清新小豹紋
哥德爾是奧地利裔美國著名數學家，不完備性定理是他在1931年提出來的。這一理論使數學基礎研究發生了劃時代的變化，更是現代邏輯史上很重要的一座里程碑。該定理與塔爾斯基的形式語言的真理論，圖靈機和判定問題，被讚譽為現代邏輯科學在哲學方面的三大成果。哥德爾證明了任何一個形式系統，只要包括了簡單的初等數論描述，而且是自洽的，它必定包含某些系統內所允許的方法既不能證明真也不能證偽的命題。
第一定理
任意一個包含一階謂詞邏輯與初等數論的形式系統，都存在一個命題，它在這個系統中既不能被證明為真，也不能被證明為否。
第二定理
如果系統S含有初等數論，當S無矛盾時，它的無矛盾性不可能在S內證明。
20世紀20年代，在集合論不斷髮展的基礎上，大數學家希爾伯特向全世界的數學家拋出了個宏偉計劃，其大意是建立一組公理體系，使一切數學命題原則上都可由此經有限步推定真偽，這叫做公理體系的“完備性”；希爾伯特還要求公理體系保持“獨立性”（即所有公理都是互相獨立的，使公理系統儘可能的簡潔）和“無矛盾性”（即相容性，不能從公理系統導出矛盾）。
值得指出的是，希爾伯特所說的公理不是我們通常認為的公理，而是經過了徹底的形式化。他們存在於一門叫做元數學的分支中。元數學與一般數學理論的關係有點像計算機中應用程序和普通文件的關係。
希爾伯特的計劃也確實有一定的進展，幾乎全世界的數學家都樂觀地看著數學大廈即將竣工。正當一切都越來越明朗之際，突然一聲晴天霹靂。1931年，在希爾伯特提出計劃不到3年，年輕的哥德爾就使希爾伯特的夢想變成了令人沮喪的噩夢。哥德爾證明：任何無矛盾的公理體系，只要包含初等算術的陳述，則必定存在一個不可判定命題，用這組公理不能判定其真假。也就是說，“無矛盾”和“完備”是不能同時滿足的！這便是聞名於世的哥德爾不完全性定理。
哥德爾不完全性定理一舉粉碎了數學家兩千年來的信念。他告訴我們，真與可證是兩個概念。可證的一定是真的，但真的不一定可證。某種意義上，悖論的陰影將永遠伴隨著我們。無怪乎大數學家外爾發出這樣的感嘆：“上帝是存在的，因為數學無疑是相容的；魔鬼也是存在的，因為我們不能證明這種相容性。”
但是哥德爾不完全性定理的影響遠遠超出了數學的範圍。它不僅使數學、邏輯學發生革命性的變化，引發了許多富有挑戰性的問題，而且還涉及哲學、語言學和計算機科學，甚至宇宙學。2002年8月17日，著名宇宙學家霍金在北京舉行的國際弦理論會議上發表了題為《哥德爾與M理論》的報告，認為建立一個單一的描述宇宙的大統一理論是不太可能的，這一推測也正是基於哥德爾不完全性定理。
有意思的是，在現今十分熱門的人工智能領域，哥德爾不完全性定理是否適用也成為了人們議論的焦點。1961年，牛津大學的哲學家盧卡斯提出，根據哥德爾不完全性定理，機器不可能具有人的心智。他的觀點激起了很多人反對。他們認為，哥德爾不完全性定理與機器有無心智其實沒有關係，但哥德爾不完全性定理對人的限制，同樣也適用於機器倒是事實。
哥德爾不完全性定理的影響如此之廣泛，難怪哥德爾會被看作當代最有影響力的智慧巨人之一，受到人們的永恆懷念。美國《時代》雜誌曾評選出20世紀100個最偉大的人物，在數學家中，排在第一的就是哥德爾。
我曾經因為哥德爾而寫過一個哲理短篇。分享給大家。
我給你答案
——靈遁者
