初等算術
一加一等於幾，1+1=2，這到底說的是什麼呢，為什麼1+1就等於2呢，哥德巴赫猜想不是還沒解決嗎。但好像任何讀過幼兒園的小孩子都能答出來，1+1就等於2，如果繼續問下去，他們會很天真地說是老師告訴他們的，好吧，如果你還不死心，繼續去問他們的老師，他們也很無奈很苦惱，最後也只能無助地表示這也是我們老師告訴我們的。現在顯然沒必要繼續追問下去，反正最後就是老師的N次方，他們也已經作古了，所以數學源泉到底在哪裡呢。如果一直沒有老師告訴我們，我們還會知道這個簡單定律嗎。計數怎麼可能呢，如果沒有數的概念，但好像也不是那麼重要，就如同不懂物理定律照樣把檯球打得很好一樣，不懂數學原理好像也可以在日常生活中計數算術，總不至於被騙了還不知道對的數。如果你追問1是什麼，現實世界好像真的沒有1存在，一個蘋果是1嗎，一個梨子也是1嗎，一個蘋果就等於一個梨子嗎，好像不等同，然後你會說道我們要的只是1的代表，蘋果與梨子共同的數量特徵被我們抽離出來就是數字了，至於它們的質量則另當別論。至此數學功效一目瞭然，它採取最簡單直觀的方式，就是數人頭，至於你們本質差異不在它的管轄範圍也不在它關心領域了。數量特徵怎麼會被抽離出去又不損害它們的質量呢，若我們講道1個蘋果+1個蘋果=2個蘋果，可是世界上根本沒有兩個完全一樣的蘋果，它們怎麼能相加在一起從而變成2個蘋果呢。你可能辯道我們不是拿兩個現實的蘋果而是拿它們背後的數量關係在計數，它們只不過是數的代表，完全無關緊要的，只是為了具象化表達數學原理。小孩子會理解到這個層次嗎，不見得如此，他們更多是人云亦云，既然老師都是這麼說了，既然大家都這麼認為，如果我答道1+1不等於2或者等於3豈不是被笑死不償命嗎。至此，數的概念還是說不清楚是誰發明的，即使說是天賦直覺，但這個直覺還是需要被發現被刺激。數學家克羅內克說道，自然數是上帝發明的，其餘都是人類自我臆想罷了。但即使是簡單自然數規律我們也不見得理解，越簡單越難加以證明，比如說質數分佈規律，質數分別規律本質上就是上帝發明自然數的規則，所以說有朝一日哥德巴赫猜想被人類攻克，也就意味著上帝造數秘密被大方揭開，至於上帝何以如此大方讓人類頭腦破解這般難題呢，也不見得被人理解。
初等幾何
初等幾何，點線面體，弄懂點是什麼，自然會點動成線，線動成面，面動成體。點就是幾何最基礎的概念，一個點就是1，如果1的概念假定已被接受，那麼點又是什麼東西呢。點沒有質量，也不可能被肉眼看得到，小學生可能爭辯道，你看我剛才不是就在紙上用筆輕輕一點，這個就是點啊，老師也說這個就是點，沒問題啊，我還因此拿了一百分了呢。好吧，小學生總是天真無邪的，誰知道你畫的點到底已經包含了多少個點在裡面了呢。這個怎麼會是點呢，點的概念只存在於我們的頭腦裡面，就如同數的概念也是如此。我們一旦在現實世界尋找它們的對應物，總是會弄巧成拙，這些虛擬的象徵物只是方便小孩子的理解與想象力培養。真正數學概念又是怎樣被理解的呢。至於點動成線，問題就更多也更難了，一個點的理解都這麼費勁，線又是什麼東西呢，好吧，教科書權威又出來說道，線不就是由無數的點組成的嗎，劃重點，無數的概念從哪裡跑出來的，這可是一個大麻煩，日後必定成為數學界不定時炸彈，很多定律都會被炸地粉身碎骨，最後只能默默地選擇劃定區域，不敢擅自越過雷池一步，要不然會造成自相矛盾或者根基不穩啊。無數就是數也數不過來了，你一旦拿這個概念去問小孩子，只怕他們根本就理解不了，怎麼會有無數這個東西呢，我怎麼想象無數呢，既然都是無數了，就是沒有一個數對應它了，沒有數字與它對應，那它是什麼東西，難道比數的概念更高一層，它是數的概念的概念組合嗎。如果不是康托爾，人類對無數或無限的理解還是一片懵懂，康托爾將人類對無數的概念推進了一小步，將無數分為可列與不可列。可列自然就是自然數序列這般一直可以這麼列舉下去，1，2，3，4，。。。，原則上只要你命夠長，是可以一直這麼不漏不缺地數下去，也只是時間長短問題，當然這也是個問題，雖然比起不可列現象只能算是小問題了。幸虧現在大型計算機計算速度很快，基本可以一秒鐘數幾百萬億次，但也只是笨功夫數下去，看起來就像個傻子在一個角落數數，數到天荒地老，幸虧計算機沒有情感不會厭煩，要不然早就起來造反了，但也很能保證以後計算機會不會有情感甚至造反人類。