秦九韶（1208—1268），字道古，四川普州（今安嶽）人，嘉定元年（1208）春誕生在普州，紹定二年（1229）十月，秦九韶擢郪縣縣尉，紹定四年（1231）八月，秦九韶參與魏了翁平抑瀘州蠻夷，葺其城樓櫓雉堞，紹定五年（1232）八月乙丑進士，紹定六年，秦九韶在魏了翁帶領吳潛等督視潼川府路、成都府路時認識吳潛，魏了翁和吳潛同秦九韶去拜望病中的許奕。端平三年（1236）一月，秦九韶擢升湖北蘄州（今湖北蘄春縣）通判，嘉熙元年（1237）年秋，秦九韶知和州（今安徽和縣）。嘉熙二年（1238），秦九韶回臨安丁父憂，秦九韶在杭州丁父憂期中，發現西溪兩岸的群眾過河很不方便，在西溪上設計修建一座橋，名“西溪橋”，數學家朱世傑為紀念秦九韶，將橋命名為“道古橋”。嘉熙三年（1239），秦九韶在杭州處理完父親的後事之後，便和母親、妻子回到湖州西門外父親早年備置的宅第，繼續丁父憂。秦九韶在湖州丁父憂期中，與知慶元府（浙江寧波）吳潛交尤稔，著手改建父親備置的住宅。淳祐三年六月，吳潛回湖州丁母憂，秦九韶與被奪官的吳潛交往更是密切。淳祐四年（1244），秦九韶以通直郎出任建康（南京）府通判，十一月，秦九韶丁母憂，解官離任，回湖州為近八旬的母親守靈，將潛心研究、用於實踐中的數學成果，著書《數學大略》。此時，吳潛也在湖州丁母憂，兩人交往甚猶。淳祐八年（1248），《數學大略》得薦於朝。淳祐九年（1249），目錄學家陳振孫，在編書目時向秦九韶請教，淳祐十年年（1250），秦九韶卸任建康通判，出任蘇州州守。寶祐二年（1254），九韶出任江寧（江蘇南京）府知府、沿江制置司參議官，管理江南十府糧道，寶祐四年去職。寶祐六年（1258），秦九韶由賈似道薦於李曾伯為瓊州守，凡數月去之。開慶元年（1259）十月，吳潛第二次入相，秦九韶有江東（江蘇南京）議幕之除。又除司農丞前去平江（府治在今蘇州市）措置米餫，俱以事罷。景定元年（1260），秦九韶知臨江軍（江西清江縣西臨江鎮，南宋為臨江軍，轄清江、新喻、等縣）。景定二年（1261）六月，秦九韶廣東梅州知軍州事。鹹淳四年（1268）二月，秦九韶在梅州治政近六年左右，得知朝廷為吳潛追復爵祿，了卻心中惦念的沉冤，在梅州辭世，時年六十一歲。
秦九韶的少年時代
一、秦九韶出生在南宋朝廷的一個宦官家庭
秦九韶出生在南宋的一個宦官家庭，父秦季槱，字宏父，普州人，紹熙四年（1193），與喬行簡、崔與之、陳亮等同年登進士第。慶元三年（1197）丁乙，秦季槱接替宇文子震出知潼川府，嘉泰四年（1204）癸亥，秦季槱回普州丁父憂，楊輔接替秦季槱知潼川府，開禧三年（1207）仲冬，秦季槱丁父憂除，奉詔回朝廷，任秘書省秘閣。嘉定五年（1212）六月，秦季槱接替劉光祖知巴州，很有可能，秦季槱此時才將母親、妻子和秦九韶接到巴州團聚。嘉定十二年三月乙亥，興元軍士權興等作亂，秦季槱守巴州失陷，他才和母親、妻子、秦九韶回到臨安。嘉定十五年後，擢升工部郎中、秘書少監兼國史院編修官、實錄檢討官、直顯謨閣，寶慶元年六月，以直顯謨閣知潼川府，紹定二年五月（1229），秦季槱以顯謨閣奉祠臨安府，許奕除寶謨閣直學士知潼川府。嘉熙二年（1238），秦季槱在臨安辭世。
二、九韶“早歲侍親中都，因得訪習於太史”的學習生活
秦季槱回朝廷相繼做了工部郎中和秘書少監，給秦九韶提供了良好的學習環境。秦九韶充分利用父親掌管天下城郭、宮室、舟車、器械、符印、錢幣、山澤、苑囿、河渠之政、營造工程、皇家古今經籍圖書、國史實錄、天文歷數之事等有利條件和機會，集中精力，向‘太史局的吳澤、靳大聲、楊忠輔、劉孝榮等有學識的太史、官吏、學者學習，使之成為博學多能的青年學者。”
