例題1、拋物線 y = ax^2 + bx + c ( a ≠ 0 ) 的圖像如圖所示，試確定 a、b、c、判別式
△ 的符號：
解：a < 0 , b > 0 , c > 0 , △ > 0 。
對稱軸 x = -b/2a > 0 , 可知 a 與 b 異號 ， 故 b > 0 。
例題2、已知：二次函數 y = ax^2+bx+c 的圖象如圖所示，則點 M（b/c，a）在（ A ）
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
解：a > 0 , b < 0 , c < 0 , 故 b/c > 0 ，點 M（b/c，a）在第一象限 。
例題3、已知：一次函數 y = ax+c 與二次函數 y = ax^2+bx+c，它們在同一座標系中的大致圖象是圖中的（C ）
例題4、 已知：二次函數 y = ax^2 + bx + c 的圖象如圖所示，則下列結論中：
① abc＞0；② b=2a；③ a+b+c＜0；④ a+b-c＞0; ⑤ a-b+c＞0 其中正確的個數是 （ C ）
A、2個 B、 3個 C、4個 D、5個
例題5、已知二次函數 y =x^2 + bx + c 的圖像如圖所示，則函數值 y＜0 時，對應的 x 取值範圍是 ?
答案：當 -3 < x < 1 時，二次函數的圖像在 x 軸的下方，才能使 y < 0 , 故 -3 < x < 1 。
例題6、某幢建築物，從10 米高的窗口A用水管向外噴水，噴出的水呈拋物線狀(拋物線所在平面與牆面垂直，如圖所示)。
如果拋物線的最高點 M 離牆1米，離地面 40/3 米，則水流落地點B離牆的距離 OB 是 (
B )A、2米 B、3米 C、4米 D、5米
解：根據題意，可知拋物線頂點M（1,40/3) 與 y 軸交點 A(0，10)
故設拋物線的解析式為
y = a( x - 1 )^2 + 40/3 ,
將 A(0，10) 代入拋物線解析式 y = a( x - 1 )^2 + 40/3 ，解得
a = -10/3 , 故拋物線的解析式為 y = -10/3 ( x - 1 )^2 + 40/3 。
令 y = 0 （B 點的縱座標為 0），
則 0 = -10/3 ( x - 1 )^2 + 40/3 ， 解得 x = -1 （舍）或 x = 3 。
故水流落地點 B 離牆的距離 OB 是 3 米 。
例題7、如圖所示，已知拋物線 y= -x^2+bx+c 與 x 軸的兩個交點分別為 A(x1,0)，B(x2，0)，且x1+x2=4，x1x2=3。
(1)求此拋物線的解析式；
(2)設此拋物線與 y 軸的交點為 C，過點 B、C 作直線，求此直線的解析式；
(3)求△ABC的面積。
解：
（1）令 y = 0 , 則 -x^2+bx+c = 0 ，
由韋達定理（根與係數之間的關係）可得:
x1+x2= b = 4 , x1x2= -c = 3
解得 b = 4 , c = -3
故拋物線的解析式為 y= -x^2 + 4x - 3 。
（2）令 x = 0 （C點橫座標為 0），則 y = -3 , 故 C點座標為 （0 ,-3）,
令 y = 0 , 則 -x^2 + 4x - 3 = 0 ， 解得 x = 1 或 x = 3 。
因為 x2 > x1 , 所以 x1 = 1 , x2 = 3 , 故 B 點座標為 （3 , 0）,
設過點 B, C 的直線的解析式為 y = kx + b ( k ≠ 0 ) ,
將 B（3 , 0）, C（0 ,-3）代入 y = kx + b 中得 ：
0 =3k + b , -3 = b ；
解得：k = 1 , b = -3 故過點 B, C 的直線的解析式為 y = x - 3 。
（3）由（2）知 A 點的座標為（1,0），故 ∣OA∣= 1 , ∣OB∣= 3 ,
S△ABC = 1/2 ▪ ∣OC∣▪∣AB∣= 1/2 ▪ 3 ▪ 2 = 3 。
例題8、已知：二次函數y = 2x^2 - (m+1)x + (m-1) 。
(1)求證：不論m為何值時,函數的圖像與 x 軸總有交點,並指出m為何值時,只有一個交點；
(2)當 m 為何值時,函數圖像過原點,並指出此時函數圖像與 x 軸的另一個交點；
(3)若函數圖像的頂點在第四象限,求 m 的取值範圍。
解：
（1）
∵ △ = 【-（m + 1）】^2 - 4×2（m - 1）= （m - 3）^2 ,
∴ 無論 m 為何值時 ， △ ≥ 0 。
∴ 拋物線與 x 軸總有交點，且當 △ = 0 時 ，即 m = 3 時，拋物線與 x 軸只有一個交點 。
（2）
∵ 二次函數 y = 2x^2 - (m+1)x + (m-1) 的圖像過原點 ，
∴ 0 = m - 1 , 解得 m = 1 。
當 m = 1 時 ， 二次函數 y = 2x^2 - 2x ,
令 y = 0 , 則 2x^2 - 2x = 0 ， 解得 x = 0 或 x = 1 ,
故另一個交點座標為 （1,0）。
（3）
∵ x = -b/2a = （m + 1）/4 > 0 ① ,
y = [ 4ac - b^2 ] /4a = -△/4a = -（m - 3）^2 / 8 < 0 ② ,
∴ 由 ① 解得 m > -1 , 由 ② 解得 m ≠ 3 ,
故當 m > -1 且 m ≠ 3 時 ， 拋物線的頂點在第四象限 。
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