一、連續函數的概念
已知函數 f（x）在 a 存在極限 b ， 即
連續函數的概念圖（1）
a 可能屬於函數 f（x）的定義域；也可能不屬於函數 f（x）的定義域，即使 a 屬於函數 f（x）的定義域，f（a）也不一定等於 b 。
但是，當 f（a）= b 時，函數有著特殊的意義 。
1、函數在某一點處的連續性:
定義 ： 設函數 f（x）在 U（a）有定義。若函數 f（x）在 a 存在極限，且極限就是 f（a）, 即
連續函數的概念圖（2）
則稱函數 f（x）在 a 連續 ， a 是函數 f（x）的連續點 。
一般地，函數 f(x) 在點 x0 處連續必須同時具備三個條件：
連續函數圖（1）
1、 f(x0) 存在，即函數 f(x) 在點 x0 處有定義 ；
2、
連續函數圖（2）
3、
連續函數圖（3）
例題1、討論下列函數在給定點處的連續性。
例題1圖（1）
解：
例題1圖（2）
例題1圖（3）
例題2、觀察下列函數的圖象，說出函數在 x=a 處是否連續。
例題2圖（1）
例題2圖（2）
2、函數在某一點單側的連續性：
定義 ： 設函數 f（x）在以 a 為 左（右）端點的區間有定義。若
單側連續性圖
則稱函數 f（x）在 a 右連續 （左連續）。
結論：
① 函數在一點處連續的充要條件是既左連續又右連續 。
結論圖
② 開區間內連續 ：如果函數 f（x）在某一開區間 （a，b）內每一點處都連續，就說函數f（x）在開區間（a，b）內連續，
或說f（x）是開區間（a，b）內的連續函數。
③ 閉區間上連續：如果函數 f（x）在開區 間 （a，b）內連續，在左端點 x = a 處右連續，在右端點 x = b 處左連續，
就說函 數 f（x）在閉區間 [a , b ] 上連續。
二、閉區間上連續函數的性質：
閉區間連續函數的性質圖
性質1、（有界性）若函數 f（x）在閉區間 [ a , b ] 連續，則函數 f（x）在閉區間 [ a , b ] 有界，即 存在 M > 0 ,
對任意的 x ∈ [ a , b ] , 有 ∣f（x）∣ ≤ M 。
注：在半開區間 ( 0 , 1 ] ，連續函數 f（x）= 1/x 無界 。
性質2、（最值性）若函數 f（x）在閉區間 [ a , b ] 連續，則函數 f（x）在閉區間 [ a , b ] 能取到最小值 m 與最大值 M ，
即 存在 x1 , x2 ∈ [ a , b ] , 使 f（x1）= M ， f（x2）= m ，
且 對任意的 x ∈ [ a , b ] , 有 m ≤ f（x）≤ M 。
性質3、（零點定理）若函數 f（x）在閉區間 [ a , b ] 連續，且 f（a）f（b）< 0 ,（即 f（a）與 f（b）異號），
則在區間 （a , b）至少 存在一點 c ， 使 f（c）= 0 。
性質4、連續函數的運算性質同極限的運算性質（略）。
例題3、證明：方程 x = cosx 在 （0 ，π/2）內至少存在一個實根 。
證明 令 f（x）= x - cosx , 則函數 f（x）= x - cosx 在 [0 ，π/2 ] 連續，並且 f（0）= -1 < 0 ,
f（π/2）= π/2 > 0 . 根據零點定理 ，函數 f（x）= x - cosx 在 （0 ，π/2）內至少存在一點 c ，使
f（c）= c - cosc = 0 , 即 方程 x = cosx 在 （0 ，π/2）內至少存在一個實根 。
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