不可列是什麼東西呢，教科書只會告訴你無理數的數目就是不可列，就是說你連想象它分佈存在都不可以，一旦你想象了，那也是白搭，頭腦裡還是一片空白，你也只能反過來想，只要證明它不是可列的就行，不是可列的就一定是不可列嗎，目前矛盾排中律假定只能這麼算了，反正也沒別的好方法。論證無理數不可列也很簡單，就是引入對角線論證，這也是康托爾發明利器，以後也會被哥德爾拿去證明不完全性定律。對角線論證是什麼東西呢，你不是說反過來嗎，那就假設無理數可列嗎，那就把它排成行列自然沒問題，每一行每一列就取對角線的數字組成一個數列，就可以得到一個魔鬼數列，它根本不是任何已知無理數，因為它的每個位置每個數字都與當前所有可列舉的無理數都不完全一樣，所以它算是一個異數。反正這個對角線證明了一個簡單規律，如果所有無理數的數目可排成行列，那麼至少還有一個異數未被包括在內。當然這個論證過程也是有瑕疵的，感覺它們在互相競跑，比如說你不是取對角線嗎，那我很快就可以把對角線所有數字弄成一個數列排在下面行列，這樣不就包括在裡面了嗎。所以，涉及無數或無限問題，總還是有一個時間的概念在裡面，時間足夠長到底是什麼意思呢。人類畢竟是可憐終極有限物，即使代代相傳也無濟於事，數的概念看來本就高居於人類的概念。
高等數學
高等數學，大多數人看來用不上，也覺得毫無必要，簡單算數與幾何足以應對日常生活需求了，這話糙理不糙，所以讀書人也不必掛懷，覺得自尊心受損，畢竟學了這麼多數學最後發現用不上，唯一好處就是鍛鍊心智，不至於落得腦痴呆，畢竟多用腦也會保持不退化，用進廢退就是生物界最正常不過的現象了。高等數學最基礎的當然是分析論，集合與函數都需要分析。分析論也有一個無限的概念要應對，就是極限概念。一個遞減數列求和的例子，最有名的自然就是烏龜與兔子的賽跑實驗，烏龜在前，兔子在後，雖然兔子速度比烏龜快，但兔子永遠追不上烏龜，這是什麼道理呢，不是違反常識嗎，兔子跑這麼快難道不是一步到位嗎。古希臘詭辯家芝諾當然不傻，他論辯道，烏龜原先停留的地方兔子總要到吧，當兔子到達那裡，烏龜肯定也向前一點了嗎，如此類推，兔子不是應該都在烏龜後面嗎。這裡就是一個遞減數列求和的問題，因為烏龜越往後爬的距離會越來越短，畢竟兔子速度快，距離會越縮越短的。芝諾只是假定追趕路程與時間都是無限可分的，最簡單就是半半相折，每次就跑剩下路程一半，這樣當然會跑無限次，就如同一個數列的項數總是無限的，這樣每個小距離兔子都需要去碰觸，這樣就需要無數個小時段相加，詭辯派把著重點放在無數上面，以此推出兔子永遠追不上烏龜。當然高等數學不覺得這是個難題，畢竟無數個遞減的數加在一起還是一個有限的數，既然是有限的數，自然就沒有任何問題。至於項數的無限性，高等數學是通過柯西的艾普西隆任意小的概念解決這個難題的。簡單說就是，任意給定一個距離，我總是可以把與目標數目的差距縮小在這個距離之內。其實這個概念只能當作公理引入，因為你一旦縮小在這個距離之內，人家還是會選一個更小的距離，以此類推，就這樣無限次互選下去，永無窮盡的時刻。那你說這個是可以實現的嗎還是不可以實現，畢竟這個過程將持續無限次，總是可以更小距離存在，就是觸碰不到目標值。無限的概念還是如同煙霧世界，讓人看不清，感覺是在跟魔鬼賽跑，魔高一丈道高一尺，還是道高一丈魔高一尺，誰也說不定，只能就這麼繼續耗下去，直到天荒地老。當然還會有其他類似柯西定理，不過本質上無差異，基本只是描述了無限過程或者有的直接假定就是這樣，不容爭辯，因為高等數學基礎就在這裡，牢不牢固就在這裡。區間套定理，即是用無數個區間去套，看似套牢了也不見得，還有直接假定極限就是確切的邊界，好吧，同義反復，那也沒方法，數學定律本質上就是廢話，分析的定律就是同義反復，它太抽象了太超離了，所以就不允許任何雜質內容存在，自然就會變得無比空洞，只是各種假設各種公理定理的堆砌。一定程度上數學就是邏輯，邏輯定律最有名的就是同一律，同一律就是1就是1，點就是點，沒啥好說的，就這麼幹脆直接，愛理不理，反正就在這裡，如果你覺得聰明你就去挖掘，但前人都這麼說了，後來人也不可奈何，看來實在無話可說，邏輯與數學，種種概念就在心裡生根發芽，開花結果。
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