全等三角形問題中最主要的是構造全等三角形，構造二條邊之間的相等，構造二個角之間的相等，本節來介紹下在全等三角形中常見的幾種
輔助線的作法：圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。
線段垂直平分線，常向兩端把線連。
線段計算和與差，巧用截長補短法。
三角形裡有中線，延長中線至兩倍。
在作輔助線的時候要注意以下兩點：
①在原圖形中作輔助線要用“虛線” ；②在證明過程中要描述添加方法 。
一、用角平分線的性質構造全等
例1、如圖,在梯形 ABCD 中, ∠A= ∠D =90°, BE、CE 分別是∠B 和 ∠C 的角平分線 。
求證：BC= AB + CD。
例題1圖
證明：過點 E 作 EF⊥BC ，垂足為點 F
∵ BE 是 ∠B 的角平分線 ，∠EFB = ∠A = 90°
∴ EF = AE
在 △EFB 和 △EAB 中
∵ ∠EFB = ∠A = 90° ，EF = AE ，EB = EB
∴ △EFB ≌ △EAB （HL）
∴ BF = BA
同理可證 ： CF = CD
∴ BC = CF + BF = AB + CD
二、連接法
例題2、如圖,在五邊形 ABCDE中，點 M 是 CD 的中點， AB = AE , BC = ED ， AM⊥CD 。
求證：∠B = ∠E 。
例題2圖
證明：連接 AC ， AD
∵ 點 M 是 CD 的中點 ，AM⊥CD
∴ AC = AD
在 △ABC 和 △AED 中
∵ AB = AE , BC = ED，AC = AD
∴ △ABC ≌ △AED （SSS）
∴ ∠B = ∠E
三、用“截長法”或“補短法”構造全等三角形
例題3、如圖，在△ABC中， AD是∠BAC的角平分線， ∠C = 2∠B 。
求證：AB = AC + CD 。
例題3圖
證明：
方法一、截長法
在線段 AB 上取點 E ， 使得 AE = AC , 連接 ED
∵ AD是∠BAC的角平分線
∴ ∠EAD = ∠CAD
在 △EAD 和 △CAD 中
∵ AE = AC , ∠EAD = ∠CAD ，AD = AD
∴ △EAD ≌ △CAD
∴ ED = CD , ∠AED = ∠ACD
又 ∵ ∠AED = ∠B + ∠EDB （三角形外角和定理），∠ACD = 2∠B
∴ ∠B + ∠EDB = 2∠B （等量代換）
∴ ∠B = ∠EDB
∴ BE = ED （等角對等邊）
又∵AB = AE + EB
∴ AB = AC + CD （等量代換）
方法二、補短法
延長線段 AC 至點 F ，使 CF = CD ，連接 DF
略證：
由 ∠ACB = 2∠B = ∠CDF + ∠F ， ∠CDF = ∠F
可得 ∠B = ∠F
在證 △ABD ≌ △AFD （AAS）
可得 AB = AF
而 AF = AC + CF = AC + CD
即證 AB = AC + CD
注：遇到有二條線段長之和等於第三條線段的長，常用此方法 。
四、倍長中線法構造全等三角形
例題4、如圖，在 △ABC 中， AD是線段 BC 邊上的中線 。
求證 ： AD < 1/2 ( AB + AC ) 。
例題4圖
證明：延長 AD 到點 E，使 DE= AD，連結CE
∵ AD是線段 BC 邊上的中線
∴ BD = CD
在 △ADB 和 △EDC 中
∵ BD = CD ，∠BDA = ∠CDE ，AD = ED
∴ △ADB ≌ △EDC （SAS）
∴ AB = EC
在 △AEC 中
∵ EC + AC > AE （三角形中兩邊之和大於第三邊）
又∵ AE = 2AD
∴ AB + AC > 2AD
即證 ： AD < 1/2 ( AB + AC )
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