例題1、古希臘數學家把數 1 ， 3 ， 6 ， 10 ，15 ， 21 ，...... 叫做三角形數，它有一定的規律性。若把第一個三角形數記為
a1 ，第二個三角形數記為 a2 ，......，第 n 個三角形數記為 an ，則 an + a(n+1) = ?答案：（n + 1）^2 。
例題2、在平面直角座標系中，對於平面內任意一點 P（a , b）若規定以下三種變換 ：
① f（a , b）= （-a , b）， 如 f（2 , 5）= （-2 , 5）；
② g（a , b） = （b , a）, 如 g（2 , 5）= （5 , 2）；
③ h（a , b）= （-a , -b），如 h（2 , 5）= （-2 , -5） 。
根據以上變換，那麼 f（h（5 ， -3））等於多少 ？
答案：（5,3）。
例題3、如圖，已知等腰直角 △ABC 的直角邊長為 1 ，以 Rt△ABC 的斜邊 AC 為直角邊 ，畫第二個等腰 Rt△ACD ，在以 Rt△ACD 的斜邊 AD 為直角邊 ，畫第三個等腰 Rt△ADE ， ... ， 依次類推到第五個等腰 Rt△AFG ，則由這五個等腰直角三角形所構成的圖形的面積是多少 ？
答案：31/2 。
例題4、如圖所示，直線 OP 經過點 P（4,4√3），過 x 軸上的點 1、3、5、7、9、11 ......分別作 x 軸的垂線，與直線 OP 相交得到一組梯形，其陰影部分梯形的面積從左至右依次記為 S1 , S2 , S3 , ... , Sn , 則 Sn 關於 n 的函數關係式是 ？
答案： Sn = 4√3 （2n - 1） 。
例題5、現將 1、 √2、√3、√6 四個數按下列方式排列 。
若規定 （m , n）表示第 m 排從左到右第 n 個數 ， 則 （5 ， 4）與（15 ， 7）表示的兩數之積是多少？
答案： 2√3 。
例題6、現將一塊直角三角形的花圃進行改造，已知兩直角邊長分別為 6 m 、8 m 。若將其擴建成等腰三角形，且擴充部分是以 8 m 為直角邊的直角三角形，那麼擴建後的等腰三角形花圃的周長是多少 m ？
解：如圖，在 Rt△ABC 中 ，∠ACB = 90° ，AC = 8 m, BC = 6 m,
由勾股定理得 ： AB = 10 m ，擴充部分為 Rt△ACD 。
擴充成等腰△ABD ，應分以下三種情況：
（1）如圖 ① ，當 AB = AD = 10 m 時 ，可求得 CD = CB = 6 m ，
故 △ABD 的周長為 AB + AD + BD = 32 m ；
（2）如圖 ② ，當 AB = BD = 10 m 時 ，可求得 CD = BD - BC = 4 ,
在 Rt△ACD 中 ，由勾股定理可得 AD = √（AC^2 + CD^2）= 4√5 ,
故 △ABD 的周長為 AB + BD + AD = (20 + 4√5) m ；
（3）如圖 ③ ，當 AB 為底時 ，設 AD = BD = x ，則 CD = x - 6 ,
在 Rt△ACD 中 ，由勾股定理可得 AC^2 + CD^2 = AD^2 ,
所以 8^2 + （x - 6）^2 = x^2 , 解得： x = 25/3 ,
故 △ABD 的周長為 AB + BD + AD = 80/3 m 。
例題7、仔細觀察下表後，請回答下列問題：
① 當正數 x 的值逐漸增大時，x 的算術平方根有什麼變化規律？
② 正數 n 的算術平方根與它本身有怎樣的大小關係 ？
③ 如果 10 的算術平方根為 a ，則 a 的整數部分是什麼？小數部分又是什麼？請說明理由。
解：
① x 的算術平方根也逐漸增大 ；
② 當 0 < n < 1 時 ，√n > n ;
當 n = 1 時 ， √n = n ;
當 n > 1 時 ， √n < n ;
③ a 的整數部分是 3 ， 小數部分是 √10 - 3 。
理由：
∵ 9 < 10 < 16 , ∴ √9 = 3 < √10 = a < √16 = 4 ,
∴ a 的整數部分是 3 ， 小數部分是 a - 3 （即 √10 - 3） 。
例題8、如圖所示，BE 與 CD 相交於點 A ，CF 是 ∠BCD 的角平分線，EF 是 ∠BED 的角平分線，試求 ∠F 與 ∠B 、∠D 之間的數量關係，並說明理由 。
