如何在一张纸上画出一个漂亮的椭圆？如何显示在引力作用下，行星绕太阳的运动轨迹为椭圆？—— 物理学家思考问题的方式既天真又实际。
椭圆曲线可用图钉(在每个焦点上各订一个)、一段线和一支铅笔把它画出来，从数学观点上来看，它是这样一些点的轨迹，从两个定点(焦点) 到其上每一点的距离之和是一个常数。
人人都知道地球是圆的，这当然是引力使然，地球尽它所能把自身各部分相互吸引在一起。又由于它绕着由南极指向北极的轴线转动，从而引进了离心效应，而它随着纬度的增加而降低，在赤道处最大。结果表明：地球应该是一个扁椭球。
我们能否从物理上分析行星绕日运动，即能否在一定近似下得出椭圆轨道呢？在大学一年级力学课程中，这是作为开普勒第一定律被大家理所当然地接受。
在费恩曼教学的年代，个人计算机还不像今天这样普及和友好，不妨让学生用数值方法求解微分方程组。所以，新时代的物理学习比费恩曼的“思想实验”多了一个重要工具—— 数值模拟与可视化。
这是三卷本《费恩曼物理学讲义》中为数不多的数值计算问题之一。基于开普勒运动的角动量和机械能守恒，可以给出极坐标表示的圆锥曲线方程，这在《新概念物理教程力学》[25] 一书里有详细的推导。
然而，费恩曼希望从更基本的动力学方程(即牛顿第二定律与万有引力定律相结合) 出发，用尽可能少的知识获得行星绕日运行的轨迹曲线。
由于在普物力学阶段，尚无法探讨非线性微分方程的理论解，那么数值差分迭代求解微分方程就成为不二选择。
这里谈论的并不是单纯的数学问题(若知道了该联立微分方程组的四个初始条件，就确定了其任意时刻的解)，而是：①物理上对初始条件有无限制？
例如费恩曼书中提到了一种初始速度，那么如何在图像上判断不妥的初始条件及带来的后果？②数值计算有限时间内质点的位移，是用前一时刻的瞬间速度，还是用平均速度？
注意到《费恩曼物理学讲义(第1 卷)》中所采用的时间步长较大，因此造成较大的计算误差，它所给出的椭圆半长轴就不准确等。
另外，数值求解运动微分方程比用守恒律和开普勒第三定律的好处是：完全确定了行星绕日一周所需的时间。费恩曼设计的这个数值计算问题启示同学们：通过尝试和纠错，学会一种探索的创造精神。
椭圆是一类非常独特和精美的曲线。除了数学上可以定出它的几何特性外，我们可以利用物理方法，求出长轴和短轴两个端点的曲率半径。
初学者应牢记在心的是：选择不同形式的坐标系是为了研究问题的方便，除非“问题”强迫你做规定的事情；同时，按照伽利略的经典力学绝对性原理，物理量不随惯性坐标系的变化而变化。
巧合的事情总能发生，你只要在图形中画出一些量(这是费恩曼推荐的方式之一) 就立刻明白了。
费恩曼在《物理学讲义(第1 卷)》中，没有使用过多的数学，以体现普通物理的有趣味道；但他也认识到，一些学生从高中进入大学，他们对一些课程(缺乏新意) 失去了兴趣。
解决这个矛盾的方式是：“step by step”地引进不可避免的数学，并应用于一些著名的问题。除此之外，别无良策。
文：包景东
图源：网络
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