劉方劍（浙江省江山市上餘初中）
摘要：在近幾年的中考試題中，出現了很多以定義新概念為背景的創新題型，從最初的選擇題、填空題形式，到現在的解答題，大有愈演愈烈之勢，應引起我們的高度關注．新概念問題考查的是學生多方面的能力，對思維的要求極高，關注此類問題，將會極大提升教學質量．
關鍵詞：新概念問題；激發興趣；建構模型；動手實踐
新概念問題是指即時定義學生從未接觸過的新概念、新運算、新法則等，要求學生在解題時，能夠運用已掌握的知識和方法理解新概念，做到化生為熟，現學現用．隨著《義務教育數學課程標準（2011年版）》的深入實施，提供新材料，創設新情境，提出新問題已成為中考試題設計的新特點．新概念問題應運而生，在近幾年各地中考試題中頻頻出現，從最初的選擇題、填空題形式，到現在的解答題，大有愈演愈烈之勢，應引起我們的關注．筆者通過對近幾年浙江省各地中考試題的研究，採擷幾例鮮活、精彩的新概念中考試題，與大家一起分享新概念問題的魅力．
一、搭建問題“支架”，激發學習興趣
根據歐共體“遠距離教育與訓練項目”的有關文件，支架式教學被定義為，支架式教學應當為學習者建構對知識的理解提供一種概念框架．這種框架中的概念是為了發展學習者對問題的進一步理解所需要的，為此，事先要把複雜的學習任務加以分解，以便於把學習者的理解逐步引向深入．很顯然，這種教學思想來源於前蘇聯著名心理學家維果斯基的“最近發展區”理論．教師在課堂上引導學生解決新概念問題時，有時常常因為概念的新，導致學生對新概念理解不透，運用不熟，從而使學生產生畏難情緒，動搖學習信心．此時，教師要果斷給學生搭建解決問題的“支架”，把複雜的學習任務加以分解，使學生對問題的理解樹立起信心，從而激發起學生強烈的學習興趣．
例1 （2013年寧波卷）若一個四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形，我們把這條對角線叫做這個四邊形的和諧線，這個四邊形叫做和諧四邊形．如菱形就是和諧四邊形．
（1）如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120o，∠C=75o，BD平分∠ABC．求證：BD是梯形ABCD的和諧線；
（2）如圖2，在12×16網格圖上（每個小正方形的邊長為1）有一個扇形BAC，點A，B，C均在格點上，在下面給出的兩個網格圖上各找出一個點D，使得以A，B，C，D四點為頂點的四邊形的兩條對角線都是和諧線，並畫出相應的和諧四邊形；
（3）在四邊形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90o，AC是四邊形ABCD的和諧線，求∠BCD的度數．
筆者讓學生以小組為單位自主探究、合作交流，自己在各小組之間進行巡視指導.結果發現，探究第（1）小題時，學生基本上都能順利求證出結果；探究第（2）小題時，有少數學生出現困難，信心開始動搖；探究第（3）小題時，大多數學生失去了信心，要麼畫不出圖形，要麼畫出圖形也無力求出∠BCD的度數．因此，在另外一個班教學時，筆者改變了教學策略，設計瞭如下類似的新概念問題給學生搭建支架，結果調動起了學生強烈的學習積極性．
因為2（4+4）=4×4，
所以N(4，4)是和諧點．
（2）當a＞0時，
因為P（a，3）為和諧點，
所以2（a+3）=3a .
解得a=6 .
所以P(6，3) ．
因為點P在直線y=-x+b上，
所以3= -6+b.
解得b=9.
當a＜0時，因為P（a，3）為和諧點，
所以2（-a+3）= -3a .
解得a=-6.
所以P(-6，3)．
因為點P在直線y=-x+b上，
所以3= -（-6）+b.
解得b= -3．
所以a=6，b=9或a=-6，b=-3 ．
因為BD平分∠ABC，
所以∠ABD=∠DBC=30°.
所以∠ABD=∠ADB=30°.
所以△ADB是等腰三角形．
在△BCD中，∠C=75°，∠DBC=30°，
所以∠BDC=∠C=75°.
所以△BCD為等腰三角形.
