如何在一張紙上畫出一個漂亮的橢圓？如何顯示在引力作用下，行星繞太陽的運動軌跡為橢圓？—— 物理學家思考問題的方式既天真又實際。
橢圓曲線可用圖釘(在每個焦點上各訂一個)、一段線和一支鉛筆把它畫出來，從數學觀點上來看，它是這樣一些點的軌跡，從兩個定點(焦點) 到其上每一點的距離之和是一個常數。
人人都知道地球是圓的，這當然是引力使然，地球盡它所能把自身各部分相互吸引在一起。又由於它繞著由南極指向北極的軸線轉動，從而引進了離心效應，而它隨著緯度的增加而降低，在赤道處最大。結果表明：地球應該是一個扁橢球。
我們能否從物理上分析行星繞日運動，即能否在一定近似下得出橢圓軌道呢？在大學一年級力學課程中，這是作為開普勒第一定律被大家理所當然地接受。
在費恩曼教學的年代，個人計算機還不像今天這樣普及和友好，不妨讓學生用數值方法求解微分方程組。所以，新時代的物理學習比費恩曼的“思想實驗”多了一個重要工具—— 數值模擬與可視化。
這是三卷本《費恩曼物理學講義》中為數不多的數值計算問題之一。基於開普勒運動的角動量和機械能守恆，可以給出極座標表示的圓錐曲線方程，這在《新概念物理教程力學》[25] 一書裡有詳細的推導。
然而，費恩曼希望從更基本的動力學方程(即牛頓第二定律與萬有引力定律相結合) 出發，用盡可能少的知識獲得行星繞日運行的軌跡曲線。
由於在普物力學階段，尚無法探討非線性微分方程的理論解，那麼數值差分迭代求解微分方程就成為不二選擇。
這裡談論的並不是單純的數學問題(若知道了該聯立微分方程組的四個初始條件，就確定了其任意時刻的解)，而是：①物理上對初始條件有無限制？
例如費恩曼書中提到了一種初始速度，那麼如何在圖像上判斷不妥的初始條件及帶來的後果？②數值計算有限時間內質點的位移，是用前一時刻的瞬間速度，還是用平均速度？
注意到《費恩曼物理學講義(第1 卷)》中所採用的時間步長較大，因此造成較大的計算誤差，它所給出的橢圓半長軸就不準確等。
另外，數值求解運動微分方程比用守恆律和開普勒第三定律的好處是：完全確定了行星繞日一週所需的時間。費恩曼設計的這個數值計算問題啟示同學們：通過嘗試和糾錯，學會一種探索的創造精神。
橢圓是一類非常獨特和精美的曲線。除了數學上可以定出它的幾何特性外，我們可以利用物理方法，求出長軸和短軸兩個端點的曲率半徑。
初學者應牢記在心的是：選擇不同形式的座標系是為了研究問題的方便，除非“問題”強迫你做規定的事情；同時，按照伽利略的經典力學絕對性原理，物理量不隨慣性座標系的變化而變化。
巧合的事情總能發生，你只要在圖形中畫出一些量(這是費恩曼推薦的方式之一) 就立刻明白了。
費恩曼在《物理學講義(第1 卷)》中，沒有使用過多的數學，以體現普通物理的有趣味道；但他也認識到，一些學生從高中進入大學，他們對一些課程(缺乏新意) 失去了興趣。
解決這個矛盾的方式是：“step by step”地引進不可避免的數學，並應用於一些著名的問題。除此之外，別無良策。
文：包景東
圖源：網絡
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