自发明微积分之后，数学发展的面貌便焕然一新，诸多数学家都投身于新兴数学领域，而几何这样的传统内容却被忽视，即使是已经创立了全新的解析几何，但其研究内容也没有基本不超出欧式几何。直到进入19世纪，这一局面才得到彻底改变，数学家们对欧几里得第五公设的思考最终引发了影响深刻的几何学革命，非欧几何也应运而生。
早在两千多年前，欧几里得便在巨著《几何原本》第一卷中给出了几何学的五条公设，前四条被认为简单明了，符合公设“自明性”的要求。然而第五公设却表达较为啰嗦，所表达的内容也不是那么显然。所谓第五公设是说：
“若两直线与第三条直线相交，且在同一侧所成的两个内角和小于180º，那么将这两条直线无限延长之后必定相交”。
即使是欧几里得本人 ，他对这个公设也不太满意，整个《几何原本》里也仅仅使用了一次该公设，可见他本人对此公设也持怀疑态度。自欧几里得之后，不少数学家认为第五公设本身是一个定理，可以由前四个公设证明出来，但均相继失败。
据记载，第一个尝试对第五公设进行证明的是古希腊数学家托勒密，但不久之后便有人指出，托勒密的证明依赖于一个假设：过已知直线外一点可以且仅可作一条直线与之平行。而且很快有人就发现，这个假设实际上与第五公设等价。之后的一千多年的时间里，仍有不少数学家尝试去直接证明第五公设，但均以失败告终。
直接证明相继失败之后，数学家逐渐把注意力转移到间接证明上。在这种方法第一个做出有影响力结果的是意大利家萨凯里。但限于当时的数学发展水平，萨凯里混淆了有限与无限，想当然地认为在有限远处成立的性质在无限远处也成立。虽然失败了，但这种新尝试却再次激发了数学界对探索第五公设的热情。之后，德国数学家兰伯特根据研究就猜想，如果过直线外一点如果没有直线与之平行或者不止一条直线与之平行的情况下，也许存在可能的几何学而不产生矛盾。但欧式几何几千年来绝对的权威使得兰伯特望而却步，放弃了这一“大逆不道”的想法。之后，普鲁士法学教授施维卡特及其外甥托里努斯认为存在一种三角形内角和小于180º的几何学，但这种几何学不存在与现实之中，于是称之为“星空几何”。同样受根深蒂固思想的影响，他们也不敢再往下思考 。
历史还在等待真正的天才诞生。
高斯与波尔约
对高斯这样的绝顶天才来说，第五公设也充满了吸引力，从15岁起，就饶有兴致地思索起了这个困扰了数学界近两千年的难题。根据三角形内角和小于180º这个假设，到1813年，高斯已经形成了一套关于新几何的思想，并且坚信这种新几何在逻辑上也是相容的，且有广阔的应用前景。但高斯又是个较为保守和谨慎的数学家，也忧心与那些顽固分子对这一发现的攻击，所以生前并未公开发表这一成果。
匈牙利数学家波尔约是高斯的大学同学，年轻的时候也醉心于证明第五公设，同样也无功而返，还后悔浪费了时间。而他的儿子约翰▪波尔约也开始沉迷于第五公设，波尔约赶紧阻止，然而也无济于事，约翰已经深陷其中不可自拔。正当父亲为儿子忧心忡忡之时，约翰已经从假设发展出了一整套理论。1823年，这位骄傲自豪的父亲将儿子长达26页的论文《关于一个与欧几里得第五公设无关的 空间的绝对真实性的学说》满怀自信地交由高斯审阅。但高斯的回应对父子二人来说犹如晴天霹雳。高斯表示，自己并不能称赞约翰，因为称赞他就等同于称赞自己，因为这些成果与自己30年前思考的结果相同……然而年轻气盛的约翰却坚信是高斯剽窃了他的成果，这沉重打击了约翰对数学的热情。12年之后，当他看到罗巴切夫斯基发表的对非欧几何的成果时，同样认为是从自己这里抄来的。一气之下，约翰彻底放弃了数学，转而研究神学以期慰藉了。
几何学中的哥白尼—罗巴切夫斯基
