等周問題
在給定長度的所有閉曲線中, 只有圓圍住的面積最大. 這是古希臘數學家早已知道的事實, 但它的證明絕非易事, 直到 19 世紀後期產生變分法理論後才能給出嚴格的證明.
事實上, 到了 19 世紀初期, 隨著座標幾何的不斷完善和射影幾何的興起, 古典的歐幾里得幾何學逐漸失去了在幾何學中的統治地位. 但是仍然有一些數學家堅持研究歐氏幾何, 特別是用純幾何的方法而不是分析的工具去探討諸如曲線和曲面的極值問題. 相對於 17 世紀產生的解析幾何而言, 人們把這種研究幾何的古典方法稱為綜合幾何學. 其中的代表人物首推瑞士數學家施泰納 (J.Steiner, 1796-1863), 他最著名的工作就是在 1838 年用好幾種方法證明了所謂的等周定理: 在給定周長的平面圖形中, 圓周包圍著最大的面積. 但是, 施泰納的證明是不嚴格的, 因為他的證明有一個假設的條件, 即在所有等長的平面閉曲線中, 確實存在圍住最大面積的曲線. 換句話說, 施泰納實際上證明的是: 如果在給定周長的所有平面閉曲線中存在面積最大的閉曲線, 則該曲線必然是圓. 為此, 德國數學家狄利克雷 (Dirichlet,1805-1859) 曾幾次試圖說服他, 但有趣的是施泰納拒不承認自己證明中的這個缺陷, 而堅持認為它是一個不證自明的事實. 結果, 施泰納的這個證明缺陷和他的等周定理一樣在數學史上同樣的有名.施泰納還證明了許多有趣的幾何極值問題. 例如, 在 1842 年他證明了在給定周長的所有三角形中, 只有等邊三角形具有最大的面積. 另外, 施泰納證明了等周問題的逆也成立: 在具有給定面積的所有平面圖形中, 圓具有最小的周長. 如果記任意一個周長為 L 的平面閉曲線所圍住的面積為 A, 則施泰納的結果可以寫為所謂的等周不等式
其中等號成立當且僅當該封閉曲線恰為一個圓.接著, 施泰納考慮了類似的球面問題. 他證明了在給定表面積的所有立體中, 球具有最大的體積. 反之, 在給定體積的所有立體中, 也是球才具有最小的表面積. 若記任意一個立體的表面積為 A, 體積為 V , 則施泰納的結果可以敘述成一個不等式
其中等式成立當且僅當該立體恰為一個球體. 當然, 施泰納的這個證明同樣是有缺陷的, 因為他無法證明在給定表面積的所有立體圖形中, 存在一個具有最大體積的立體.事實上, 這類極大化曲線和曲面的存在性雖然直觀, 但其嚴格的證明是極其困難的, 難住了數學家許多年. 直到 1870 年才由德國數學家外爾斯特拉斯 (K.Weierstrass, 1815-1897) 藉助於變分法理論給出, 而且等周問題也反過來刺激了變分法理論的產生和發展.
數學的100問題。
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