一、猜證結合思想概述
解題的核心是邏輯推理，因此我們要著力研究：怎樣進行邏輯推理。
在數學上“邏輯”通常是指“思維的規律”，它不僅包括形式邏輯推理，而且包括辯證邏輯推理以及各種非形式化的邏輯推理，如形象思維、直覺思維等等。因此我們要盡力引入運動和辯證的方法，全面而深刻的學會推理。
解題是人類特別富有的智力活動，它必須遵循人類認識運動的規律。
人的基本認識過程有兩個：一是由特殊到一般；一是由一般到特殊。我們按照這兩個基本認識過程，將推理分為兩種：
1、似真推理 —— 由特殊到一般，這種推理也叫做歸納推理，這是創造性的邏輯推理。
“由特殊到特殊”或“由一般到一般”的推理，叫做類比推理。其認識過程仍包含於“由特殊到一般”這個基本認識過程之中，並且所推出的結論也是似真的，所以類比推理也是似真推理。
2、證明推理 —— 由一般到特殊的推理，叫做演繹推理，這是必然性的推理，我們把演繹推理也叫做證明推理。
我們把似真推理和證明推理，簡言為“猜想和證明” ， 數學推理總是這樣 “猜想——證明——再猜——再證”循環往復的進行的，直到問題解決或發現新問題，這就是數學推理的邏輯，由此凝聚了一個現代的解題思想——猜證結合思想。
二、數學歸納法概述
“數學歸納法”是證明與正整數有關的命題的一種方法，它的理論依據是數學歸納原理：
設 P（n）是關於正整數 n 的一個命題，如果：（1）P（1）真 ；（2）由P（k）為真的假設可推出 P（k +1）也為真，那麼 P（n）對一切正整數 n 為真 。
數學歸納法是人們以有限把握無限，通過有限次操作證明無限集合的命題。它第一次提供了證明無限集合的命題的一種確切而嚴謹的教學方法，這個方法是完全歸納法。
數學歸納法證明命題 P（n）（n ∈ N, 且 n ≥ n0）成立的一般步驟
（1）證明 P（n 0）成立 ；
（2）假設 P（k）（k ∈ N, 且 k ≥ n0）成立 ，證明 P（k + 1）也成立 。
根據 （1）和 （2），可知 P（n）對一切正整數 n （n ≥ n0）都成立 。
例題：求證：
例題圖（1）
猜證：這是 P（n）命題，用數學歸納法證明 。
第一步：當 n = 1 時 ， 1 < 2 顯然成立 ；
第二步：假設 當 n = k 時 （k > 1）
例題圖（2）
則 當 n = k + 1 時 ，
例題圖（3）
例題圖（4）
因此數學歸納法失效！若還想用數學歸納法證明，就得變換命題，使不等式的右邊與 n 有關 。
經過幾次試驗猜想，改證如下：
輔助不等式圖（5）
證法一： 先用數學歸納法證明上圖中的輔助不等式：
（1）當 n = 2 時 ， 左邊 = 1 + 1/（2^2）= 5/4 ，右邊 = 2 - （1/2）= 3/2 ，
所以左邊 < 右邊 ， 上圖中的輔助不等式成立 。
（2）假設 n = k （k ≥ 2）時
例題圖（6）
則 當 n = k + 1 時
例題圖（7）
即上圖中的輔助不等式也成立。
由 （1）和 （2），可知上圖中的輔助不等式成立 。
又因為 2 - 1/n < 2 , 且 當 n = 1 時原不等式為 1 < 2 顯然成立，所以
例題圖（8）
得證 。
注：P（n）命題不一定都必須用數學歸納法證明，給出證法二——列項相消放縮法！
證法二、列項相消放縮法
例題圖（9）
注：（1）當數學歸納法失效時，可引進輔助命題，再用數學歸納法；
（2）本題不宜使用數學歸納法，用列項法最為簡捷。
解題時注意依據問題的特點，選擇最快最好的方法。
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