自發明微積分之後，數學發展的面貌便煥然一新，諸多數學家都投身於新興數學領域，而幾何這樣的傳統內容卻被忽視，即使是已經創立了全新的解析幾何，但其研究內容也沒有基本不超出歐式幾何。直到進入19世紀，這一局面才得到徹底改變，數學家們對歐幾里得第五公設的思考最終引發了影響深刻的幾何學革命，非歐幾何也應運而生。
早在兩千多年前，歐幾里得便在鉅著《幾何原本》第一卷中給出了幾何學的五條公設，前四條被認為簡單明瞭，符合公設“自明性”的要求。然而第五公設卻表達較為囉嗦，所表達的內容也不是那麼顯然。所謂第五公設是說：
“若兩直線與第三條直線相交，且在同一側所成的兩個內角和小於180º，那麼將這兩條直線無限延長之後必定相交”。
即使是歐幾里得本人 ，他對這個公設也不太滿意，整個《幾何原本》裡也僅僅使用了一次該公設，可見他本人對此公設也持懷疑態度。自歐幾里得之後，不少數學家認為第五公設本身是一個定理，可以由前四個公設證明出來，但均相繼失敗。
據記載，第一個嘗試對第五公設進行證明的是古希臘數學家托勒密，但不久之後便有人指出，托勒密的證明依賴於一個假設：過已知直線外一點可以且僅可作一條直線與之平行。而且很快有人就發現，這個假設實際上與第五公設等價。之後的一千多年的時間裡，仍有不少數學家嘗試去直接證明第五公設，但均以失敗告終。
直接證明相繼失敗之後，數學家逐漸把注意力轉移到間接證明上。在這種方法第一個做出有影響力結果的是意大利家薩凱里。但限於當時的數學發展水平，薩凱里混淆了有限與無限，想當然地認為在有限遠處成立的性質在無限遠處也成立。雖然失敗了，但這種新嘗試卻再次激發了數學界對探索第五公設的熱情。之後，德國數學家蘭伯特根據研究就猜想，如果過直線外一點如果沒有直線與之平行或者不止一條直線與之平行的情況下，也許存在可能的幾何學而不產生矛盾。但歐式幾何幾千年來絕對的權威使得蘭伯特望而卻步，放棄了這一“大逆不道”的想法。之後，普魯士法學教授施維卡特及其外甥托里努斯認為存在一種三角形內角和小於180º的幾何學，但這種幾何學不存在與現實之中，於是稱之為“星空幾何”。同樣受根深蒂固思想的影響，他們也不敢再往下思考 。
歷史還在等待真正的天才誕生。
高斯與波爾約
對高斯這樣的絕頂天才來說，第五公設也充滿了吸引力，從15歲起，就饒有興致地思索起了這個困擾了數學界近兩千年的難題。根據三角形內角和小於180º這個假設，到1813年，高斯已經形成了一套關於新幾何的思想，並且堅信這種新幾何在邏輯上也是相容的，且有廣闊的應用前景。但高斯又是個較為保守和謹慎的數學家，也憂心與那些頑固分子對這一發現的攻擊，所以生前並未公開發表這一成果。
匈牙利數學家波爾約是高斯的大學同學，年輕的時候也醉心於證明第五公設，同樣也無功而返，還後悔浪費了時間。而他的兒子約翰▪波爾約也開始沉迷於第五公設，波爾約趕緊阻止，然而也無濟於事，約翰已經深陷其中不可自拔。正當父親為兒子憂心忡忡之時，約翰已經從假設發展出了一整套理論。1823年，這位驕傲自豪的父親將兒子長達26頁的論文《關於一個與歐幾里得第五公設無關的 空間的絕對真實性的學說》滿懷自信地交由高斯審閱。但高斯的回應對父子二人來說猶如晴天霹靂。高斯表示，自己並不能稱讚約翰，因為稱讚他就等同於稱讚自己，因為這些成果與自己30年前思考的結果相同……然而年輕氣盛的約翰卻堅信是高斯剽竊了他的成果，這沉重打擊了約翰對數學的熱情。12年之後，當他看到羅巴切夫斯基發表的對非歐幾何的成果時，同樣認為是從自己這裡抄來的。一氣之下，約翰徹底放棄了數學，轉而研究神學以期慰藉了。
幾何學中的哥白尼—羅巴切夫斯基
