楠木青城醉
非常搞笑的是，有不少人認為無理數不存在，或者說無法與現實世界對應。
我們定義的各種數，都可以認為是一種“抽象概念”，單獨的抽象概念在現實中肯定是不存在的（就像抽象的神一樣無法找到），他只有在某種觀念下的對應現實的某個“事物屬性”（即某種信息）。
比如1、2、3如何說它們存在，只能是十進制下對應某種事物的某種屬性，如個數。
不僅是自然數，所有的數都是如此。不僅是所有數都是如此，所有的數學概念都是如此。只要對應了現實事物的某種屬性，就可以說它們真實存在。如非歐式幾何，如黎曼幾何中創建的概念，也可以在現實中對應彎曲空間。
甚至可以說，所有數學，都可以找到現實能對應的某種屬性，只是暫時還沒發現而已。之所以如此神奇，因為邏輯規則本身就是來自感應信息，群體性的生命的感應信息，對於人類來說，就是經驗。邏輯來自經驗，經驗的內容通過結構化經驗方法，結論還是經驗的，也是受到某種範圍的制約的。
探索貓
√2不等於√2cm、√2m等 ,它們不屬於同一範疇
首先,非常高興回答這個問題,這個問題邏輯上並沒有問題,但是有一個核心問題就是數字和長度並不能劃等號,而且它們並不是同一範疇,並不能放一起對比,所以弄不清楚真是以為是悖論.
數字:它是由現實中抽象出來的概念,從人類發展初期的表示物體個數的自然數開始,表達1個雞蛋2個雞蛋3個雞蛋、1頭牛2頭牛等;然而√2 是數學家在研究數學的過程中發現的,並用根號2表示這個數,我們用數學理論知道這個數字是無限不循環的小數,我們只知道它的大小在1和2之間,但並不知道精確大小,因為它是無限長的小數.
長度:我們生活中的長度卻是具體的,不併是抽象的概念;國際上規定了1m的具體長度,其它的長度都可根據這個長度進行細分或者加倍,回到我們的√2cm,我們在測量的時候是沒法做到這個長度的,因為受限於測量工具,我們測量得到的長度也只是一個估計值,無法做到精確值,我們可能測量的是1.42cm,也可能是1.431cm,但我們不會測量到√2cm這個長度,因為√2你都不知道準確的是多少.再者:即使你理論上你得到的是√2cm,並不能由於√2是無限不循環小數而畫不出它的相對長度,理論上我們可知√2為1和2之間的一個數字,我們可以準確到1.414,再往後你的畫圖工具並不能再畫1.4141111騁cm出來,而只能畫一個相對準確的值出來.
學霸數學
這個問題的提出，源於沒有吃透數學思維，但的確是個好問題。
那麼，什麼是數學思維呢？數學思維就是用統計、近似、逼真、代換、對應、映射、投影、迭代、仿造、建模等數學方法，把複雜問題簡單化。
其中的迭代，即近似代換，是數學思維的精髓。數值是一個代號，代表特定的幾何圖形。幾何圖形是一個代號，代表一類實體圖景。
三者之間的迭代關係是：數值↹幾何↹實體。實體是模糊而複雜的，幾何是形象而簡化的，數值是抽象而方便的。
回到本題。數值√2↹正方對角線↹某個圖景。以此類推：數值π↹圓周/直徑↹太陽圓；虛數√-1↹逆時針旋轉½π↹某個裝置；
自然常數e↹代數式lim(1+1/n)^n↹規範螺旋線↹龍捲風圖景。
原道童子
恭喜你，不經意間發現了史上的第一次數學危機。如果在2500年前，你也許會被當作異端扔進海里哦。這事還得從公元前580~568之間的古希臘說起。
當時數學家畢達哥拉斯(Pythagoras)建立了畢達哥拉斯學派。這一學派集宗教、科學和哲學於一體，他們認為萬物皆數，即宇宙間的一切現象都能歸結為整數或整數之比。但是該學派的成員希伯索斯(Hippasus)根據勾股定理(西方稱為畢達哥拉斯定理)通過邏輯推理發現，邊長為1的正方形的對角線長度既不是整數，也不是整數的比所能表示的。希伯索斯的發現被人們看成是荒謬和違反常識的事。它不僅嚴重觸犯了畢氏學派的信條，同時也衝擊了當時希臘人的傳統見解，使古希臘的數學家們感到驚奇和不安，所以這一事件在數學史上稱為第一次數學危機。希伯索斯的發現終沒有被畢達哥拉斯學派的信徒們所接受，相傳畢氏學派就因這一發現而把希伯索斯投入海中處死。
