如果您關注【遇見數學】的《哈哈，這些關於數學的幽默》系列，每天會見到下面這幅題圖，動畫片《辛普森一家》中男主角荷馬在黑板上惡搞寫下的 4 個公式，其中第二個是最有趣的內容，你可以用計算器親自進行檢驗是否違反來費馬大定理。《數學大爆炸》書中對此進行了詳細的解釋，我們來一起來欣賞這點趣味數學。
下文節選自《數學大爆炸》, 已獲出版社授權許可, [遇見數學] 特此表示感謝!
荷馬大定理
荷馬黑板上的第二行也許是最有趣的一行，因為它包含下面的等式：
乍一看，這個等式平淡無奇。不過，如果你對數學史有所瞭解，你可能會憤怒地折斷你的計算尺。荷馬似乎得到了不可能得到的結果，他似乎發現了神秘而著名的費馬大定理的一個解！
在大約 1637 年，皮埃爾· 德· 費馬（Pierre de Fermat） 首次提出了這個定理。雖然費馬是一位只在空閒時間解題的業餘數學愛好者，但他卻是歷史上最偉大的數學家之一。他在法國南部的家中獨自研究數學問題。他唯一的數學伴侶是生活在亞歷山大的丟番圖在公元3 世紀寫下的《算術》一書。在閱讀這本古希臘著作時，費馬在一個章節中發現了下面的方程：
這個方程與畢達哥拉斯定理關係密切，但丟番圖對三角形及其邊長不感興趣。相反，他邀請讀者尋找這個方程的整數解。費馬對於尋找這種解所需要的技巧已經非常熟悉了。他知道，這個方程有無數個解。這些所謂的畢達哥拉斯三元組的解包括：
費馬對丟番圖的問題感到厭倦，因此他決定對這個問題做出改動。他希望找到方程
的整數解。
費馬絞盡腦汁，但他只能找到包含零的平凡解，比如0³+7³=7³。當他試圖找到更有意義的解時，他所得到的最好的等式差了一個1，比如 6³+8³=9³-1。
此外，當費馬進一步提高x、y 和 z 的冪次時，他的求解努力一次又一次地碰壁。他開始覺得下列方程沒有整數解：
最終，他取得了突破。他沒有找到適合上述某個方程的任何一組數字，但他證明了這樣的解是不存在的。他在丟番圖《算術》一書的頁邊用拉丁文寫了兩個很吊人胃口的句子。他首先指出，上面無數個方程中的任何一個都沒有整數解。接著，他自信地加上了第二句話：“Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi, hanc marginis exiguitas non caperet.”（ 我發現了一個非常神奇的證明方法，但是這裡的頁邊太窄，寫不下了。）
皮埃爾·德·費馬發現了一個證明方法，但他不屑於將其寫下來。這也許是數學史上最令人沮喪的註釋了。而且，費馬還把他的秘密帶進了墳墓。
費馬的兒子克萊芒·薩米埃爾（Clément-Samuel）後來發現了父親的《算術》一書，並且注意到了這個令人感興趣的頁邊註釋。他還發現了許多類似的頁邊註釋，因為費馬習慣於聲稱自己可以證明某個值得注意的結論，但他很少寫下證明過程。克萊芒·薩米埃爾決定將這些註釋保留下來，他在1670 年出版了《算術》的新版本，其中包含了他的父親在原始文本上寫下的所有頁邊註釋。從此，數學界開始尋找書中缺失的所有證明過程。人們一個接一個地證明了費馬當初的說法。不過，沒有人能夠證明方程 x^n+y^n=z^n（n>2）無解。於是，這個方程被稱為費馬最後的定理， 即費馬大定理，因為它是費馬唯一未被證明的說法。隨著時間的推移，人們一直無法證明費馬大定理，因此這個定理變得更加有名，人們證明它的願望也變得更加強烈。實際上，到了19 世紀末， 這個問題已經引起了數學界以外許多人的興趣。例如，德國實業家保羅·沃爾夫斯凱爾（Paul Wolfskehl）1908 年去世時，他捐出了10 萬馬克（相當於今天的100 萬美元），用於獎勵費馬大定理的證明者。根據一些人的說法，沃爾夫斯凱爾厭惡他的妻子和其他家庭成員，因此他想用遺囑來冷落他們並獎勵數學家，因為他一直非常喜愛數學。其他一些人認為，沃爾夫斯凱爾希望通過這個獎項來感謝費馬，因為據傳當他徘徊在自殺邊緣時，他對這個問題的興趣使他獲得了活下去的理由。
不管動機為何，沃爾夫斯凱爾獎使費馬大定理獲得了公眾的關注。到了最後，它甚至成了流行文化的一部分。在亞瑟·波格斯（Arthur Porges）1954 年的短篇小說《魔鬼和西蒙·弗拉格》中， 英雄弗拉格與魔鬼訂立了一個浮士德式的約定。要想拯救自己的魂，弗拉格唯一的希望就是提出一個令魔鬼無法回答的問題。因此，他請對方證明費馬大定理。魔鬼在認輸後說道：“你知道嗎？就連遠遠領先於地球的其他星球上最優秀的數學家都無法解決這個問題。土星上有個小夥子，他似乎是少有的天才。他可以通過口算得到偏微分方程的解。不過，就連他也放棄了對費馬大定理的證明。”
