車田正美《鋼鐵神兵》里的數學題較量:究竟都是什麼級別的難題?

車田正美《鋼鐵神兵》裡的數學題較量:究竟都是什麼級別的難題?

馬親王在微博裡提到,在車田正美的《鋼鐵神兵》裡面有這樣一個橋段:七魔將之一的鮑伊把主角團關進超次元魔方,不成想其中有一人是曾經的學霸同學北斗。於是兩人開始了一場數學題較量。兩人一邊拋出看起來特別厲害的數學題,一邊秒回答。那麼,這些題目到底是什麼水平呢?

車田正美《鋼鐵神兵》裡的數學題較量:究竟都是什麼級別的難題?

第一題是這個蟲食算的題目,乍看起來挺厲害,仔細想想卻非常紙老虎。

如果不用圖表示的話,就應該是這樣:7乘以一個一位數A,再乘以一個17位數B,等於777777777777777777(18個7)。換言之,要找一個一位數A和一個17位數B,讓它們的乘積等於111111111111111111(18個1)。

很顯然,“18個1”是3和9的倍數。不僅如此,它還是7的倍數。所以說,除了明顯不對的偶數和5以外,其實剩下的3,7,9都是A的解。至於剩下的B,做個除法就算出來了。形式簡單限制又少的謎題,出現了多解,實際上是相當大的硬傷。

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第二題到第四題,是一組類似於二十四點的問題。

第二題要求用2-9各一次,“不許用加減只許用乘除”構成1,10,100,1000,之後北斗就評價說這是小町算的應用篇。小町算是日本的經典謎題,要求用123456789,不許變順序,在其中加上加號或減號構成100,例如1+2+3-4+5+6+78+9=100 或是 123-45-67+89=100。回來看北斗的解答麼,雖然沒有用加減,但是乘方,階乘,甚至平方根(平方根可以視為省略了一個2)都出來了。

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第三題的解答更是飛起,即使累加的\sigma可以視為算符,使用k也有點太過分了——實際上我大可以給出類似於“定義f(x)=999,則f(9)=?”這樣的解答。

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唯獨第四題的解答算是頗有美感,並且也算是數學科普界三大問題之一的變形了。可惜,打印的時候把小數點以後“9”上面那個代表無限循環小數的點給打漏了。

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第五題開始,算是和高等數學沾點邊了。當然,最大的素數是不存在的,但這不妨礙人類用計算器尋找越來越大的素數。近年來,人們基本是在梅森數(即2N-1形式的數)裡面找素數。鮑伊給出的2^3021377-1是1998年1月27日被證明為素數的,在“人類已知最大素數”的寶座上坐了一年半的時間。目前,這個紀錄已經被2017 年12 月26 日發現的2^77232917-1刷新了。考慮到這部漫畫的連載時間,這個答案很可能是連載時的新聞。

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第六題,正如馬親王所說,是考定義的題,但是…… 很不幸,是錯的。

基數(翻譯似乎寫錯成“記數”了)是康托爾在19世紀末提出集合論時才引入的概念,以現代數學來說大致會在本科階段學到。基數,簡言之,就是集合中的元素個數。如果兩個集合中的元素存在一一對應,則它們的基數相同。數學上可以證明,對任何集合,都可以用“冪集”(即所有子集的集合)的手段,構造出基數更大的集合——因此,所謂最大的基數,並不存在。

實際上,北斗給出的答案——“超限基數\aleph_n אn”,並不是一個基數,而是一類基數的總稱。自然數集的基數定義為\aleph_0,實數集的基數比自然數集的基數要大,其基數是\aleph_1。n越大,這個基數就會越來越大。

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第七題算是這批題目裡面水平比較高的題了。雖說題目本身的算符有無數種可能性,而最後的答案用到了求和符號,但是最後的答案可以簡化成a∆b=(a+b)*(b-a+1)/2的二次多項式形式,相當簡單,並且可以用待定係數法求出解。