解：設 DC 、 EF 相交於點 M ，CF 、BE 相交於點 N ，
則有 ： ∠DCF + ∠F = ∠D + ∠DEM ①，
∠F + ∠FEB = ∠B + ∠BCF ②，
① + ②， 得 （∠F +∠F ）+ （∠DCF + ∠FEB）= （∠D + ∠B）+ （∠DEM + ∠BCF） ，
∵ CF 是 ∠BCD 的角平分線，EF 是 ∠BED 的角平分線，
∴ ∠DEM = ∠FEB ， ∠BCF = ∠DCF ，
∴ ∠DCF + ∠FEB = ∠DEM + ∠BCF ，
∴ 2∠F = ∠D + ∠B 。
例題9、已知，用 2 輛 A 型車和 1 輛 B 型車裝滿貨物一次可運貨 10 噸 ；用 1 輛 A 型車和 2 輛 B 型車裝滿貨物一次可運貨 11 噸。某物流公司現有 31 噸貨物，計劃同時租用 A 型車 a 輛 ， B 型車 b 輛 ，一次運完，且恰好每輛車都裝滿貨物。根據以上信息，請回答下列問題 ：
（1） 1 輛 A 型車和 1 輛 B 型車都裝滿貨物一次可分別運貨多少噸 ；
（2）請你幫該物流公司設計租車方案 ；
（3）若 A 型車每輛租金 100 元/次 ，B 型車每輛需租金 120 元/次 ，請選出最省錢的租車方案，並求出最少租車費 。
解：
（1）設 1 輛 A 型車和 1 輛 B 型車都裝滿貨物一次可分別運貨 x 噸 ， y 噸 ，
根據題意得
故1 輛 A 型車和 1 輛 B 型車都裝滿貨物一次可分別運貨 3 噸 ， 4 噸 。
（2）根據題意得，3a + 4b = 31 ， 即 b = ( 31 - 3a ) / 4 ,
要使 a , b 都為正整數的情況共有三種情況 ：
① a = 1 , b = 7 ；
② a = 5 , b = 4 ;
③ a = 9 , b = 1 。
故租車方案分別為 ：
① A 型車 1 輛 ， B 型車 7 輛 ；
② A 型車 5 輛 ， B 型車 4 輛 ；
③ A 型車 9 輛 ， B 型車 1 輛 。
（3）設車費為 w 元 ，則 w = 100a + 120b ,
方案 ① 花費為 100 × 1 + 120 × 7 = 940 元 ；
方案 ② 花費為 100 × 5 + 120 × 4 = 980 元 ；
方案 ③ 花費為 100 × 9 + 120 × 1 = 1020 元 。
故方案 ① 最省錢 ，即租用 A 型車 1 輛 ，B 型車 7 輛 時 ，最少租車費為 940 元 。
例題10、已知直線 AB 過點 A（2 ， 1）和點 B ，其中點 B 是另一條直線 y = x + 2 與 y 軸的交點 。
（1）求直線 AB 的表達式 ；
（2）點 P 在直線 AB 上 ，是否存在點 P 使得 △BOP 的面積為 1 ，若存在，寫出所有滿足條件的點 P 的座標，若不存在，請說明理由 。
（3）點 P 為直線 AB 上的一個動點 ，當點 P 在線段 AB 之間時，若 S△BOP = 2S△AOP ，求出此時點 P 的座標 。
解：
（1）設直線 AB 的表達式為 y = kx + b ( k ≠ 0 ) ,
根據題意得 ： A（2 ，1），B（0 ，2），
則有：1 = 2k + b , 2 = b ,
解得 ：k = -1/2 ,
所以直線 AB 的表達式為 y = -1/2 x + 2 .
（2）設點 P 的座標為 （a , -1/2 a + 2）,
則 S△BOP = 1/2 OB ▪ ∣a∣= 1/2 × 2 ▪ ∣a∣ = ∣a∣ ，
∵ S△BOP = 1 ， ∴ ∣a∣ = 1 ， ∴ a = ±1 ,
∴ P 點的座標為 （1 ， 3/2）或 （-1，5/2）。
（3）設點 P 的座標為 （a , -1/2 a + 2）,
∵ S△BOP = 1/2 OB ▪ ∣a∣= 1/2 × 2 ▪ ∣a∣ = ∣a∣，
S△AOP = S△AOB - S△BOP = 2 - ∣a∣ ，
又 ∵ S△BOP =2 S△AOP ，
∴ ∣a∣ =2 ▪ ( 2 - ∣a∣) ，解得 ：a = ±4/3 ，
∵ 點 P 在線段 AB 之間 ， ∴ a = 4/3 ,
∴ P 點的座標為 （4/3 ，4/3）。
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