費馬大定理同樣出現在了小說（斯蒂格·拉爾森的《玩火的女孩》）、電影（布蘭登·弗雷澤和伊麗莎白·赫利的《神鬼願望》） 和戲劇（湯姆·斯托帕德的《阿卡迪亞》）中。關於這個定理最有名的橋段也許出現在1989 年《星際迷航：下一代》的“皇室血統” 一集中。當時，讓- 盧克·皮卡德上校（Captain Jean-Luc Picard） 在劇中將費馬大定理稱為“我們也許永遠無法解決的問題”。不過， 事實證明，皮卡德上校的說法是錯誤的，因為這一集的情節設置在 24 世紀，但普林斯頓大學的安德魯·威爾斯（Andrew Wiles） 已經在1995 年證明了費馬大定理。
威爾斯從十歲時起就夢想著解決費馬留下來的問題。他對這個問題痴迷了 30 年。到最後，他在完全保密的情況下研究了 7 年時間。最終，他證明了方程 x^n+y^n=z^n（n>2）無解。他所發表的證明過程長達130 頁，上面寫滿了數學公式。這件事的有趣之處在於，一方面，它說明威爾斯的成果具有龐大的規模；另一方面，威爾斯的邏輯鏈條過於複雜，不可能在17 世紀被人發現。實際上，威爾斯使用了許多現代工具和技巧，因此他對費馬大定理的證明過程不可能是費馬頭腦中的那個證明過程。
英國廣播公司2010 年的電視劇《神秘博士》提到了這一點。在“危急時刻”一集中，演員馬特·史密斯（Matt Smith）作為重生的第十一任博士首次亮相，他必須向一群天才證明他的身份， 以便說服他們接受他的建議，拯救世界。當他們即將拒絕他時， 博士說道：“在你們拒絕我之前，看看這個。費馬定理的證明方法。我是說真正的證明方法。人們從未見過它。”換句話說，博士默認了威爾斯的證明方法，但他覺得那不是費馬“真正的”證明方法。這種觀點是有道理的。也許，博士回到了17 世紀，直接從費馬那裡拿到了證明方法。
現在讓我們來總結一下。在17 世紀，皮埃爾·德·費馬聲稱， 他可以證明方程x^n+y^n=z^n（n>2）沒有整數解。1995 年，安德魯·威爾斯發現了一種新的證明方法，驗證了費馬的結論。2010 年，神秘博士揭示了費馬最初的證明方法。每個人都相信，這個方程是無解的。
因此，在“常青平臺的巫師”中，荷馬似乎否定了近四個世紀以來世界上最偉大的頭腦得出的結論。費馬、威爾斯甚至神秘博士都認為費馬的方程是無解的，但荷馬卻在黑板上給出了一個解：
你可以用計算器親自進行檢驗。計算 3,987 的12 次方，將其與 4,365 的12 次方相加，然後計算結果的12 次方根，你就得到了 4,472。
至少，這是你在任何只能顯示十個數位的計算器上得到的結果。不過，如果你擁有更精確的計算器，如果它能夠顯示十幾個數位，你就會得到不同的答案。實際上，如果將第三項計算得更加準確，這個等式應該近似寫成：
這究竟是怎麼回事呢？實際上，荷馬的等式是費馬方程的近似解，這意味著3,987、4,365 和 4,472 幾乎可以使方程成立—— 等號左右兩邊的差異幾乎可以忽略。不過，在數學上，一個方程要麼有解，要麼沒有解。近似解實際上並不是解，這意味著費馬大定理仍然成立。
戴維· S. 科恩和觀眾開了一個數學玩笑。如果觀眾的反應足夠快，並且擁有足夠的知識，他們就可以發現這個等式，並且意識到它與費馬大定理之間的聯繫。當這一集在1998 年播出時， 威爾斯的證明方法已經發表了三年，因此科恩非常清楚費馬大定理已被攻克的事實。他本人與這個證明之間還存在一定的聯繫，因為他在加州大學伯克利分校讀研期間聽過肯·裡貝特（Ken Ribet）的講座，而裡貝特為威爾斯對費馬大定理的證明提供了一個重要工具。
科恩顯然知道費馬的方程無解，但他希望找到一個非常近似的解，這個解在僅僅使用簡單的計算器進行檢驗時似乎可以使方程式成立。他想用這種方式向皮埃爾·德·費馬和安德魯·威爾斯致敬。為了找到這個近似解，他寫了一個計算機程序，以便對x、y、z 和 n 的值進行掃描，找到可以使方程式近似成立的數值。最終， 科恩選擇了
個解，因為它的誤差範圍很小——等式左邊只比右邊大0.000000002%。
這一集播出以後，科恩立即查看了網上留言板，看看是否有人注意到了他的惡作劇。他最終發現了這樣一條帖子：“我知道這違反了費馬大定理，但我用計算器進行了檢驗，發現它是成立的。這到底是怎麼回事？”
意識到全世界的青年數學家有可能對他的數學悖論產生興趣，他感到很愉快：“我很高興，因為我的目標是獲得足夠的精度，使人們無法通過計算器發現這個等式的錯誤。”
科恩對於他在“常青平臺的巫師”中設計的板書內容非常自豪。實際上，他在許多年裡引入《辛普森一家》的所有趣味數學內容使他獲得了極大的滿足感：“我對此感到很高興。當你在電視領域工作時，你在瓦解社會既有價值觀，因此你很難對自己的工作感到滿意。所以，當我們有機會提升節目的層次時——尤其是有機會讚美數學時——這些工作抵銷了我編寫那些三句不離屎尿屁的笑話時產生的罪惡感。”(完）
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