俄羅斯數學家羅巴切夫斯基對非歐幾何（實際上他考慮的為雙曲幾何）的發現稍晚於高斯而幾乎與波爾約同時，但他是唯一一個敢於公開自己的發現並堅決捍衛的數學家，所以就有了“幾何學中的哥白尼”之稱。
1826年，躊躇滿志的羅巴切夫斯基於喀山大學物理數學系學術會議上發表了第一篇關於非歐幾何的論文：《幾何學原理及平行線定理嚴格證明的摘要》。這篇首創性論文的問世，正式標誌著非歐幾何的誕生並公之於眾。然而羅巴切夫斯基的論文不但沒能引起學術界的注意和重視，反而似石沉大海一般毫無回應。但他並沒有因此灰心喪氣，而是頑強地繼續獨自探索新幾何的奧秘。1829年，他又撰寫出一篇題為《幾何學原理》的論文。這篇論文不僅重述了第一篇論文的基本思想，而且還有所補充和進一步發展。而始料未及的是，這篇論文不僅引起了學術界權威的惱怒，而且還激起了社會上保守勢力的叫囂。更有甚者公然發文對羅巴切夫斯基進行人身攻擊。
創立和發展非歐幾何的艱難歷程上，羅巴切夫斯基始終沒能遇到他的公開支持者，就連非歐幾何的另一位發現者高斯也不肯公開支持他的工作。然而羅巴切夫斯基的不幸才剛開始，家庭的不幸格外增加了他的苦惱。他最喜歡的、很有才華的大兒子因患肺結核醫治無效死去，這使他傷心欲絕，他的身體也因此變得越來越多病，眼睛也逐漸失明，最後終於什麼也看不見了。羅巴切夫斯基為非歐幾何的生存和發展奮鬥了三十多年，即使遭遇再多困難，他都從來沒有動搖過對這種全新幾何遠大前途的堅定信念。為了擴大非歐幾何學的影響力，他還用法文、德文翻譯了自己的著作進行傳播。他還發展了非歐幾何的解析和微分部分，使之成為一個完整又成系統的理論體系。在身患重病臥床不起的艱難處境下，他也沒停止對非歐幾何的思考研究。他的最後一部鉅著《論幾何學》，就是在他雙目失明，在去世的前一年，口授他的學生完成的。
1868年，意大利數學家貝特拉米發表了一篇論文《非歐幾何解釋的嘗試》，證明了非歐幾何可以在歐氏空間的曲面上實現。 直到這時，長期無人問津甚至嗤之以鼻的非歐幾何才開始逐漸獲得主流數學界的普遍認可和深入研究，羅巴切夫斯基的獨創性研究也由此得到學術界的高度評價和一致讚美。遺憾的是羅巴切夫斯基再也看不到這一切了，這已經是他帶著遺恨去世整整12年之後了！
黎曼
真正完善並將非歐幾何發揚光大的是德國數學家黎曼。黎曼出生於德國一個貧困的牧師家庭，19歲時按照其父的意願進入哥廷根大學學習神學和哲學，以便將來繼承自己的事業。但從小酷愛數學的黎曼還是放棄了神學而轉學了數學。黎曼是數學史上最具創造力的數學家之一，他一生髮表的論文並不多，卻深刻影響了現代數學的發展。
黎曼注意到，羅巴切夫斯基非歐幾何的基礎假設是過直線外一點不止一條直線與之平行，於是黎曼便思考了另一種沒有直線與之平行的情形。不僅如此，他還推廣了老師高斯的曲面內蘊幾何學，所謂內蘊幾何，就是隻與度量有關而與位置無關的幾何。他突破了歐式度量的限制，提出了更一般的黎曼度量，並以此為基礎重新定義了長度，夾角，曲率等概念。這樣定義之後，歐式幾何與羅氏幾何都成了如今一般黎曼幾何的特例。非歐幾何經黎曼的發展和推廣之後，成為了真正完整的數學學科體系，為我們進一步認識所處客觀世界提供了強大的數學工具。
結語
非歐幾何學的誕生和發展，都不是容易的，原因正在於它對固有的舊思想形成了衝擊，讓人們不敢也不願意一下子接受。捍衛真理往往伴隨著犧牲，不僅非歐幾何的發展如此，整個人類文明的發展亦如此。有一點可以肯定，真理的出現是任何人也阻止不了的，它也許會遲到，但絕不會缺席。
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