俄罗斯数学家罗巴切夫斯基对非欧几何（实际上他考虑的为双曲几何）的发现稍晚于高斯而几乎与波尔约同时，但他是唯一一个敢于公开自己的发现并坚决捍卫的数学家，所以就有了“几何学中的哥白尼”之称。
1826年，踌躇满志的罗巴切夫斯基于喀山大学物理数学系学术会议上发表了第一篇关于非欧几何的论文：《几何学原理及平行线定理严格证明的摘要》。这篇首创性论文的问世，正式标志着非欧几何的诞生并公之于众。然而罗巴切夫斯基的论文不但没能引起学术界的注意和重视，反而似石沉大海一般毫无回应。但他并没有因此灰心丧气，而是顽强地继续独自探索新几何的奥秘。1829年，他又撰写出一篇题为《几何学原理》的论文。这篇论文不仅重述了第一篇论文的基本思想，而且还有所补充和进一步发展。而始料未及的是，这篇论文不仅引起了学术界权威的恼怒，而且还激起了社会上保守势力的叫嚣。更有甚者公然发文对罗巴切夫斯基进行人身攻击。
创立和发展非欧几何的艰难历程上，罗巴切夫斯基始终没能遇到他的公开支持者，就连非欧几何的另一位发现者高斯也不肯公开支持他的工作。然而罗巴切夫斯基的不幸才刚开始，家庭的不幸格外增加了他的苦恼。他最喜欢的、很有才华的大儿子因患肺结核医治无效死去，这使他伤心欲绝，他的身体也因此变得越来越多病，眼睛也逐渐失明，最后终于什么也看不见了。罗巴切夫斯基为非欧几何的生存和发展奋斗了三十多年，即使遭遇再多困难，他都从来没有动摇过对这种全新几何远大前途的坚定信念。为了扩大非欧几何学的影响力，他还用法文、德文翻译了自己的著作进行传播。他还发展了非欧几何的解析和微分部分，使之成为一个完整又成系统的理论体系。在身患重病卧床不起的艰难处境下，他也没停止对非欧几何的思考研究。他的最后一部巨著《论几何学》，就是在他双目失明，在去世的前一年，口授他的学生完成的。
1868年，意大利数学家贝特拉米发表了一篇论文《非欧几何解释的尝试》，证明了非欧几何可以在欧氏空间的曲面上实现。 直到这时，长期无人问津甚至嗤之以鼻的非欧几何才开始逐渐获得主流数学界的普遍认可和深入研究，罗巴切夫斯基的独创性研究也由此得到学术界的高度评价和一致赞美。遗憾的是罗巴切夫斯基再也看不到这一切了，这已经是他带着遗恨去世整整12年之后了！
黎曼
真正完善并将非欧几何发扬光大的是德国数学家黎曼。黎曼出生于德国一个贫困的牧师家庭，19岁时按照其父的意愿进入哥廷根大学学习神学和哲学，以便将来继承自己的事业。但从小酷爱数学的黎曼还是放弃了神学而转学了数学。黎曼是数学史上最具创造力的数学家之一，他一生发表的论文并不多，却深刻影响了现代数学的发展。
黎曼注意到，罗巴切夫斯基非欧几何的基础假设是过直线外一点不止一条直线与之平行，于是黎曼便思考了另一种没有直线与之平行的情形。不仅如此，他还推广了老师高斯的曲面内蕴几何学，所谓内蕴几何，就是只与度量有关而与位置无关的几何。他突破了欧式度量的限制，提出了更一般的黎曼度量，并以此为基础重新定义了长度，夹角，曲率等概念。这样定义之后，欧式几何与罗氏几何都成了如今一般黎曼几何的特例。非欧几何经黎曼的发展和推广之后，成为了真正完整的数学学科体系，为我们进一步认识所处客观世界提供了强大的数学工具。
结语
非欧几何学的诞生和发展，都不是容易的，原因正在于它对固有的旧思想形成了冲击，让人们不敢也不愿意一下子接受。捍卫真理往往伴随着牺牲，不仅非欧几何的发展如此，整个人类文明的发展亦如此。有一点可以肯定，真理的出现是任何人也阻止不了的，它也许会迟到，但绝不会缺席。
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