例1、設數列 { a n } 的前 n 項和為 Sn .已知 a1 = 1 ,
例題1圖（1）
（1）求 a2 的值 ；
（2）求數列 { an } 的通項公式；
（3）證明: 對一切正整數 n ,有
例題1圖（2）
解：
（1）依題意， 2S1 = a2 - 1/3 - 1 - 2/3 , 又 S1 = a1 = 1 , 所以 a2 = 4 ；
（2）當 n ≥ 2 時，有
例題1圖（3）
兩式相減得
例題1圖（4）
整理得
例題1圖（5）
故數列 { an/n } 是首項為 a1/1 ,公差為 1 的等差數列,
所以
例題1圖（6）
（3）當 n = 1 時 ，1/a 1 = 1 < 7/4 ; 當 n = 2 時 ，1/a1 + 1/a2 = 1 + 1/4 = 5/4 < 7/4 ;
當 n = 3 時
例題1圖（7）
例題1圖（8）
綜上,對一切正整數 n ,有
例題1圖（9）
放縮技巧：
所謂放縮的技巧：即欲證 A ≤ B ，欲尋找 一個（或多個）中間變量 C ，使 A ≤ C ≤ B ，
由 A 到 C 叫做 “放”，由 B 到 A 叫做 “縮” 。
常用的放縮技巧
常用的放縮技巧圖（1）
常用的放縮技巧圖（2）
放縮方法歸納：
① 先求和後放縮
例題2、正數數列 {a n} 的前 n 項的和為 Sn ，且滿足關係式 2✔Sn = an + 1 ，試求：
（1）數列 {an} 的通項公式；
（2）設 bn = 1/（an·an+1）, 數列 { bn } 的前 n 項和為 Bn , 求證 ： Bn < 1/2 。
解：
（1）由已知得 4Sn = （ an + 1）^2 , n ≥ 2 時，
例題2圖（1）
作差得：
例題2圖（2）
所以：
例題2圖（3）
又因為 {an} 是正數數列，所以 an - an-1 = 2 , 即 {an} 是以公差為 2 的等差數列 ，
由 2✔S1 = a1 + 1 ， 得 a1 = 1 , 所以 an = 2n - 1 。
（2）
例題2圖（4）
所以：
例題2圖（5）
注：一般先分析數列的通項公式。
如果此數列的前 n 項和能直接求和 或者通過變形後求和，則採用先求和再放縮的方法來證明不等式。
② 先放縮再求和
例題3、已知各項均為正數的數列 {an} 的前 n 項和為 Sn , 且滿足關係式 (an)^2 + an = 2Sn 。
（1）求證：
例題3圖（1）
（2）求證：
例題3圖（2）
解：
（1）令 n = 1 , 則有 (a1)^2 +
a1 = 2S1 = 2a1 , 因為 a1 > 0 , 所以 a1 = 1 。又因為 (an)^2 + an = 2Sn ，有
例題3圖（3）
上述兩式相減，且
an+1 = Sn+1 - Sn 得
例題3圖（4）
因為 an > 0 , 所以 an+1 - an = 1 所以 an = 1 + 1 × （n - 1）= n , Sn = n（n+1）/2 。
所以
例題3圖（5）
（2）
因為
例題3圖（6）
所以
例題3圖（7）
所以
例題3圖（8）
例題3圖（9）
③ 裂項放縮
例題4、已知 n 是正整數，求證：
例題4圖（1）
證明：
因為
例題4圖（2）
所以
例題4圖（3）
④ 公式放縮
例題5、已知函數
例題5圖（1）
.證明：
例題5圖（2）
證明：
因為
例題5圖（3）
又因為 n 是正整數 且 n ≥ 3 ，所以只需證明 2^n > 2n + 1 ;
例題5圖（4）
所以
例題5圖（5）
.
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