秦季槱三位同庚（同生於淳熙五年，即1178年）、同年登進士甲科的摯友許奕、魏了翁、真德秀，既是南宋敢於直面朝廷腐敗，敢於抨擊史彌遠、賈似道等奸臣，主戰抗擊外來入侵的忠臣，又學識淵博，秦季槱比許奕、真德秀、魏了翁早六年入士及第，論年齡為長。他們四人同時立朝，政治傾向相同，都忠臣良相，有著特殊的四方關係，還是秦九韶的長者，秦季槱必然會恭請摯友為子師，督促秦九韶虛心向他們學習淵博精深的知識，三位長者對秦九韶的關心、呵護自然是不言而喻，且魏了翁，“少長，英悟絕出，日誦千餘言，過目不再覽,鄉里稱為神童。年十五，著韓愈論，抑揚頓挫，有作者風”。秦九韶年少“不閒於藝，因得訪於太史，又嘗從隱君子受數學”、“性極機巧，星象、音律、算術以至營造等事，無不精究”，兩人少時天賦、性格極其相似，魏了翁必然更是喜歡和器重秦九韶，做他的良師益友。聰慧好學的秦九韶，不僅潛心向真德秀、魏了翁、許奕學習詩詞、天文、祭祀、曆法等知識，十分崇敬他們的剛直不阿的道德情操，學習他們對國事的忠悃，對奸臣的憤激。
秦九韶虛心向葉適學習哲學、文學、政論，尤其是葉適“強調‘道’存在於事物本身之中，‘物之所在，道則在焉’。提倡對事實作實際考察：‘夫與折衷天下之義理，必盡考詳天下之事物而後不謬’”等思想對秦九韶影響很深(37)。數年後，秦九韶“數數之傳，以實為體”(38)的論斷經典，應該說是受葉適“夫與折衷天下之義理，必盡考詳天下之事物而後不謬”思想的極大影響。或許就是葉適“‘道’存在於事物本身之中，‘物之所在，道則在焉’”這一哲學思想在數學上的演進。同時，秦九韶還虛心向楊簡學習詩詞、曆法和哲學思想，尤其是“心即是道，宇宙的變化即人心的變化過程，以明心為修養之本”等哲學思想體悟很深。
秦九韶還拜李梅亭為師，學習駢儷、詩詞、遊戲、毬馬、弓劍，後來李劉與秦九韶成為朋友，經常有來往。
秦九韶的數學啟蒙之師是隱君子陳元靚。紹定三年之前，陳元靚已經有癮君子之稱，他和朱鑑等一起在臨安的機會最多，他看的書極多，尤其是新書，對數學很有研究，到過文化發達的城市，居處距臨安不遠，去臨安不是很困難，秦九韶拜師向他學習數學就是情理之中的事情，“朱熹、陳元靚都是道學家，或者說對秦九韶有影響，秦認為‘數與道非二本’的‘道’可能是通過癮君子陳元靚學來的。
應該說：秦九韶隨父親在臨安期間的數年間，已經把全部精力用在學習上。他正是這樣通過向多方面的人學習，才逐漸成為一名學識廣博的青年學者。
秦九韶的數學成就
宋理宗淳祐四年（1244年），十一月，秦九韶解官建康通判，回湖州丁母憂，一邊為母親守靈，一邊把自己幾十年勤奮學習、苦心鑽研、實踐、總結的數學成就結晶，精選出來的較有代表性的81個問題，分為9類，每類9題，成18卷，淳祐七年，世界最高水平的數學名著《數書九章》成書。
秦九韶在數學上的主要成就是系統地總結和發展了高次方程數值解法和一次同餘組解法，提出了相當完備的“正負開方術”和“大衍求一術”，達到了當時世界數學的最高水平．
秦九韶在前人工作的基礎上，提出一套完整的利用隨乘隨加逐步求出高次方程正根的程序，亦稱“正負開方術”，現稱秦九韶法．