你如何證明自己是個男人？你如何證明自己是個女人？這個乍一聽，是個很傻的提問。但很多很傻的問題，引出了很多不可思議的的理論。
正如牛頓問：“蘋果為什麼是向下落的？”愛因斯坦問：“如果我能以光速運動，看待周圍的事物，會發生什麼呢？”魏格納躺在床上問：“世界地圖的輪廓怎麼那麼相像？”
所以當一個人在生活中提出了一個看似很傻的問題，請大家不要噴，對他要寬容。
你如何證明自己是個男人或者女人？是個邏輯問題。倘若世界上只有男人，你如果證明自己就是男人。
偉大的數學家哥德爾給出了答案。男人要想證明自己是男人，不能從男人本身【本身這個系統】來證明，是從女人出發。
今天我想跟大家聊聊哥德爾。美國《時代》雜誌曾評選出20世紀100個最偉大的人物，在數學家中，排在第一的不是別人，就是哥德爾！
哥德爾以其驚人的才智，提出了哥德爾不完備性定理。而哥德爾不完備性定理的影響遠遠超出了數學的範圍。它不僅使數學、邏輯學發生革命性的變化，引發了許多富有挑戰性的問題，而且還涉及哲學、語言學和計算機科學，甚至宇宙學。
哥德爾定律的基本表述為：第一不完備性定理
任意一個包含一階謂詞邏輯與初等數論的形式系統，都存在一個命題，它在這個系統中既不能被證明為真，也不能被證明為否。
第二不完備性定理
如果系統S含有初等數論，當S無矛盾時，它的無矛盾性不可能在S內證明。
就是這樣簡單的語句，它的威力卻讓很多數學家嘆息。哥德爾讓大數學家希伯特的“公理完備性”計劃徹底流產。悖論的陰影將永遠伴隨著我們。無怪乎大數學家外爾發出這樣的感嘆：“上帝是存在的，因為數學無疑是相容的；魔鬼也是存在的，因為我們不能證明這種相容性。”
可能看到這裡，不熟悉的人，並沒有意識到哥德爾不完備性定理的魅力。
吃瓜群眾的困惑，和當年羅素的困惑是一樣的。比如有這樣一句話，讓你判斷真假。“我的這句話是假的。” 你會怎麼判斷？ 這就是說謊者悖論。提出者是西元前6世紀克里特哲學家埃庇米尼得斯。
即使過了幾千年，這句話依然困擾者很多智者。羅素就是其中一位。他在《我的哲學的發展》第七章《數學原理》裡說道：“自亞里士多德以來，無論哪一個學派的邏輯學家，從他們所公認的前提中似乎都可以推出一些矛盾來。這表明有些東西是有毛病的，但是指不出糾正的方法是什麼。在1903年的春季，其中一種矛盾的發現把我正在享受的那種邏輯蜜月打斷了。”
有趣的是羅素也提出了一個羅素悖論。說的是有個理髮師，他的廣告詞是這樣：“本人的理髮技藝十分高超。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對各位表示歡迎！”
我們的問題是：“理髮師應該給自己刮臉嗎？”“包含一切集合的集合存在嗎？”這些看似奇怪的問題，折磨了我們幾千年。
直到哥德爾出現，問題才有了答案。答案是——不能證明！也就是說包含一切集合的集合的存在證明，不能給出！ 但哥德爾證明了，不能給出！
很多時候，我們遇到問題，總會歇斯底里道：“到底能不能，你給我答案！你證明給我看！”現在我們終於可以長長的出一口氣，讓自己放鬆下來。
寫到這裡，我有個疑問，不知道哥德爾是否受到過維特根斯坦的啟發。維特根斯坦也是一位偉大的邏輯學家，哲學家。曾是羅素的學生。哥德爾和愛因斯坦是好朋友。羅素又認識愛因斯坦，會有一起討論的時間。所以我才會有這樣的疑問。