越來越多無理數的發現迫使希臘數學家不得不研究這些數。歐多克斯(Eudoxus，約公元前408～前347)首先引入了“量”的概念，這裡的量不是數，而是代表諸如線段、角、面積、體積、時間等。量與數的不同在於，數是離散的，即可數的，而量可以是連續的。歐多克斯由量的概念出發給出了一種新的比例論。歐幾里得《幾何原本》第五卷中引用了這種比例論，其定義為：設A，B，C，D是任意四個量，其中A和B同類(即均為線段、角或面積等)，C和D同類。如果對於任何兩個正整數m和n，mA大於、等於、小於nB是否成立，相應地取決於mC大於、等於、小於nD是否成立，則稱A與B之比等於C與D之比，即A，B，C，D四量成比例。 通過這一新的比例論，希臘數學家可以嚴格地將可公度量的證明推廣到不可公度的量，從而解決了不可公度帶來的邏輯上的矛盾。
歐多克斯比例論實際上是為了避免把無理數當作數，這個理論給不可公度量的比例提供了邏輯依據，但是也將數同幾何截然分開，而且使希臘數學的重點從數轉向了幾何，因為幾何可以處理無理數。在此後的幾千年間，幾何學成為幾乎是全部嚴密數學的基礎，而算術和代數則沒有取得獨立的地位。
第一次數學危機的徹底解決，是在危機產生二千年後的19世紀，建立了極限理論和實數理論之後，才被徹底解決的。
天涯鐵鉤
說√2是個無理數，那是不知道√2的數理含義的歪說。請看官們先搞清楚“√“的符號意義作用，才能搞清楚“√2=1.4142135“的數學現象和意義。其實，數學先輩造出二次根式“√“是數學“理論工具“。而“√“數學“理論工具“在勞動人民的偉大實踐中的生產工具是剪刀（或小刀）。說“√“是數學“理論工具“是對“長方形的2平方”進行開兩次方根，就等於對“長方形的偶數2平方”進行約等於1.4142135長寬的兩次切割修補成了“約等於正方形的偶素2平方”，因此，√2x√2=1.4142135×1.4142135=1.9999999≈2（如果用代數符號表述則很清楚√Bx√B=a.papdaiy×a.papdaiy=A.IIIIIII≈B）。顯然，約等於正方體的2平方面積的長約等於1.4142135，寬約等於1.4142135。請各位看官在二維平面座標系上的豎軸畫出1.4142135長的刻度，再在二維平面座標系上的橫軸畫出1.4142135寬的刻度，然後用1.4142135長乘以1.4142135寬等於1.9999999約等於“2”，這個“2“就是約等於正方體面積。 請各位看官再在二維平面座標系上的豎軸畫出”1”長的刻度，又再在二維平面座標系上的橫軸畫出“1”寬的刻度，然後在橫、豎兩個“1”長的頂點，劃一條絃線，那麼這條絃線長度則約等於1.4142135長，這是勾邊長“1”與股邊長“1”及弦邊長“1.4142135”的直角三角形的解。這個勾邊長“1”與股邊長“1”及弦邊長“1.4142135”的直角三角形的解，就是在數學理論上把“口+口=日的兩個1平方面積之和的長方形2平方剪切了一次約等於1.4142135的一條邊即“√2=1.4142135”。綜上所述，數學理論工具的二次根式“√“在勞動人民的實踐中擔當了“剪刀或小刀”工具作用。數學理論工具的三次根式“³√“在勞動人民的實踐中擔當了“大砍刀或鋸子或砂輪切割機或激光”等工具作用。 數學理論上把“長方形變易成正方形就必須對長方形進行開二次方 ，如√2x√2=1.4142135x1.4142135≈2，√3x√3=1.732025x1.73205≈3，√4x√4=2x2=4，√5x√5=2.23606x2.23606≈5”。因此正方形有兩個同質同大平方根，之所以2長乘以2寬等於4平方。長方形有兩個同質不同大的平方根，之所以2長乘以3寬等於6平方。 數學理論上把“兩個正方形面積之和變易成直角三角形就必須對兩個正方形面積之和進行開一次方得到了直角三角形的弦長，如√1+2=√3=1.732050756（2是約等於正方形面積。之所以，勾邊長1，股邊長1.4142135，弦邊長1.732050756）。√1+4=√5=2.23606797749，之所以勾邊長1，股邊長2，弦邊長2.23606797749”。 數學理論上把“長方體變易成正方體就必須對長方體進行開三次方，開一次方得到一個立方根，開二次立方得到了二個立方根，開三次方得到了三個立方根，如³√8׳√8x³√8=2x2x2=8”。因此正方體有三個同質同大立方根，之所以2長乘以2寬再乘以2高等於8立方。長方體有三個同質不大立方根，之所以2長乘以3寬再乘以4高等於24立方。 綜上所述，說“√2”是無理數是對“√2”的數學含義不理解不明白一種歪說。