這也是“增乘開方法”的主要特點。有人說，計算機發明以後，解方程變得有趣了．確實是這樣，秦九韶的高次方程數值解法，可以毫無困難地轉化為計算機程序。在《數書九章》中，秦九韶列舉了20多個解方程問題，次數最高達10次．除一般方法外，還討論了“投胎”、“換骨”、“玲瓏”、“同體連枝”等特 殊情形，並將其廣泛應用於面積、體積、測量等方面的實際問題．在西方，關於高次方程數值解法的探討，經歷了漫長的歷史過程，直到1840年，意大利數學家P．魯菲尼(Ruffini，1765-1822)才創立了一種逐次近似法解決數字高次方程無理數根的近似值問題，而1819年英國數學家W．G．霍納(Horner，1786—1837)在英國皇家學會發表的論文“用連續逼近法解任何次數字方程的新方法”中，才提出與增乘開方法演算步驟相同的算法，後被稱為“霍納法”．秦九韶的成就要比魯菲尼和霍納早五六百年。
秦九韶對於一次同餘組解法的理論概括，是他在數學史上的另一傑出貢獻．中算家對於一次同餘式問題解法的研究是適應天文學家推算上元積年的需要而產生的．最早見於記載的一次同餘問題是《孫子算經》中的“物不知數問題”(亦稱“孫子問題”)：“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾有何？”這相當於求解一次同餘組。
秦九韶的大衍求一術與他的高次方程數值解法一樣，簡潔、明確、帶有很強的機械性，其程序亦可毫無因難地轉化為算法語言，用計算機來實現．在《數書九章》中，秦九韶通過大量例題，如“古歷會積”、“治歷演紀”“積尺尋源”、“推計土功”、“程行計地”等等，展示了大衍求一術在解決曆法、工程、賦役和軍旅等實際問題中的廣泛應用．由於在許多問題中，模數Ai並非兩兩互素，而中國傳統數學沒有素數概念，所以將模數化為兩兩互素是相當困難的問題．秦九韶所設計的將模數比為兩兩互素的算法，儘管還不完善，但仍比較成功地解決了這一難題，有人稱之為“沒有素數的素數論”。綜觀他在求解一次同餘組問題的各項成就，正如中科院研究員李文林、袁向東所說：“所有這些系統的理論，周密的考慮，即使以今天的眼光看來也很不簡單，充分顯示了秦九韶高超的數學水平和計算技巧。”在西方，最早接觸一次同餘式的是意大利數學家L．斐波那契(Fibonacci，約1170-1250)．他在《算盤書》中給出了兩個一次同餘問題，但沒有一般算法．直到18—19世紀，L．歐拉(Euler，1743)、G．F．高斯(Gauss，1801)才對一次同餘組進行深入研究，重新獲得與中國剩餘定理相同的定理，並對模數兩兩互素的情形給出了嚴格證明。1852年，英國傳教士、漢學家偉烈亞力(A．Wylie，1815-1887)發表《中國數學科學札記》(Jottings on the science of Chinese arithmetic)，其中談到了大衍求一術．從1856年到1876年，德國人L．馬蒂生(Matthiessen，1830-1906)等西方學者又多次指出大衍求一術原理與高斯方法的一致性，從而更加引起了歐洲學者的矚目．德國著名數學史家M．康托爾(Cantor，1829-1920)高度評價了大衍求一術，他稱讚發現這一算法的中國數學家是“最幸運的天才”。從此，中國古代數學的這一創造逐漸受到世界學者的矚目，並在西方數學史著作中正式被稱為“中國剩餘定理”。《數書九章》中，除了前面提到的大衍求一術和正負開方術兩項重要成就外，還記載了不少其他方面的成就．例如，他改進了線性方程組的解法，普遍應用互乘相消法代替傳統的直除法，已同今天所用的方法完全一致；在開方中，他發展了劉徽開方不盡求微數的思想，最早使用十進小數來表示無理根的近似值；他對於《九章算術》和《海島算經》的勾股測量術也多所闡發；他在幾何方面的另一項傑出成果是“三斜求積術”，即已知三角形三邊之長求其面積的公式。