而且非常巧合。我查詢他們出生的日期。羅素比他的學生維特根斯坦大17歲。而維特根斯坦又比哥德爾大17歲。
我之所以將兩個人聯繫起來，是因為維特根斯坦有句非常著名的名言：“對於可說的，我們說。對於不可說的，我們要保持沉默。”
其潛在的邏輯是——有些問題是可以證明的，有些是不可以證明。在維特根斯坦的《邏輯哲學論》中，尤其提到倫理問題是我們應該保持沉默的。
維特根斯坦這句名言，在我看來甚至可以稱之為：“維特根斯坦定理。” 那麼何謂沉默？什麼時候應該沉默？
維特根斯坦認為當對象是無法言說之物時應保持沉默。比如一個簡短的哲學理論，雖然只有短短几個字，但即使用成千上萬的字去解釋它，也難以把它說個透徹和明晰。
因為往往在這個時候，人們心裡雖然對它有個瞭解，但無從尋找合適的字眼去把這個理論解釋到自己心中所想的程度，才導致沒有辦法把這個理論清楚地解釋出來。如談論人生和理想這類的事物，即使口若懸河，也難以說個明白、道個清楚。每個人的思想各異，導致不同的人對事物的理解也不盡相同，因此對“人生”或者“理想”的暢談也將各式各樣，沒有一個準確、統一、清楚的答案。 這就是為什麼，遇到倫理問題，維特根斯坦總是閉口不言。
不知道大家意識到沒有，維特根斯坦的這種表述和哥德爾定理暗合，一點也不排斥。所以我覺得兩個偉大的人在這個問題上是“心有靈犀。”
從哥德爾提出哥德爾不完備性定理，再往前推幾年，還有海森堡提出的“海森堡不確定性原理。”該原理指出在描述微觀粒子運動時候，我們無法同時得到粒子的準確位置和速度。
“海森堡不確定性原理”和“波爾互補原理”構建了量子力學的基本支柱。細細思考，這兩大定理與哥德爾定理，也無衝突。對於哲學來說，也深有啟發。
總體來說就是——我們不能確定很多東西，但很多東西在整體上又是一致性的，可以理解的。
我不知道我說的夠不夠直白。我也是文科生，我也不懂那些繁複的數學公式。但我一直對物理，哲學等有興趣。曾經最大的夢想，還是做一位科學家。現在想想，也不覺得可笑。人生，有好奇不是挺好的嗎？
我的好奇，你們肯定也有過。人活著是為了什麼？幸福是什麼？孤獨是什麼？自由是什麼？我繞了這麼大一個圈子，就是告訴你，在生活中對於一些事情我們能說的清，而還有一些事情，我們應該保持沉默。
可以討論，可以去爭論，你可以保持你自己的觀點，而不要在乎別人的論斷。鞋子合不合腳，穿的人知道。你幸不幸福，你自己感覺。不要為不適合回答的問題，來折磨你自己。
當然我也在詩歌中寫過：“堅持自己不是一句話，是血淋淋的戰鬥。” 總之你還是要做你王國裡的國王。
現在是一個信息氾濫的社會。你寫什麼都會有人罵你。比如我根據王寶強離婚新聞，寫了一篇《婚姻不易，且行且珍惜》的文章。結果被罵是馬蓉的槍手等等。後來我發了一篇之前寫的科普作品《引力量子化》，這樣的文章竟然也被罵了。說我不自量力，一個搞玄學的人，敢談科學。
我其實想說，正是因為對人生的好奇，我才看這麼多書。而看了這些書之後，從哲人們那裡，我得到了我想要的答案。
這些答案，本就不屬於我。大家就在網絡上可以找到。但信息氾濫時代，你不一定檢索到你想要的答案。我希望，我給你的是你想要的。我肯定還有很多問題不知道的答案，如果你知道，也希望你告訴我們。
現在請長長的舒一口氣，放鬆下來。人生的答案其實都有了。
2016年12月4日晚。
摘自獨立學者，靈遁者哲理散文。
