y = logax （a > 1）： 當 x > 1 時，y > 0 ；當 0 < x < 1 時，y < 0 ；
對數函數 y = logax （0 < a < 1）： 當 x > 1 時，y < 0 ；當 0 < x < 1 時，y > 0 。
④ 對數函數 y = logax （a > 1）在 （0.+∞）上是增函數，
對數函數 y = logax （0 < a < 1）在 （0.+∞）上是減函數 。
五、三角函數與反三角函數
1、三角函數：y = sin x , y = cos x , y = tan x , y = cot x ;
2、反三角函數 ： y = arcsin x , y = arccos x , y = arctan x , y = arccot x 。
3、三角函數的圖像：
三角函數圖像（1）
三角函數圖像（2）
4、三角函數的性質：
三角函數的性質圖
注：凡是由基本初等函數經過有限次的四則運算以及有限次的複合所生成的函數稱為初等函數。
狄利克雷函數 D（x）, 符號函數 sgn x ，整數函數 [ x ] 等都不是初等函數 。
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