無論物理，化學，生物其實都有一些現象或事實，直觀上總給人以錯誤的假象，只有當我們深入的瞭解以後才發現其背後奧妙，讓人嘖嘖稱奇。
而這些事實的科學解釋往往離不開數學。
先粗淺的介紹一下數數。
人類剛剛開始學會數數的時候，就有了自然數的概念，到人們開始分工，需要分配食物土地的時候，就又產生了有理數的概念。
那麼自然數有無窮個，有理數也有無窮個，那麼到底他們誰多誰少呢？有些人可能會說都是無窮個所以一樣多，也有的人會說有理數多，因為自然數都是有理數，而有理數卻有一些不是自然數。
然而事實上有理數與自然數是一樣多的。
要證明這個事實我們首先要知道如果兩個集合存在一一映射的關係，那麼他們的勢是一樣的，換句話說他們一樣大。
那麼下面我們要找的就是這裡是否存在這種映射關係呢？我們來看下面這個映射方法：
圖片來源：http://www.matrix67.com/blog/archives/416
我們從左上角開始沿著箭頭方向一個一個的往下數，這樣就構造了有理數與自然數之間的一個一一映射，那麼這樣就說明了自然數與有理數是一樣多的。進一步的，凡是可以像這樣數清楚的就稱為可數，顯然自然數集合有理數集合都是可數集。
一個自然的想法是那麼有沒有不是可數集的集合呢？又是什麼樣子呢？事實上實數集就是不可數集，類似上面的想法，我們可以用反證法證明。
類似的數學事實還有[0,1]區間和整個實數集是一樣大的，感興趣的同學可以自己查閱相關資料~
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor（1845年3月3日－1918年1月6日），德國數學家，創立了現代集合論，是實數系以至整個微積分理論體系的基礎。
我們再來看看幾何。
人們在知道了自己所在的是三維空間以後，總在推測高維空間是什麼樣子，有的說是加個時間，而事實並沒有這麼簡單，德國的數學家菲利克斯·克萊因就構造了一種克萊因瓶。
圖片來源：http://blog.sina.com.cn/s/blog_3c8a26db0102dxff.html
克萊因瓶就是四維空間裡的一個曲面，在這個曲面上你可以從克萊因瓶外側沿著曲面不離開的走，不破壞曲面而沿著瓶頸到達內部的任意一點，也就是說其實它根本沒有內部，或者說它根本不是個瓶子而是個平面！
不好理解的話，我們可以看左側的莫比烏斯環，如果你手頭正好有一張紙條，你可以把一端扭轉180度再和另一端連接起來，只要你在這個紙面上沿著一個方向走，就能夠經過這個紙條的所有位置並且回到原點，和這個差不多是一個道理了。
關於高維空間的研究幾個世紀前就開始了而且也有很多的成果，有興趣的話大家可以再去看看。
Felix Klein（1849年4月25日－1925年6月22日），德國數學家，他發佈的愛爾蘭根綱領將各種幾何用它們的基礎對稱群來分類，是對當時多個數學分支的一個綜合導向，影響深遠。1895年，克萊因出版了《初等幾何的著名問題》藉此成為第一個給出幾何學三大作圖難題的簡明論證的數學家。
我們再看看一個統計的小問題。
三門問題（Monty Hall problem），現在有三個門，其中一個門後面有禮品，而另外兩個門是空的，當你選中一個門以後，主持者會開啟兩外兩個門中的一個，而其中是沒有禮品的，這時他會問你是否更改你的選擇，那麼更改選擇會增大獲獎的概率嗎？
圖片來源見水印
很多人認為是否更改選擇獲獎概率都是獲獎的概率都是一半，然而事實上，如果我們更改選擇將會有2/3 的概率拿到獎品，而保留選擇則只有1/3的概率拿到獎品。
因為，在我們開始選擇的時候，假設我們選了三號門，另外兩個門後
存在三種可能，即一號門後有獎品，二號門後有獎品或者兩個門後都沒有獎品，對另外兩種可能主持者都可以打開沒有獎品的門，那麼這時我們更換選擇都可以拿到禮物，而堅持選擇則只可能在最初選對時拿到獎品，因此更換選擇是保持最初選擇拿到獎品概率的兩倍！其實類似的有趣的小故事和現象還有很多，希望大家有興趣的話可以多去發現，多去了解，自己嘗試思考就一定會有所收穫！
三門問題，亦稱為蒙特霍問題（Monty Hall problem），是一個源自博弈論的數學遊戲問題，大致出自美國的電視遊戲節目Let's Make a Deal。問題的名字來自該節目的主持人蒙蒂·霍爾。
最後給大家分享一個小故事：
小狗家的香腸被偷吃了。黑貓警長去查探，發現小狗家的香腸做成了三稜柱、正四稜柱和圓柱體，但是只有圓柱體形的被偷吃了。
他又瞭解到，小狗家周圍的小猴子數學最好，於是斷定是小猴子偷的。
原因就是，只有數學好的同學才知道，
同樣截面周長的情況下，圓柱體的截面面積最大。在只有有限機會偷香腸的情況下，一定會偷體積最大的。那麼問題來了：在截面周長一定的情況下，什麼樣的正多稜柱的體積最大，即截面面積最大呢？
*本文作者：ViaX簽約導師香港理工大學博士A.T.B.、南洋理工大學博士Eric Qi
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