《數書九章》的內容非常豐富，我們不僅可以找到數學和天文曆法乃至雨雪量等方面的珍貴資料，而且還可以從中瞭解到南宋時期戶口增長、耕地擴展、賦稅、利貸、度量衡以及貨幣流通、海外貿易等等社會經濟領域的真實情況。
秦九韶的哲學思想和數學思想
關於秦九韶的哲學思想和數學思想，顯然與宋代儒學中的道學學派一致。他明確指出“數與道非二本也”，再加上數學實踐的切身體會，使他對於數學的重要性產生了較為清楚的認識。秦九韶高度評價數學的作用，反對輕賤數學的世俗看法。他說，數學研究“大則可以通神明，順性命；小則可以經世務，類萬物，詎容以淺近窺哉！” 秦九韶將數學的應用概括為大、小兩個方面，實際上繼承了中國傳統數學思想關於數學的作用的論述。然而，秦九韶通過自己的數學研究實踐，認識到“所謂通神明，順性命，固膚末於見”，而將自己的才智專注於“經世務，類萬物”的“小者”上，十分重視和注意搜求天文曆法、生產、生活、商業貿易以及軍事活動中的數學問題，“設為問答，以擬於用”，盡力滿足社會實踐的需要，並告誡人們要學好數學，精於計算，以避免由於計算錯誤而引起的“財蠹力傷”等等不良後果。古今中外，許多人為文做事，尤其是在“神明”、“性命”這類問題上，常常不懂裝懂，自欺欺人。秦九韶與此相反，坦誠地承認自己對“大者”的體會十分膚淺。在中國古代大數學家中，只有秦九韶在對數學的作用的認識上如此坦率，反映了他具有不慕虛榮、實事求是，“知之為知之，不知為不知”的科學精神。
《數書九章序》還集中體現了秦九韶關心國計民生，體察民間疾苦，反對政府和豪強的橫徵暴斂，主張施仁政，秦九韶恪守傳統道德的恕道，將自心比人心，認為下層受欺壓、盤剝的民眾需要仁政，就像自己溺水需要救援,自己飢餓需要吃東西一樣緊迫。同時，秦九韶不甘寂寞，在國難當頭與亂世之中，在政治腐敗、黑暗之時，不去避世免禍，而是企圖通過“嗜進謀身”，以自己的知識為社會服務，他主張抗金、抗蒙，站在董槐、魏了翁、喬行簡、崔與之、吳潛等抗戰派一邊，為抗金、抗蒙戰爭效力。尤其是深深捲入了統治集團的內部鬥爭，在投降派賈似道與吳潛的鬥爭中，他屬於抗戰派吳潛的營壘，引起了賈似道、劉克莊、周密輩的嫉恨，被吳潛冤案株連，遭到詆譭，貶逐；劉克莊、周密的文字又流傳到後世，人們不察，鑄成了千古奇冤。現在是該將被顛倒的秦九韶的形象顛倒過來的時候了。
總之，秦九韶是一位既重視理論又重視實踐，既善於繼承又勇於創新，既關心國計民生，體察民間疾苦，主張施仁政，又是支持和參與抗金、抗蒙戰爭的世界著名南宋數學家。他所提出的大衍求一術和正負開方術及其名著《數書九章》，是中國數學史、乃至世界數學史上光彩奪目的一頁，對後世數學發展產生了廣泛的影響。清代著名數學家陸心源（1834－1894）稱讚說：“秦九韶能於舉世不談算法之時，講求絕學，不可謂非豪傑之士。” 德國著名數學史家M．康托爾(Cantor，1829-1920)高度評價了大衍求一術，他稱讚發現這一算法的中國數學家是“最幸運的天才”。美國著名科學史家薩頓(G•Sarton，1884－1956)說過，秦九韶是“他那個民族，他那個時代，並且確實也是所有時代最偉大的數學家之一”。
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