通常情況下，證明點在直線上，包括三點共線等問題，關鍵是先定點或定線，然後證明點過線或者點在線上；而幾何動點導致的最值問題，則往往採用設置未知數，求得相應的二次函數解析式來解決，這兩個常見解題套路，對於解決幾何綜合作用非常大。
題目
如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，點P是AB邊上的一個動點，連接CP，過點P作PC的垂線交AD於點E，以PE為邊作正方形PEFG，頂點G在線段PC上，對角線EG、FP相交於點O
(1)若AP=3，求AE的長；
(2)連接AC，判斷點O是否在AC上，並說明理由；
(3)在點P從點A到點B的運動過程中，正方形PEFG也隨之運動，求DE的最小值。
解析
(1)“一線三直角”的典型圖例，△APE∽△BCP，利用比例式求得AE=3/4；
(2)證明點在線上，我們先得弄明白AC是什麼線，也許同學們都一致認為它是正方形對角線，這沒錯，但更進一步想，對角線AC還有其它身份嗎？有的，它還是內角平分線，對！就是它！AC是∠BAD的角平分線，那麼問題就變成證明點O在∠BAD的角平分線上，想到什麼定理了嗎？“到角兩邊距離相等的點，在這個角的角平分線上。”根據定理要求，我們需要過點O分別向AB、AD作垂線段OM、ON，然後很容易找到一對全等三角形，△EOM≌△PON，從而證明OM、ON，得到點O在AC上，如下圖所示：
(3)整個圖形運動過程中，其根源是由於點P的運動，因此我們不妨設AP長為x，然後用含x的代數式來表示DE，既然是求最小值，那麼得到的DE的代數式一定可以寫成二次函數解析式，推導如下：
解而思
總體上來講，此題難度並不高，均從常規解題思路出發，但對幾何綜合分析能力提出較高要求，不少同學在第2問中想不到利用角平分判定定理，便是沒有深刻理解AC的意義，僅僅當成正方形對角線是無論如何沒辦法的，而在第3問中，忘記曾經證明過的相似三角形還能有用，會導致無法用含x的代數式表示DE的長。動點問題，根源在哪，就設哪條線段為x，這也算是基本套路了。
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