數學有著天然的嚴謹和邏輯，許多數學定理歷經千年依然如是。她總是就在我們最最意想不到的地方與後面趕上來的生產力不期而遇，交匯處生出燦爛的智慧之花。

完美邂逅

四元數：150年後在計算機時代盛開

英國數學家Hamilton在1843年10月16日找到了“四維複數”，它可以精確描述質點在三維空間中的運動. 原來，就在他與自己的妻子散步時，突然得到了解決問題的靈感. 他是如此的興奮，以至於把四元數的公式刻在了都柏林的一座橋上，橋上刻著的規則為

哈密爾頓於1843年刻在布魯穆橋上的方程

四元數有著漂亮的數學形式，還適用於地理學、力學和光學的研究。之後的時間裡，漢密爾頓爵士把大部分精力都用於推廣四元數的概念。他死後，接力棒傳到了愛丁堡大學自然哲學教授皮特·格恩裡·泰特手中。

著名物理學家威廉·湯姆遜（也稱“開爾文男爵”，熱力學溫標單位開爾文便以他的名字命名）曾說：我和泰特為四元數爭了38年。兩人合著《自然哲學論》（ Treatise on Natural Philosophy ）時，曾決定在必要時引入四元數的概念，但從最終手稿來看，“必要的時候”一直不曾出現。19世紀末，向量微積分的出現更是搶走了四元數的光芒。在20世紀中葉的科學和工程界中，矢量幾乎已完全取代四元數的位置。麥克斯韋曾在他的《電磁場動力理論》直接以20條有20個變量的微分方程組來解釋電力、磁力和電磁場之間的關係。

某些早期的麥克斯韋方程組使用了四元數來表述，但與後來黑維塞使用4條以矢量為基礎的麥克斯韋方程組表述相比較，使用四元數的表述並沒有流行起來。人們認為四元數空有漂亮的數學結構，沒有什麼實際用途，不過是數學史上又一個無足輕重的腳註罷了。

到了計算機時代，四元數終於找到了自己的位置。在三維幾何旋轉的計算中比矩陣更有優勢，在機器人技術、計算機視覺和圖像編程領域都是極為重要的工具。

150年之後，哈密爾頓爵士他們的研究終於得到了世人認可。自己種下的理論滋養了全球數以千億計的計算機產業，爵爺若地下有知，也應該感到欣慰了。

最密堆積：3個世紀後在信道中相遇

假如在你面前放著一堆橙子，怎麼擺放才能最節約空間？

別以為這只是困擾水果店老闆的日常煩惱之一。雖然任何人都可以憑經驗或直覺斷定，把上一層橙子交錯著放到下一層橙子彼此相鄰的凹處，顯然要比直接一個疊一個的擺放更合理。但誰能從數學上證明，的確不存在比這更合理的方法呢？

1611年，開普勒提出，水果商堆橙子的辦法對空間的利用率最高，可他自己卻沒法給出證明。在400多年的時間裡，“開普勒猜想”（Kepler's Conjecture）難倒了眾多數學家。直到1940年，匈牙利數學家拉茲洛·費耶·託斯才解決了開普勒猜想的簡化版——圓環堆積問題。

1998年，一則數學新聞突然成了各大媒體報道的焦點：美國匹茲堡大學的托馬斯·海爾斯（Thomas C. Hales）證明了“開普勒猜想”：在箱子裡堆放大小一樣的球，用“面心立方體”的堆積方式（即上層圓球安放在下一層圓球中間的各個凹處）可以使空間利用率最高。也就是說，水果商在箱子裡裝橙子的辦法一直都是最有效的。

海爾斯解答了這個提出了400餘年的難題，但水果商並不買賬。一位水果攤小販在接受電視臺採訪時說：“這簡直是浪費時間又浪費我們納稅人的錢！”