所以BD是梯形ABCD的和諧線．
（2）由題意作圖如下：如圖4，圖5所示．
解答第（3）小題時，雖然有部分學生在分類討論中遺漏了第三種情況，但沒有學生失去信心，在教師的啟發、引導、幫助下，最後他們都順利完成任務，體會到成功的喜悅，感受到學習的樂趣，教學效果有顯著提高．
二、建構幾何模型，巧妙化難為易
《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出，在數學課程中，應當注重發展學生的數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想．重視學生已有的學習經驗，使學生體驗到從實際問題中建構數學模型，利用方程（組）、不等式、函數等工具，突破難點，解決問題．
例3 （2012年臺州卷）定義：P，Q分別是兩條線段a和b上任意一點，線段PQ長度的最小值叫做線段a與線段b的距離．已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角座標系中四點．
（1）根據上述定義，當m=2，n=2時，如圖9，線段BC與線段OA的距離是 _________ ，當m=5，n=2時，如圖10，線段BC與線段OA的距離（即線段AB長）為 _________ ；
（2）如圖11，點B落在圓心為點A，半徑為2的圓上，線段BC與線段OA的距離記為d，求d關於m的函數解析式．
（3）當m的值變化時，動線段BC與線段OA的距離始終為2，線段BC的中點為點M，
①求出點M隨線段BC運動所圍成的封閉圖形的周長.
②點D的座標為D（0，2），m≥0，n≥0，作MN⊥Ox，垂足為點H，是否存在m的值使以A，M，H三點為頂點的三角形與△AOD相似？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．
這是一道以定義新概念“線段與線段的距離”為背景的中考壓軸題，設計新穎，構思獨特．綜觀近四年浙江省台州市中考試題，壓軸題均以新概念為背景設計，從2011年定義新概念“拋物線的伴隨直線”，到2012年定義“線段與線段的距離” ，再到2013年定義“好玩三角形”，到2014年定義“等角六邊形”．可見，新概念問題已成為近年來各地中考試題設計的熱點．這樣的試題，不僅可以考查學生對一些基本的、重要的數學知識的掌握程度，而且可以考查一些重要的數學思想
，如數形結合思想、分類討論思想、建模思想等．三、動手操作實踐，感受問題魅力
《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出，認真聽講，積極思考，動手實踐，自主探索，合作交流，是學習數學的重要方式．現代教育也認為，動手操作實踐有利於學生建構知識表象、探究問題和掌握知識形成過程．因此，教師在課堂教學中解決的新概念問題，可以讓學生通過自己的操作、觀察、比較、交流、評價等實踐活動，親身經歷問題的解決過程．
例4 （2014年寧波卷）課本的作業題中有這樣一道題：把一張頂角為36o的等腰三角形紙片剪兩刀，分成3張小紙片，使每張紙片都是等腰三角形，你能辦到嗎？畫示意圖說明剪法．
我們有多種剪法，圖16是其中的一種方法.
新概念問題考查的知識來源於教材，但知識技能的運用卻在原有知識經驗的基礎上得到進一步提升．在新概念問題中設計動手操作實踐活動，一方面能增強學生的主動參與意識，使學生在課堂實踐中學會合作；另一方面，通過課堂實踐活動，使得原來教師難講，學生難懂的抽象問題變得直觀易懂，師生共同領略到新概念問題的魅力．
新概念問題，是近幾年中考數學命題的一大亮點，應引起我們的高度關注．利用新概念為背景設計中考試題，可以考查學生即時掌握新概念，運用新概念、新性質迅速解決實際問題的能力，符合時代要求，順應社會發展．關注新概念問題，準確把握中考命題趨勢，對提高數學教學質量將會得到事半功倍的效果．
參考文獻：
[1]中華人民共和國教育部制定．義務教育數學課程標（2011年版）[M]．北京：北京師範大學出版社，2012．
[2] 王學先．2013年中考數學試題分類解析：數與代數[J]．中國數學教育（初中版），2014（1/2）：43-62．
[3]王華．關注概念形成 ，激活學生思維：“方差與標準差”概念形成過程的兩次教學設計[J]．中國數學教育（初中版），2014（3）：36-40．
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