ldk666666
看來很多人對這個的理解還是很模糊。主要是很多人還是分不清度量和數字的區別。
數字是人類抽象的概念，是一套數學系統。而物體的長則是物體本身的屬性，任何物體都有一定的長。而我們用數字去表示物體的長的多少，這個就叫做長的度量，簡稱長度。
什麼意思，首先明白數字並不是真實存在的東西。數字是人類抽象出來計算的符號系統。比如原始人數貝殼，一個兩個三個，然後數蘋果一個兩個三個，慢慢就意識到這之間有一個什麼共同的，可以用來表示物體多少的東西，這個就是數字，慢慢的人就形成了數的概念。
人類明白數字之後，就希望用數字來計算物體的多少，隨著慢慢就形成了加減乘除的概念，數學就誕生了。
數字可以用來計算物體的多少，那麼能不能來用數字計算物體的大小？？？在遠古時代肯定會有一個祖先想過這個問題。
我們今天知道當然是沒問題的，方法就是利用一個標準長度和被度量的長度來進行比較，然後再利用數學來表式出物體的長度。
比如，現在有一條線，那這條線的長度是如何得到的？是國際上規定出多長的一條線，叫做1米，然後用這個標準長度和被測量物體進行比較，剛好一樣長，那麼這條線的長度就是1米。
如果這條線比1米短，那麼我們就把一米等分成10分，然後再比較。假如這條線正好是等於4個等分，那麼就是0.4米。如果等於20個等分，那這條線就等於2米。
所以你要明白兩個道理，一 數字是人類用規定好的單位系統來度量物體長的。二 數字並不決定長，而是長決定數字。
明白度量的道理，你就可以理解√2是什麼概念。比如說你畫了兩條邊為一米的直角三角形，然後，你開始量斜邊。
首先，你用標準的1米和斜邊做比較，發現斜邊比1米長，那麼你知道斜邊的長度是在1米和兩米之間的。
然後你把1米等分成10份，再次比較，發現斜邊比14份要長，比15份要小，那麼你明白斜邊的長度是在1.4和1.5米之間。
然後你再把1米分成100等分，再比較，發現斜邊比141份要大，比142份要小，那麼你就明白了斜邊的長度是在1.41米到1.42米之間。
於是你不斷的重複這個過程，發現斜邊的長度始終無法剛好等於你劃分小份的10倍，這個就是√2這個無理數的概念。
請你自己在大腦裡想象一下我說的過程，你應該明白以下幾個事實。
一 斜邊的長度再度量的過程中始終沒有變。變化的是你用來比較的單位長度！所以根本不存在你所說的斜邊沒有盡頭的事。斜邊的長度始終是固定值。
二 之所以斜邊的小數位無限增多，是因為你在不斷的用10等分的單位長度來度量斜邊，斜邊的長度一直不是單位長度的10整倍數而已。
這樣不斷10等分的數字，我們就叫他自然數。不能因為我們常用的數字系統是以10等分為基礎的自然數，就認為世界上所有的長度就一定是10的整倍數。√2這樣的就無法劃分成10的等倍數，所以用自然數表示就會是一直無限不循環的小數。
所以是我們無法用自然數固定的表示斜邊的長度，並不是斜邊的長度在變化。我們為了彌補自然數的不足，就發明了無理數。所以斜邊的長度就是√2，1.414.....僅僅是√2的小數近似。
最後再重伸一下，長度是我們用人為規定標準長度和實際物體進行比較，然後用數字表示的一個值。現代一米是有國際化標準化組織規定的。完全可以規定剛才三角形斜邊這個長度就是1米，這樣原來的無理數長度就變成了1米，而我們現在用的1米卻變成了無理數。
shawn25
這問題挺有意思，乍一看世界難題！仔細想想，如果論證這個，我個人觀點是沒有意義！