不過，開普勒和海爾斯的智慧結晶當然不僅僅是用來裝橙子這麼簡單——有關最密堆積的研究成果是現代通訊技術的重要工具，是信道編碼和糾錯編碼研究的核心內容。

同樣也是在17世紀，牛頓和大衛·格里高裡因“牛頓數問題”爭來爭去。牛頓數，“Kissing Number”，是與一個ｎ維球外切的等維球的個數。很容易看出，二維的牛頓數是6（下圖左）。牛頓確信三維的牛頓數是12，直到1953年，科特·舒特和範·德·維爾登才給出了一個證明。

二維（左）與三維牛頓數示意圖

二維牛頓數是6，三維牛頓數是12

2003年，奧萊格·穆辛證明了4維的牛頓數是24。至於5維的牛頓數，目前只知道它在40到44之間。不過，我們知道8維的牛頓數是240，24維的牛頓數是196560，這兩個數都是美國明尼蘇達大學的安德魯·奧德里茲克在1979年證明的。8維和24維的牛頓數證明起來其實比三維的牛頓數簡單，它們還跟超密集的球體填充問題有關：8維E8點陣和24維Leech點陣。

這些發現令人驚奇，不過讓普通人一頭霧水的概念有什麼實際意義？接下來聽我說。

20世紀60年代，一位叫戈登·朗的工程師正在設計調制解調器系統。他需要從一個繁忙的頻道（例如一個電話線）發出一個信號，信號由一系列的音調組成。但是，由於一個頻道傳遞的信號過多，經常出現信號無法被完整接收的情況。朗將組成信號的聲音用一串數字表示，信號即可被當作一個個包含信息的“小球”，為了使發送的信息量達到最大化，這些“小球”必須被儘可能緊密的排列起來。

20世紀70年代晚期，朗發明了採用E8堆積法傳遞8維信號的調制解調器。由於這項技術可以通過電話線進行信號傳播，不必重新設計信號電纜，因此大大加快了互聯網的發展。

概率論：從賭桌上的硬道理到保險業的發展

文藝復興時期，意大利出現了一位大學者，卡爾達諾（Girilamo Cardano），他精通數學、物理、占星，在當時被稱作百科全書式的學者。卡爾達諾嗜賭，但賭術卻並不高明，在賭桌上輸掉了大把的家產。不過，他由此寫下《論賭博遊戲》一書。此書於1663年出版，被認為是第一部概率論專著，開創了現代概率論研究的先河，也為今天的精算學做了鋪墊。

一個世紀之後，法國賭徒梅內（Chevalier de Méré）遇到了難題。他常玩的兩個遊戲，一個是連續擲4次色子，看能否扔出一個6；一個是擲兩個色子，連續24次，看能否扔出2個色子都是6的情況。梅內以為兩者贏錢的概率相等，不過實際情況卻與他想的不一樣。玩第一個遊戲他贏多輸少，第二個遊戲卻是輸多贏少。

梅內向朋友，數學家帕斯卡求助，帕斯卡隨後在1654年和費馬在信件往來中探討了這個問題，為概率論的發展打下了基礎。1657年，荷蘭人惠更斯發表了《論賭博中的計算》，這也是第一部公開發表的概率論著作。

17世紀晚期，雅各布·伯努利發現，隨機擲一次色子，每個數字出現的概率都是1/6，但連續擲6次色子並不能確保每個數字都出現。在卡爾達諾研究的基礎上，他提出了伯努利實驗。ｎ重伯努利試驗（也稱伯努利概型）常用來討論ｎ次重複試驗中某事件發生的次數及其概率。由於樣本點不一定是等概率的，許多實際問題都可歸結為這種模型。

更重要的是，伯努利還提出了大數定律，指在一個隨機事件中，隨著試驗次數的增加，事件發生的頻率越趨近於一個穩定值。這個定律甚至促進了保險業的發展。

過去，保險公司只敢賣出有限的保單，因為賣出的保單越多，賠付的風險看上去就越高，保險公司擔心賣出過多的保單會使公司不堪重負而垮掉。直到18世紀初，保險公司才開始像現在一樣大肆推銷保險。這都多虧伯努利的大數定理證明：保單賣得越多，賠付的概率就越趨於穩定，風險是可控的。

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關鍵字: 大學 複數 三維空間