一個平面地圖只用四種顏色即可區別開相鄰的國家？
1852 年10 月23 日, 英國數學家德 摩根(A. De Morgan, 1806-1871) 在給他的好朋友、數學家哈米爾頓(W.R.Hamilton, 1805-1865) 的一封信中寫道:
“今天, 我的一位學生讓我說明一個事實的道理, 這是我以前未曾想到而現在仍然難以解釋的一個事實. 他說任意劃分一個圖形並對其各個部分染上顏色, 使得任何具有公共邊界的部分具有不同的顏色, 那麼只需要四種顏色就夠了.”
這是歷史上有關四色問題的第一次書面記載. 原來, 弗裡德里克 古德里(Frederick Guthrie) 和弗蘭西斯 古德里(Francis Guthrie) 兄弟倆在倫敦大學時都是德 摩根的學生, 弟弟弗蘭西斯首先發現了四色定理, 即在一個平面地圖上只用四種顏色即可區別開相鄰的國家, 但他直到大學畢業也不能證明這個結論. 於是, 他就把這些想法告訴了他的哥哥弗裡德里克, 後者當時正在選修德 摩根的數學課程. 弗裡德里克就此問題向德 摩根求教, 德摩根對這個四色問題十分感興趣, 並作了深入的研究, 但他同樣也無法給出它的嚴格證明, 只好寫信向哈密爾頓求助. 有趣的是, 德 摩根在給哈米爾頓的信中還寫下了這樣一段話:
“我的學生說這是他在給一幅英國地圖著色時提出的猜想, 我越想越覺得這是顯然正確的結論.如果您能舉出一個簡單的例子來否定它, 那就說明我像一頭蠢驢, 我只好做史芬克斯啦.”
這裡提到的史芬克斯(Sphynx) 為希臘神話中的獅身人面怪獸, 它提出離奇古怪的謎語讓過路人猜, 猜不中就將過路人殺死, 但有一次它提出的謎語被猜出後, 史芬克斯卻因羞慚而跳崖.
哈密爾頓在收到德 摩根的信後, 卻表示對此四色問題不感興趣. 他在給德 摩根的回信中寫道: “我不可能很快地去嘗試你的四種顏色問題”. 儘管如此, 德 摩根並不灰心, 他堅持認為四色問題有其獨特的價值, 並不斷地向數學界傳播, 試圖吸引其他數學家的注意力和好奇心.
1878 年6 月13 日, 英國當時最著名的數學家凱萊(A.Cayley, 1821-1895) 在倫敦數學學會上詢問四色問題是否已經得到了證明. 隨後, 他很快向皇家地理學會遞交了一篇短文, 仔細地分析了這個問題的困難所在, 並從數學上嚴格地敘述了四色定理. 在文章最後, 凱萊也說:
“我一直沒有得到這個證明”.
從此, 四色問題在數學界變成了一個人人皆知的難題, 許多一流的數學家都紛紛加入了證明四色問題的隊伍中.1879 年, 凱萊的一名學生、時為律師的肯普(A.B.Cempe, 1849-1922) 宣佈他證明了四色問題, 震驚了整個數學界. 肯普的證明發表在美國數學雜誌上, 他的論證過程極為巧妙, 引入了大量基本的思想, 並且得到了凱萊和西爾外斯特(J.J.Sylvester, 1814-1897) 等數學家的認可, 於是大家都認為四色問題已經被證明了.
然而, 到了1890 年, 數學家希伍德(P.J.Heawood, 1861-1955) 發現了在肯普的證明中存在著一個致命的錯誤. 肯普本人也承認了自己證明的缺陷, 同時說明他本人無法去掉它. 於是, 這個貌似簡單的四色問題仍然是一道橫亙在數學家面前的難題, 彷彿是向人類的智力和毅力提出的一個挑戰.
到了20 世紀, 美國數學家伯克霍夫(G.D.Birkhoff, 1884-1944) 於1913 年在檢查肯普證明漏洞的基礎上, 引進和發展了一些新的技術, 為日後四色問題的證明奠定了基礎. 接著, 又有一些數學家, 如弗蘭克林(P.Franklin, 1898-1965) 等人, 不斷地探詢和改進對四色問題的證明. 特別是隨著電子計算機的問世, 由於計算速度的快速提高, 大大加快了對四色問題證明的進程. 終於在1976 年, 美國數學家阿佩爾(K.Apper) 與哈肯(W.Haken) 在美國伊利諾斯大學的兩臺不同的電子計算機上, 花費了1200 多個小時, 驗證了100 多億個邏輯判斷, 最後完成了四色定理的證明, 再次轟動了整個世界. 它的意義不僅在於解決了一個歷時100 多年的難題, 而且由於使用了計算機, 引起了人們對數學證明新的思考和辯論.
時至今日, 儘管四色問題已經得到了計算機的證明, 但它畢竟不是傳統意義上的一個數學證明. 因此, 仍然有許多數學家, 甚至還有無數的數學愛好者, 都在繼續尋求一種四色問題的邏輯證明.
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