就像磁鐵的南極與北極一樣，南極跟北極之間有許多看不到的磁場，那麼怎麼來告訴別人有磁場這麼回事呢，於是我們畫了很多虛線，表示磁場！
同樣的道理，我們要表示三角形也需要點和線，確定三個點，三條線，連接起來就是個三角形！
如果你定義直角邊長度相等，那麼這是個等腰直角三角形，如果你再定義兩條直角邊長度為1，那麼這就是題目中說的那個等腰直角三角形了！
AB=AC=1，那麼你定義了點A和點B，點A和點C之間的距離是1，無論你把點畫的多小，這個距離1確定的，然後你用尺子量，那是有誤差的，所以你去掉誤差，等腰直角邊長度就是1，那麼BC長度也相應確定了，那就是√2。
那√2，你需要用1.414xxxxx表示的時候，這是表示精度的問題，√2可以粗略的表示為1.414，也可以精確的表示為1.414xxxxx（一直到最後一位）。但怎麼表示都改變不了BC的長度是√2的宿命！
那跟有理數無理數沒多大關係，有理數無理數只是數學定義了它的分類，是它的一個屬性，但改變不了它的本質！
所以這麼看來，問題就沒啥意義了！
行走的糖果
我是一名數學愛好者，我來告訴你這是為什麼。
數值是人為定出來一個標準。
很多東西是定了個標準，才能以此為標準去衡量其他事物。你在行駛的車上看到你旁邊人是靜止的，而路上的人看到是運動的，這是物理當中參照系的概念，你以不同的標準看到的事物是不同的。為什麼一米是這麼點長度，一千克是這麼點重量，一牛頓是這麼點力度，只是一開始定義長度、重量和力的人設定了一個標準，說這麼長就是一米，這麼重就是一千克，他完全可以換一個長度和重量定義為一米和一千克。所以長度為1也是人為定出來的，我們也可以把原來的根號2定義為新的1，如此說來原來的1就是無理數了，那原來是1的就畫不出來了？這顯然是錯誤的。
方法不只有一個
先來看和烏鴉喝水的例子，一天一個烏鴉看到了一個裝滿水的瓶子，烏鴉正好口渴喝了水。喝到後來他發現不對了，嘴不夠長喝不到下面的水，於是叼來石子放瓶子裡，又可以喝水了，這故事是說解決問題的方法有很多，不一定要死搬硬套原來的方法。同理，你有一把刻度為1的尺子，你可以畫出長度為2的線段，也可以畫出長度為3的線段，這是你畫不出長度為根號2的線段，這時候你就可以用勾股定理就可以輕鬆的畫出來了。
會講生活的鱉
要弄明白這個問題，需要明白的是：“能不能畫出來”，與“數字表達形式上有沒有盡頭”，是沒有關係的。注意，這個問題與什麼極限、近似，扯不上關係。
那麼，“能不能畫出來”，是怎麼判定呢？其實很簡單，初中數學我們就學過，數軸上的點，與實數一一對應。也就是說，任何一個實數的值，都可以用從原點開始一個線段來畫出。換句話說，只要是實數，就能畫出來。根號2是實數嗎？當然是，所以就可以畫出。
至於所謂的無理數，沒有盡頭，其本質上只不過數字表達形式造成的。這裡的“沒有盡頭”，是指用小數的形式來表達時，有無窮多位。但小數，只不過是一種數字表達形式，並不代表其本質。
最後，做個思想實驗。
假設，你用一根刻度尺，從0開始畫線段，試圖畫出1.4142....這個無限小數，邊畫邊計算刻度，那麼你確實永遠也畫不完。
但是如果你先畫一個邊長為1的正方形，再畫對角線，當你連接好兩個對角的一瞬間，這根線的長度就是根號2，不多一分，不少一毫。就是這麼神奇！
為什麼？因為這就是根號2的本質。
小年糕大人
，早晚的關張。
我畫的好像是邊長為1的直角三角形，其實不是。我們畫的是邊長為”1個平方的正方形的邊”的直角三角形，它的斜邊是”兩個平方的正方形的邊”。
在幾何上，那個“1”並不是1，而是1²。那個“√2”也不是√2，而是2。畢達哥拉斯定理講的就是這種關於“正方形的數”的算數法則，這與我們常用的數軸上的數不同。數軸上的數可以看作是“寬度為1的矩形數”，只不過我們省略了它們的寬度，僅僅用它們的“長”代替了這類數而已。之所以會出現無理數，就是由於我們把“寬度為1的矩形數”“錯誤地”放到了原本屬於“正方形的數”的算術規則裡去計算了。因此無理數也可以叫“錯誤算術方法數”。