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第八題,切拼問題一直是數學謎題裡面比較難的一類。但是這類題目是看起來越直接的題目越難。就這道題而言,原始圖形的外圍全是複雜的曲線反而可以幫助解題:因為最後需要變成一個正方形,因此——假設真的有解的話——最初的外部曲線必然會被拼到內部,並且和另一塊的曲線部分拼在一起。換言之,計算初始的外部曲線的曲率,就可以算出哪部分曲線應當和哪部分重合。話說回來,如果不給紙筆只能空想的話,難度要高一個層次。順便一提,和它正經的解相比,我更喜歡北斗給出的腦筋急轉彎解法。

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數學上研究過的更接近的切拼問題,是塔斯基的切圓拼方問題,問能否把一個圓分成有限份,然後拼成一個正方形。這個問題要到1990年才給出解答,切成1050份,並且還是所謂的不可測集。

數學中還有一個更著名的巴納赫塔斯基分球定理,說一個球可以切成5份然後拼成兩個球,不過這隻在三維或更高維適用,對平面圓來說並不適用。

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第九題,用一個骰子公平地八選一。這個題目相當有趣,答案也是意料之外情理之中,但是漫畫中的解釋,三個裡面錯了兩個。

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先說正常解。答案是3次沒錯,但理由並不是取6和8的公倍數24再除以8,而是63能被8整除。擲三次之後會得到216種等可能的不同事件,將其中27個構成一組,再分成8組,則落到其中任何一組的概率都是27/216,即1/8。

倘若是公平地五選一,那就無論如何不可能在有限次裡面保證公平選出了:最好的策略是擲出6的時候重投,但是極端情況下可能會無限擲出6。

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再說鮑伊的第二個答案——“投一次”。雖然鮑伊列出了所有24種可能性然後又什麼乘積,不過有一個更簡單的解釋辦法:擲骰之後考慮最大的那個側面對著的方位。由於方位可以用一個0-360度之間的角度表明,因此只要能精確測量,想要公平地幾選一都可以。

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最後再說北斗的答案——“一次都不用投”。雖然答案沒錯,但他的解釋就太神棍了。(編者注:所以就不放圖了……)假設我知道桌上有一個骰子,那麼在我看到這個骰子之前,我對它的方位一點都不知道。這個時候,以我所知道的信息可以認為,它的方位角的先驗分佈是0-360度之間的均勻分佈。因此,我只要走進去觀察一下骰子就可以,不需要真的去擲。

當然,如果有人對我的解釋不滿意,那我還可以換個解釋:“不要管骰子,直接擲三次硬幣或看錶來決定。”

車田正美《鋼鐵神兵》裡的數學題較量:究竟都是什麼級別的難題?

最後,北斗出了一個邏輯題,鮑伊的機器人嚷著“這是說謊者悖論”就直接炸掉了,然後惱羞成怒開始武戲。不過,這個題目雖然相當複雜,卻並不是說謊者悖論。

先來看看這道題目的題面:

車田正美《鋼鐵神兵》裡的數學題較量:究竟都是什麼級別的難題?

說謊者悖論是指類似“這句話是假話”的論斷,不管它是真是假,都會引發矛盾。但是,要達成說謊者悖論,需要比較嚴謹的條件。以克利特人悖論,即“克利特人只說假話”為例,其實就構不成說謊者悖論,因為可以用“這句話是假話,並且克利特人在其他時候說過一些真話”來解釋。

即使不考慮其他言論,只考慮題面裡的這三句話,那麼仍然有“三句話都是真話”這個唯一解——要注意,獅子說的並不是“山羊和龍都在說謊”。當然了,如果題目說有人在說謊的話,那就只能說明題出錯了。

車田正美《鋼鐵神兵》裡的數學題較量:究竟都是什麼級別的難題?

所以,總體上來說,這十道題目用不上什麼太難的數學知識,稍微難一些的第六題和第十題還是錯的。但是,如果以數學謎題的角度來考慮,那麼第七、第八和第九題都比較有水平,雖然第九題的解釋是胡說八道。恐怕,也就只有實誠的人民,會留下心理陰影而已。


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